ปัญหาการนับโดยประมาณที่จับ BQP

ในรุ่นกล่องดำปัญหาในการพิจารณาผลลัพธ์ของเครื่อง BPPบนอินพุตเป็นปัญหาการนับโดยประมาณของการพิจารณาพร้อมข้อผิดพลาดเพิ่มเติม 1/3 (พูด) $M(x,r)$ $x$ $E_r M(x,r)$

มีปัญหาที่คล้ายกันสำหรับ BQP หรือไม่? ความคิดเห็นนี้โดย Ken Reganแนะนำปัญหาดังกล่าว

คุณสามารถลดคำถาม BPP จะใกล้เคียงกับฟังก์ชั่น #P เดียว แต่มี BQP สิ่งที่คุณจะได้รับคือความแตกต่างของทั้งสองฟังก์ชั่น #P ที่เรียกพวกเขาและGการประมาณค่าและแยกกันไม่ช่วยคุณประมาณค่าเมื่อใกล้ศูนย์! $f$ $g$ $f$ $g$ $f - g$ $f - g$

BQP ให้ความช่วยเหลือกับคุณเล็กน้อย: เมื่อคำตอบของคำถาม BQP ในอินพุตคือใช่คุณจะได้รับอยู่ใกล้กับรากที่สองของซึ่งการนับการกำหนดจะกำหนดและมีมตัวแปรไบนารีหลังจากที่คุณแทนx(ไม่มีแถบค่าสัมบูรณ์; "น่าอัศจรรย์" คุณจะได้รับเสมอภายใต้การนำเสนอทั่วไปของวงจรควอนตัมสำหรับ BQPกลายเป็นจำนวนประตู Hadamard) เมื่อคำตอบคือไม่ ความแตกต่างใกล้กับ 0 $x$ $f(x) - g(x)$ $2^m$ $f$ $g$ $x$ $f(x) > g(x)$ $m$

คุณสามารถกำหนดปัญหาดังกล่าวให้ใกล้เคียงที่สุดกับ BQP ได้อย่างแม่นยำหรือไม่? ฉันหวังสำหรับสิ่งที่ชอบ: ได้รับการเข้าถึงกล่องดำฟังก์ชั่นทำแผนที่ไปมีสัญญาว่า ... ประมาณการภายใน\ $f,g$ $X$ $Y$ $f-g$ $\varepsilon$

cc.complexity-theory quantum-computing black-box

— มนุ
แหล่งที่มา

ฉันคิดว่าความคิดเห็นของ Ken Regan หมายถึงผลลัพธ์BQP⊆AWPPโดย Fortnow and Rogers (JCSS 1999; people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/quantum.pdf )

— Tsuyoshi Ito

คำตอบ:

Emanuele: น่าเสียดายที่เราไม่ทราบว่ามีปัญหากล่องดำที่จับภาพ BQP ได้ง่ายเหมือนที่คุณพูดถึงการจับ BPP

อย่างสังหรณ์ใจนี่เป็นเพราะมันยากที่จะพูดคุยเกี่ยวกับ BQP โดยไม่ต้องนำเสนอความเป็นหน่วยในรูปแบบเดียวหรืออื่น ความสามารถในการรวมทั้งจำนวนบวกและลบเป็นสิ่งที่ทำให้ BQP มีประสิทธิภาพมากกว่า BPP แต่จากนั้นหน่วยเปรียบเทียบก็คือสิ่งที่ทำให้ BQP มีประสิทธิภาพน้อยกว่า #P! :-)

ต้องบอกว่านอกเหนือจากดอว์สันและคณะ กระดาษที่มาร์ตินชวาตซ์เชื่อมโยงกับคุณควรตรวจสอบสิ่งนี้และสิ่งนี้โดย Janzing และ Wocjan ซึ่งให้คำมั่นสัญญาที่ "ดูแปลกตาแบบคลาสสิก" ที่จับ BQP

นอกจากนี้ให้ S ⊆ {0,1} ⁿและพิจารณาฟังก์ชันบูลีน f: S → {0,1} จากนั้นฉันก็มีการคาดเดาจากปีที่แล้วซึ่งบอกว่า Q (f), ความซับซ้อนควอนตัมข้อผิดพลาดการค้นหาควอนตัมของ f, มีความเกี่ยวข้องกับพหุนามเกี่ยวข้องกับระดับต่ำสุดของพหุนามจริง: r ⁿ → R เช่นนั้น

(i) p (x) ∈ [0,1] สำหรับx∈ทั้งหมด {0,1} ⁿและ

(ii) | p (x) -f (x) | ≤εสำหรับx∈Sทั้งหมด

หากการคาดคะเนนี้เกิดขึ้นแล้ว "ปัญหาการนับโดยประมาณที่จับ BQP" จะเป็นการประมาณค่าของ polylog (n) - พหุนามพหุนาม p: R ⁿ → R ที่จุดที่ระบุบนลูกบาศก์บูลีนเนื่องจาก p คือ ล้อมรอบทุกที่บนคิวบูลบูลีน สิ่งนี้อาจใกล้เคียงกับคำตอบสำหรับคำถามของคุณ

— Scott Aaronson
แหล่งที่มา

ขอบคุณ ฉันตรวจสอบคำตอบนี้ตั้งแต่ "คำตอบนี้อาจใกล้เคียงกับคำตอบสำหรับคำถามของคุณ" คำถาม: อะไรคือบทบาทของ "S" ในการคาดคะเนของคุณ? ฉันสับสนโดย (ฉัน) พูดคุยเกี่ยวกับ {0,1} ^ n และคนที่เหลือพูดถึงเอส

— มนู

Emanuele: ถ้า S = {0,1} ^ n ดังนั้น f คือฟังก์ชันบูลีนทั้งหมด ในกรณีดังกล่าวเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าความซับซ้อนของการสืบค้นควอนตัมเกี่ยวข้องกับพหุนามในระดับโดยประมาณ (รวมถึงความซับซ้อนของแบบสอบถามที่กำหนดขึ้นและสุ่ม) ดังนั้นกรณีที่น่าสนใจคือเมื่อ f เป็นฟังก์ชันบูลีนบางส่วน : กล่าวคืออัลกอริธึมเชิงควอนตัมจะต้องทำงานกับอินพุตที่ทำให้สัญญาที่ x เป็นของเอสเป็นสถานการณ์ที่อัลกอริธึมเชิงควอนตัมเช่นไซมอน เป็นไปได้

— Scott Aaronson

โปรดทราบว่าในขณะที่อัลกอริทึมควอนตัมเพียง แต่ต้องคำนวณ f ในอินพุตที่เป็นของชุด S ความน่าจะเป็นที่ยอมรับอัลกอริทึมของอินพุตที่ไม่ได้อยู่ใน S ยังคงอยู่ในช่วง [0,1]! โง่อย่างที่ฟังดูมักเป็นข้อสังเกตที่สำคัญในการพิสูจน์ขอบเขตควอนตัมต่ำด้วยวิธีพหุนาม และถ้าฉันไม่ต้องการให้พหุนาม p ถูกล้อมรอบด้วย [0,1] สำหรับ x ทั้งหมดใน {0,1} ^ n (แม้แต่ x ไม่อยู่ใน S) การคาดเดาของฉันจะผิดเล็กน้อย

— Scott Aaronson

บทความนี้จะอธิบายรายละเอียดเกี่ยวกับแนวคิดดังกล่าวข้างต้น

— มาร์ตินชวาตซ์
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับลิงค์ การเชื่อมต่อกับสมการพหุนามมากกว่าดูน่าสนใจ

Z_{2}

$Z_2$

— มนู

@Emanuele Viola, @Martin Schwarz: ฉันไม่เห็นว่าบทความนี้จะตอบคำถามเดิมอย่างไร สำหรับบทความนี้ไม่ได้พูดถึงปัญหากล่องดำเลย ฉันดูเหมือนจะไม่ได้รับการกำหนดกรอบของปัญหากล่องดำออกมาจากกระดาษประเภทที่ถามในคำถาม บางทีคุณคนหนึ่งอาจทำให้แสงนี้?

— Robin Kothari

@ Robin Kothari: ฉันเห็นด้วยว่ากระดาษไม่ได้ให้ปัญหากล่องดำตามที่เคยถามมา มันอธิบายรายละเอียดเกี่ยวกับความคิดเห็นของ Ken Regan ได้อย่างไร ฉันควรทำให้นี่เป็น "ความคิดเห็น" มากกว่า "คำตอบ"

— Martin Schwarz

โอ้ไม่เป็นไร ไม่มีปัญหา. ดังนั้นฉันเดาว่าคำถามนี้ยังไม่ได้รับการแก้ไข

— Robin Kothari