อัลกอริธึม Logspace บนกราฟที่มีความกว้างของต้นไม้ล้อมรอบ

ความกว้างของต้นไม้วัดความสัมพันธ์ของกราฟกับต้นไม้ มันเป็นเรื่องยากที่จะคำนวณความกว้างของต้นไม้ NP- ที่ดีที่สุดที่รู้จักกันประมาณขั้นตอนวิธีการประสบความสำเร็จในปัจจัย $O(\sqrt{{\log}n})$

Courcelle ฯ ทฤษฎีบทที่ทรัพย์สินของกราฟใด ๆ ที่กำหนดในตรรกะที่สองสั่งเอก (MSO2) สามารถตัดสินใจในเส้นเวลาอยู่กับระดับของกราฟของความกว้างของต้นไม้ล้อมรอบใด เมื่อเร็ว ๆ นี้กระดาษแสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบท Courcelle ยังคงถือหุ้นเมื่อ "เส้นเวลา" จะถูกแทนที่ด้วย "logspace" อย่างไรก็ตามสิ่งนี้ไม่ได้ตัดสินความซับซ้อนของพื้นที่ของกราฟ Isomorphismบนกราฟที่มีความกว้างของต้นไม้ล้อมรอบ ผลลัพธ์ที่รู้จักกันดีที่สุดวางไว้ใน LogCFL

มีปัญหาอื่น ๆ ที่:

NP-hard (หรือไม่ทราบว่าอยู่ใน P) บนกราฟทั่วไปและ
ทราบว่าสามารถแก้ไขได้ในเวลาเชิงเส้น / พหุนามบนกราฟที่มีความกว้างของต้นไม้ที่ถูกล้อมรอบและ
ไม่ทราบว่าอยู่ใน LogSpace หรือไม่

— พระอิศวร Kintali
แหล่งที่มา

คืออะไรที่กล่าวถึงในปัจจัยการประมาณ?

n

$n$

— gphilip

n

$n$ คือจำนวนจุดยอดในกราฟอินพุต

— Shiva Kintali

โดยทั่วไปแล้วเราทำได้ดีกว่าในการประมาณความน่าเชื่อถือ อัลกอริทึมการประมาณเวลาแบบพหุนามที่ดีที่สุดที่ฉันทราบเพื่อให้ได้ปัจจัยการประมาณโดยที่คือความน่าจะเป็นของกราฟ ดู Feige, Hajiaghayi และ Lee, อัลกอริทึมการประมาณค่าที่ปรับปรุงใหม่สำหรับตัวคั่นจุดสุดยอดน้ำหนักต่ำสุด , STOC 2005

O (\sqrt{\log n})

$O(\sqrt{\log n})$

O (\sqrt{\log w})

$O(\sqrt{\log w})$

w

$w$

— gphilip

พหุนาม Tutteเป็นตัวอย่าง

นี่เป็นลักษณะทั่วไปของพหุนามรงค์ซึ่งเป็นปัญหา # P-hard ในสูตรที่สมเหตุสมผล ใน

การประเมินพหุนาม Tutte สำหรับกราฟของความกว้างของต้นไม้ที่ถูกล้อมรอบ , SD Noble, Combinatorics, ความน่าจะเป็นและการคำนวณ, 1998,

อัลกอริธึมเวลาพหุนามจะได้รับเมื่อความซับซ้อนของเวลาเป็นเรื่องเกี่ยวกับโดยที่คือ treewidth และคือจำนวนโหนด งานที่เกี่ยวข้องสามารถเห็นได้ในที่นี่ สำหรับการสำรวจมีบทความเกี่ยวกับArxivซึ่งมีการกล่าวถึงปัญหาความซับซ้อนในหัวข้อที่ 8 $O(f(k)n^{4+\epsilon})$ $k$ $n$

ดูเหมือนว่าปัญหาจะไม่สามารถแสดงใน MSO2 โดยตรง แต่ฉันไม่คุ้นเคยกับคำจำกัดความโดยละเอียด ... หวังว่าปัญหานี้คือสิ่งที่คุณต้องการ!

— เซียน - จื้อฉาง張顯之
แหล่งที่มา

ฟังก์ชั่น f คืออะไร?

— Michael Blondin

ตามกระดาษที่มันเป็นฟังก์ชั่นในกับการสั่งซื้อเกี่ยวกับepsilon})})

k

$k$

O (2^{(k^{3 + ϵ})})

$O(2^{(k^{3+\epsilon})})$

— Hsien-Chih Chang 張顯之

Makowski กล่าวว่า "พหุนามกราฟทั้งหมดที่ศึกษาในวรรณคดีนั้นมีความสามารถในการกำหนดได้อย่างชัดเจน" และให้สูตรของพหุนาม Tutte ในแง่ของ SOL หน้า 15 ของ "จากสวนสัตว์สู่สัตววิทยา: สู่ทฤษฎีทั่วไปของพหุนามกราฟ" ใน "การใช้อัลกอริธึมของทฤษฎีบท Feferman-Vaught" เขาขยายทฤษฎีบทของ Courcelle เพื่อแสดงความสามารถในการแทรกซึมสำหรับชื่อพหุนาม SOL ที่สามารถนิยามได้บนกราฟความกว้างของต้นไม้

— Yaroslav Bulatov