ความยาวที่คาดหวังของเส้นทางแฮมิลตันสั้นที่สุดในจุดที่เลือกแบบสุ่มจากตารางระนาบคืออะไร?

$k$ คะแนนที่แตกต่างกันจะถูกสุ่มเลือกจาก $p\times q$ กริด (เห็นได้ชัดว่า $k\leq p\times q$ และเป็นจำนวนคงที่ที่กำหนด) กราฟน้ำหนักที่สมบูรณ์ถูกสร้างขึ้นจากจุดเหล่านี้ $k$ ซึ่งน้ำหนักของขอบระหว่างจุดยอด $i$ และจุดยอด $j$ เท่ากับระยะทางแมนฮัตตันของสองจุดบนตารางดั้งเดิม .

ฉันกำลังมองหาวิธีที่มีประสิทธิภาพในการคำนวณความยาวที่คาดหวังของเส้นทาง hamiltonian ที่สั้นที่สุด (น้ำหนักรวมขั้นต่ำ) ผ่านโหนดเหล่านี้ $k$ แม่นยำยิ่งขึ้นไม่ต้องการแนวทางไร้เดียงสาต่อไปนี้:

$\bullet$ การคำนวณความยาวพา ธ ที่แน่นอนสำหรับการรวมกันทั้งหมดของโหนด k และได้รับความยาวที่คาดหวัง

$\bullet$ การคำนวณความยาวพา ธ โดยประมาณสำหรับการรวมกันทั้งหมดของโหนด k โดยใช้ฮิวริสติกขั้นพื้นฐานของการใช้แผนผังสแปนนิ่งขั้นต่ำซึ่งทำให้เกิดข้อผิดพลาดมากถึง 50% (ฮิวริสติกที่ดีขึ้นโดยมีข้อผิดพลาดน้อยกว่าอาจเป็นประโยชน์)

— Javad
แหล่งที่มา

ปัจจุบันยังไม่มีความหวังสำหรับอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพเนื่องจากปัญหาเส้นทางมิลโตเนียนแบบไม่สมดุลในตารางภาพถ่ายระนาบคือ NP-complete

— Mohammad Al-Turkistany

เมื่อคุณพูดถึงเส้นทางของแฮมิลตันคุณจะตื่นเต้นกับเส้นทางของแฮมิลตันที่มีน้ำหนักน้อยที่สุดหรือไม่

— a3nm

@ MohammadAl-Turkistany ความแข็งของ HAM PATH ไม่จำเป็นต้องเป็นสิ่งกีดขวางเนื่องจาก OP เป็นเพียงการประมาณจุดสุ่ม

— Suresh Venkat

@ a3nm ใช่และฉันได้รับการแก้ไข

— Suresh Venkat

เกิดอะไรขึ้นกับการคำนวณระยะเวลาทัวร์ที่แน่นอนสำหรับตัวอย่างสุ่มจำนวนคะแนนและค้นหาความคาดหวังและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน คุณต้องการขนาดใหญ่แค่ไหน?

k

$k$

k, p, q

$k, p, q$

— Peter Shor

สมมติว่าและมีขนาดใหญ่พอสมควรใครจะคาดหวังว่าความยาวที่คาดหวังส่วนใหญ่จะขึ้นอยู่กับความหนาแน่น ดังนั้นในการสั่งซื้อครั้งแรกจะเป็นฟังก์ชั่นของแบบฟอร์มต่อไปนี้ $p$ $q$

L \approx (p q k)^{1 / 2} f (k / p q) + (p + q) g (k / p q) .

$L \approx (pqk)^{1/2} f(k/pq) + (p+q) g(k/pq).$

ตอนนี้คุณสามารถใช้การทดสอบกับปัญหาที่มีขนาดเล็กลงเพื่อหาว่าและคืออะไร ขั้นแรกในการประมาณค่าคุณต้องการทำการทดลองกับตัวอย่างที่ไม่มีขอบเขตวิธีที่ง่ายที่สุดในการทำเช่นนี้คือการใช้กริดโดยด้านซ้ายเชื่อมต่อกับด้านขวาและบนลงล่าง ฐานรองดอก ในการประมาณค่าคุณสามารถใช้การทดลองในตาราง $f$ $g$ $f$ $p\times p$ $g$ $p \times q$

สำหรับการประมาณค่าคุณจำเป็นต้องแก้ปัญหา TSPs ที่ค่อนข้างใหญ่หรือเกือบทั้งหมดเนื่องจากจำนวนที่คุณใช้ในการประเมินมีขนาดใหญ่ขึ้นผลลัพธ์ของคุณก็จะดีขึ้นเท่านั้น คุณสามารถใช้การวิเคราะห์พฤติกรรมที่มาภายในไม่กี่เปอร์เซ็นต์หรือรหัส TSP ที่ถูกต้อง ดูที่นี่สำหรับการวิเคราะห์พฤติกรรมที่ดี ตัวแก้ปัญหาConcorde TSP ของ Bill Cook จะค้นหาสิ่งที่เหมาะสมที่สุดสำหรับอินสแตนซ์ที่มีขนาดใหญ่พอสมควร (เป็นรหัส TSP ที่ดีที่สุดที่มีอยู่) และสามารถใช้ได้โดยไม่เสียค่าใช้จ่ายสำหรับการวิจัยทางวิชาการ

— ปีเตอร์แคระ
แหล่งที่มา

ใช้คำศัพท์จากTSPLIBฉันกำลังมองหา SOP ไม่ใช่ TSP การคูณคำนวณสำหรับ TSP ด้วยให้ขอบเขตบนสำหรับ SOP น่าเสียดายที่ตัวแก้ปัญหา Concorde TSP ไม่สามารถจัดการกับ SOP ได้และฉันไม่สามารถหาตัวแก้ SOP ได้ทางออนไลน์

E [L]

$E[L]$

(k - 1) / k

$(k-1)/k$

— Javad

ฉันเดาว่าสำหรับการคำนวณกรณีที่มี 'ที่ใหญ่กว่าและเล็กกว่านั้นมีการกระจายอย่างเท่าเทียมกันรอบดังนั้นเราอาจคิดวิธีการเชิงสร้างสรรค์เพื่อค้นหาการจัดเรียงของ points ในตาราง ซึ่ง (อาจจะโดยประมาณ) ให้[L] การค้นหาข้อตกลงดังกล่าวจะลดค่าใช้จ่ายในการคำนวณลงอย่างมาก

E [L]

$E[L]$

L

$L$

L

$L$

E [L]

$E[L]$

k

$k$

E [L]

$E[L]$

— Javad

ฉันยังไม่ได้ค่อนข้างเข้าใจเหตุผลสำหรับค่าสัมประสิทธิ์ 2 ทำไมมันไม่ควรเป็น ? วิธีนี้จะเปลี่ยนแปลงสูตรการประมาณค่าที่มีขนาดเล็กของและ ?

k^{2}

$k^2$

k^{2} / (p q)

$k^2/(pq)$

p

$p$

q

$q$

— Javad

@Javad: เป็นคำถามที่ดี ฉันผิดเพราะฉันคิดว่าคะแนนเมื่อฉันเขียนคำตอบของฉัน ค่าสัมประสิทธิ์มาจากสมมติฐานของฉันที่ตารางมีขอบหน่วยความยาวดังนั้นทั้งภูมิภาคคือขนาดQ ขอบเฉลี่ยควรมีความยาวและมี edge ดังนั้นหากคุณต้องการให้คงที่ประมาณระยะแรกควรเป็น .

k^{2}

$k^2$

p \times q

$p\times q$

p \times q

$p \times q$

θ (\sqrt{p q / k})

$\theta(\sqrt{pq/k})$

k

$k$

f

$f$

\sqrt{p q k} f (k / p q)

$\sqrt{pqk} f(k/pq)$

— Peter Shor

สำหรับความแตกต่างระหว่างความยาว TSP และความยาว SOP ควรจะเล็กน้อย

k \approx 10^{6}

$k \approx 10^6$

— Peter Shor