BQP เท่ากับ BPP ที่มีการเข้าถึงออราเคิลกลุ่มย่อยที่ซ่อนอยู่หรือไม่?

complexity-classes quantum-computing

ที่จริงแล้วมีงานจำนวนมากในการแก้ปัญหากลุ่มย่อยที่ไม่ได้เป็นชาว Abelian ในการวิจัยขั้นตอนวิธีควอนตัมดังนั้นฉันหวังว่านี่จะไม่ใช่กรณีอย่างแน่นอน!

— Joe Fitzsimons

@ โจ: ฉันคิดว่างานส่วนใหญ่ของ HSP ที่ไม่ใช่ Abelian นั้นสำหรับกลุ่มที่ "ใกล้เคียงกับ Abelian" - แต่โปรดแก้ไขให้ฉันด้วยถ้าฉันผิดเพราะฉันไม่มีความเชี่ยวชาญในพื้นที่ แต่ถ้าเป็นเช่นนั้นจริง ๆ แล้วคำตอบในเชิงบวกต่อคำถามอาจไม่ขัดแย้งกับงานที่คุณอ้างถึง

— Joshua Grochow

คำตอบ:

เช่นเดียวกับการแยกระดับความซับซ้อนหลายอย่างการคาดเดาที่ดีที่สุดของเราคือคำตอบก็คือ BPP ^ {HSP}! = BQP แต่เราสามารถพิสูจน์ได้อย่างนี้เมื่อเทียบกับออราเคิล การแยกนี้ถูกสังเกตเห็นโดย Scott Aaronson ในบล็อกโพสต์นี้ ซึ่งเขาสังเกตเห็นว่าการเร่งต้นไม้แนวรอยของ Childs, Cleve, Deotto, Farhi, Gutmann และ Spielmanไม่มีอยู่ใน SZK

ในทางกลับกัน BPP ^ {HSP} มีอยู่ใน SZK อย่างน้อยถ้าเป้าหมายคือการกำหนดขนาดของกลุ่มย่อยที่ซ่อนอยู่ ซึ่งรวมถึงแม้กระทั่ง Abelian HSP แต่ฉันไม่แน่ใจว่าจะหากำเนิดของกลุ่มย่อยที่ซ่อนอยู่ใน SZK ได้อย่างไร เหตุผลที่เราสามารถตัดสินใจขนาดของกลุ่มย่อยที่ซ่อนอยู่ก็คือถ้า f: G-> S มีกลุ่มย่อยที่ซ่อนอยู่ H และเราเลือก g อย่างสม่ำเสมอจากการสุ่ม G จากนั้น f (g) คือการสุ่มอย่างสม่ำเสมอในชุดของขนาด | G | / | H | โดยเฉพาะอย่างยิ่ง f (g) มีการบันทึกข้อมูลเอนโทรปี | G | - บันทึก | H | และการประมาณค่าเอนโทรปีคือใน SZK

— Aram Harrow
แหล่งที่มา

ฉันรู้ว่าฉันเคยเห็นบล็อกโพสต์เกี่ยวกับที่แห่งนี้!

— Joe Fitzsimons

ฉันไม่รู้ว่าจะมีการหักล้างข้อเรียกร้องเช่นนั้นได้อย่างไร แต่ฉันสงสัยว่ามันจริง เรามีการเพิ่มความเร็วแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลอื่น ๆ โดยอัลกอริธึมเชิงควอนตัมที่ไม่ต้องพึ่งพา Abelian HSP ยิ่งไปกว่านั้น Abelian HSP ยังไม่เป็นที่รู้จักในชื่อ BQP-complete

ในอีกด้านหนึ่งปัญหาที่เป็นที่รู้จักกันในชื่อ BQP-complete เป็นปัญหาเช่นการคำนวณค่าคงที่ของ Knot ค่าคงที่ของ Knot ค่าคงตัวอื่น ๆ ฟังก์ชันพาร์ติชันและการจำลองสถานการณ์ของ Hamiltonian ด้วย oracle สำหรับปัญหาใด ๆเหล่านี้ BPP จะมีประสิทธิภาพเท่ากับ BQP

ในที่สุดฉันก็มั่นใจว่าใครจะสามารถสร้าง oracle แยกระหว่างสองคลาสที่คุณพูดถึง แต่นั่นไม่ใช่วิธีที่ยุติธรรมในการเปรียบเทียบพวกเขาเนื่องจากคลาสหนึ่งสามารถทำการสอบถามควอนตัมและอีกอันไม่สามารถทำได้ดังนั้นการแยกจะสะท้อนข้อเท็จจริงนี้เท่านั้น .

— Robin Kothari
แหล่งที่มา

การอ้างอิงเกี่ยวกับปัญหาของการเพิ่มความเร็วสูงสุดด้วยโพลิโนเมียลที่ไม่ได้พึ่งพา Abelian HSP คืออะไร

— Marcos Villagra

คำถามที่แม่นยำยิ่งขึ้นคือ "อะไรคือการอ้างอิงเกี่ยวกับปัญหาของการเพิ่มความเร็วพิเศษด้วยโพลิโนเมียลที่ไม่ต้องพึ่งพา HSP เลย"

— Marcos Villagra

ขั้นตอนวิธีเชิงควอนตัมสวนสัตว์ ( its.caltech.edu/~sjordan/zoo.html ) มีรายการของอัลกอริทึมและการอ้างอิงสำหรับแต่ละรายการ

— Robin Kothari

@ โจชัว: การแยก Oracle เป็นสิ่งที่ดีเพราะพวกเขากำลังพยายามแสดงพลังของการสืบค้นควอนตัม ขอยกตัวอย่างสิ่งที่ฉันหมายถึง หากมีอัลกอริทึมแบบ polytime สำหรับ 3SAT และให้อัลกอริธึมนี้เรียกว่า X. ชัดเจนว่า P ^ X มี NP แต่เราสามารถสร้าง oracle แยกระหว่าง P ^ X และ NP เพราะในกรณีแรกเฉพาะเครื่อง P เท่านั้นที่สามารถเข้าถึง oracle และการแยกเพียงสะท้อนความจริงที่ว่าเคียวรีที่ไม่ได้กำหนดค่าได้ดีกว่าเคียวรีที่กำหนดขึ้น ในทำนองเดียวกันแม้ว่า BPP ^ AHSP มี BQP เราก็สามารถแยกพวกมันด้วย oracle ได้ง่าย

— Robin Kothari

ขอบคุณสำหรับคำตอบทั้งหมด โดยเฉพาะอย่างยิ่งขอขอบคุณที่เตือนฉันเกี่ยวกับชื่อพหุนาม Jones และ HOMFLY ซึ่งไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับ HSP การประเมินพหุนามโจนส์ที่รากที่ห้าของเอกภาพคือ # P-hard แต่การประมาณพวกมันให้ได้ถึง epsilon บางส่วนที่มีความแม่นยำน่าจะเป็นใน BQP

— Jason

ฉันต้องเห็นด้วยกับโรบินว่านี่ไม่ใช่การเรียกร้องที่ง่ายที่จะพิสูจน์หักล้างแม้ว่ามันจะเป็นเรื่องเท็จ เหตุผลทันทีที่ทำให้ฉันสงสัยว่าโพสต์การคำนวณควอนตัมที่เลือกนั้นมีค่าเท่ากับ PP และนี่ดูเหมือนจะบอกใบ้ว่าสถิติจะสร้างยากขึ้นอีกครั้ง Scott Aaronson มีเอกสารที่ STOC แสดงว่ามีปัญหาเกี่ยวกับ oracle สัมพันธ์ซึ่งสามารถแก้ไขได้ใน BQP แต่ไม่ใช่ PH

$BPP^{NP} = P^{\#P}$

— Joe Fitzsimons
แหล่งที่มา

P ^ {# P} = P ^ {PP} ดังนั้นคุณสามารถใช้มันแทน

— Robin Kothari

ใช่ว่าจะเป็นสิ่งที่ฉลาดที่จะทำ!

— Joe Fitzsimons