บรรทัดฐานการสืบค้นกลับของความแตกต่างของเมทริกซ์ความหนาแน่นสองค่าเป็นหนึ่งหมายความว่าเมทริกซ์ความหนาแน่นสองค่านี้สามารถทแยงมุมได้พร้อมกันหรือไม่?


11

ฉันเชื่อว่าคำตอบของคำถามนี้เป็นที่รู้จักกันดี แต่น่าเสียดายที่ฉันไม่รู้

ในการคำนวณควอนตัมเรารู้ว่าสถานะผสมจะแสดงด้วยเมทริกซ์ความหนาแน่น และบรรทัดฐานการติดตามของความแตกต่างของเมทริกซ์ความหนาแน่นสองตัวนั้นแสดงให้เห็นถึงความแตกต่างของสถานะผสมทั้งสองที่สอดคล้องกัน ที่นี่คำจำกัดความของtrace normคือผลรวมของค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของเมทริกซ์ความหนาแน่นโดยมีปัจจัยคูณทวีคูณ1/2 (ตามความแตกต่างทางสถิติของการแจกแจงสองแบบ) เป็นที่ทราบกันดีว่าเมื่อความแตกต่างของเมทริกซ์ความหนาแน่นสองค่าเป็นหนึ่งดังนั้นสถานะผสมที่ต่างกันทั้งสองนั้นสามารถแยกแยะได้โดยสิ้นเชิงในขณะที่ความแตกต่างคือศูนย์ทั้งสองรัฐจะไม่สามารถแยกแยะได้

คำถามของฉันคือไม่ได้บรรทัดฐานการติดตามของความแตกต่างของเมทริกซ์ความหนาแน่นสองค่าที่เป็นหนึ่งหมายความว่าเมทริกซ์ความหนาแน่นสองแบบนี้สามารถเป็นเส้นทแยงมุมพร้อมกันได้หรือไม่? หากเป็นกรณีนี้ให้ทำการวัดค่าที่เหมาะสมที่สุดเพื่อแยกความแตกต่างระหว่างสถานะผสมทั้งสองนี้จะทำตัวเหมือนแยกความแตกต่างของการแจกแจงสองค่าในโดเมนเดียวกันด้วยการสนับสนุนแบบแยกส่วน


คุณช่วยนิยามเมทริกซ์ความหนาแน่นได้ไหม? มันเป็นเมทริกซ์ที่แน่นอนเชิงบวกหรือไม่?
Suresh Venkat

1
@Suresh: เมทริกซ์ความหนาแน่นเป็นเมทริกซ์เซมิฟิวชั่นแบบบวกบวกที่มีค่าเท่ากับ 1
Tsuyoshi Ito

คำตอบสำหรับคำถามคือใช่เพราะระยะการติดตามเท่ากับ 1 แสดงว่าเมทริกซ์ความหนาแน่นสองตัวมีมุมฉากรองรับ
Tsuyoshi Ito

1
@Tsuyoshi: บางทีคุณควรเขียนความคิดเห็นนั้นเป็นคำตอบ?
Robin Kothari

@ Robin: แน่นอนทำ
Tsuyoshi Ito

คำตอบ:


21

นี่คือวิธีหนึ่งในการพิสูจน์ความจริงที่คุณสนใจ

สมมติว่าและρ 1เป็นเมทริกซ์ความหนาแน่น เช่นเดียวกับเมทริกซ์เฮอร์เมียนอื่นทุกคนมันเป็นไปได้ที่จะแสดงความแตกต่างρ 0 - ρ 1เป็น ρ 0 - ρ 1 = P 0 - P 1สำหรับP 0และP 1เป็น semidefinite ที่เป็นบวกและมีภาพมุมฉาก (บางครั้งเรียกว่าการแยกตัวของจอร์แดน - ฮาห์น; มันเป็นเอกลักษณ์และหาได้ง่ายจากการสลายตัวของสเปกตรัมของρ 0 - ρ 1 ) โปรดทราบว่าข้อเท็จจริงที่ว่าPρ0ρ1ρ0ρ1

ρ0ρ1=P0P1
P0P1ρ0ρ1และ P 1มีภาพมุมฉากหมายความว่าพวกเขามีเส้นทแยงมุมพร้อมกันซึ่งฉันตีความว่าเป็นทรัพย์สินที่คุณสนใจP0P1

ρ0ρ1P0=ρ0P1=ρ1

ρ0ρ1tr=12Tr(P0)+12Tr(P1).
P0=ρ0P1=ρ1

ในการวาดข้อสรุปนี้โปรดทราบว่าและดังนั้น 1 จากนั้นนำและไปเป็นมุมฉากมุมฉากลงบนรูปภาพของและตามลำดับ เรามีดังนั้นทั้งสองและTr(P0)Tr(P1)=0Tr(P0)+Tr(P1)=2Tr(P0)=Tr(P1)=1Π0Π1P0P1

Π0(ρ0ρ1)=Π0(P0P1)=P0
Tr(Π0ρ0)-Tr(Π0ρ1)=1
Tr(Π0ρ0)Tr(Π0ρ1)จะต้องอยู่ในช่วง [0,1] จากที่เราสรุปได้ว่าและ0 จากสมการเหล่านี้ไม่ยากที่จะสรุปและดังนั้นโดยสมการข้างต้น ที่คล้ายกันแสดงให้เห็นว่าข้อโต้แย้งP_1Tr(Π0ρ0)=1Tr(Π0ρ1)=0Π 0 ρ 1 = 0 P 0 = ρ 0 P 1 = ρ 1Π0ρ0=ρ0Π0ρ1=0P0=ρ0P1=ρ1

1
ขอบคุณศาสตราจารย์ Watrous ที่จริงแล้วฉันเรียนรู้ทุกอย่างเกี่ยวกับบรรทัดฐานการติดตามและความหนาแน่นของเมทริกซ์จากบันทึกการบรรยายของคุณ
Jeremy Yan

2
ฉันต้องการที่จะเพิ่มทุกสิ่งที่กล่าวถึงในโพสต์นี้สามารถพบได้ในบันทึกการบรรยายออนไลน์ของศาสตราจารย์ Watours (การบรรยาย 3): cs.uwaterloo.ca/~watrous/quant-info
Jeremy Yan

10

ใช่. หากระยะการติดตามของเมทริกซ์ความหนาแน่นสองค่าเท่ากับ 1 ดังนั้นพวกเขาจึงมีการสนับสนุนมุมฉากและดังนั้นพวกเขาจึงมีเส้นทแยงมุมพร้อมกัน


ฉันเดาคำตอบคือใช่ แต่ฉันไม่ทราบหลักฐาน
Jeremy Yan

1
แนวความคิดหลักของการพิสูจน์ที่กำหนดเมทริกซ์ความหนาแน่นสองแบบนั้นมีความแตกต่างโดยสิ้นเชิงเมื่อระยะการติดตามเท่ากับหนึ่งคือการเบี่ยงเบนความแตกต่างของเมทริกซ์ความหนาแน่นสองแบบ แต่จะพิสูจน์ได้อย่างไรว่าพื้นฐานเดียวกันนั้นทำให้เมทริกซ์ความหนาแน่นทั้งสองเส้นทแยงมุมกัน บางทีเมทริกซ์ความหนาแน่นสองตัวนี้อาจไม่ใช่เส้นทแยงมุมเทียบกับพื้นฐานนี้ แต่ความแตกต่างคือ ใครบ้างที่สามารถให้แนวคิดการพิสูจน์หรือให้การอ้างอิงบางอย่างเพื่อพิสูจน์? ขอบคุณ.
Jeremy Yan
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.