บรรทัดฐานการสืบค้นกลับของความแตกต่างของเมทริกซ์ความหนาแน่นสองค่าเป็นหนึ่งหมายความว่าเมทริกซ์ความหนาแน่นสองค่านี้สามารถทแยงมุมได้พร้อมกันหรือไม่?

ฉันเชื่อว่าคำตอบของคำถามนี้เป็นที่รู้จักกันดี แต่น่าเสียดายที่ฉันไม่รู้

ในการคำนวณควอนตัมเรารู้ว่าสถานะผสมจะแสดงด้วยเมทริกซ์ความหนาแน่น และบรรทัดฐานการติดตามของความแตกต่างของเมทริกซ์ความหนาแน่นสองตัวนั้นแสดงให้เห็นถึงความแตกต่างของสถานะผสมทั้งสองที่สอดคล้องกัน ที่นี่คำจำกัดความของtrace normคือผลรวมของค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของเมทริกซ์ความหนาแน่นโดยมีปัจจัยคูณทวีคูณ1/2 (ตามความแตกต่างทางสถิติของการแจกแจงสองแบบ) เป็นที่ทราบกันดีว่าเมื่อความแตกต่างของเมทริกซ์ความหนาแน่นสองค่าเป็นหนึ่งดังนั้นสถานะผสมที่ต่างกันทั้งสองนั้นสามารถแยกแยะได้โดยสิ้นเชิงในขณะที่ความแตกต่างคือศูนย์ทั้งสองรัฐจะไม่สามารถแยกแยะได้

คำถามของฉันคือไม่ได้บรรทัดฐานการติดตามของความแตกต่างของเมทริกซ์ความหนาแน่นสองค่าที่เป็นหนึ่งหมายความว่าเมทริกซ์ความหนาแน่นสองแบบนี้สามารถเป็นเส้นทแยงมุมพร้อมกันได้หรือไม่? หากเป็นกรณีนี้ให้ทำการวัดค่าที่เหมาะสมที่สุดเพื่อแยกความแตกต่างระหว่างสถานะผสมทั้งสองนี้จะทำตัวเหมือนแยกความแตกต่างของการแจกแจงสองค่าในโดเมนเดียวกันด้วยการสนับสนุนแบบแยกส่วน

quantum-computing quantum-information

— Jeremy Yan
แหล่งที่มา

คุณช่วยนิยามเมทริกซ์ความหนาแน่นได้ไหม? มันเป็นเมทริกซ์ที่แน่นอนเชิงบวกหรือไม่?

— Suresh Venkat

@Suresh: เมทริกซ์ความหนาแน่นเป็นเมทริกซ์เซมิฟิวชั่นแบบบวกบวกที่มีค่าเท่ากับ 1

— Tsuyoshi Ito

คำตอบสำหรับคำถามคือใช่เพราะระยะการติดตามเท่ากับ 1 แสดงว่าเมทริกซ์ความหนาแน่นสองตัวมีมุมฉากรองรับ

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi: บางทีคุณควรเขียนความคิดเห็นนั้นเป็นคำตอบ?

— Robin Kothari

@ Robin: แน่นอนทำ

— Tsuyoshi Ito

คำตอบ:

นี่คือวิธีหนึ่งในการพิสูจน์ความจริงที่คุณสนใจ

สมมติว่าและเป็นเมทริกซ์ความหนาแน่น เช่นเดียวกับเมทริกซ์เฮอร์เมียนอื่นทุกคนมันเป็นไปได้ที่จะแสดงความแตกต่างเป็น สำหรับและเป็น semidefinite ที่เป็นบวกและมีภาพมุมฉาก (บางครั้งเรียกว่าการแยกตัวของจอร์แดน - ฮาห์น; มันเป็นเอกลักษณ์และหาได้ง่ายจากการสลายตัวของสเปกตรัมของ ) โปรดทราบว่าข้อเท็จจริงที่ว่า $\rho_0$ $\rho_1$ $\rho_0-\rho_1$

ρ_{0} - ρ_{1} = P_{0} - P_{1}

$\rho_0-\rho_1 = P_0-P_1$

P_{0}

$P_0$

P_{1}

$P_1$

ρ_{0} - ρ_{1}

$\rho_0-\rho_1$

และ

มีภาพมุมฉากหมายความว่าพวกเขามีเส้นทแยงมุมพร้อมกันซึ่งฉันตีความว่าเป็นทรัพย์สินที่คุณสนใจ

P_{0}

$P_0$

P_{1}

$P_1$

$\rho_0-\rho_1$

‖ ρ_{0} - ρ_{1} ‖_{tr} = \frac{1}{2} Tr (P_{0}) + \frac{1}{2} Tr (P_{1}) .

$\|\rho_0-\rho_1\|_{\text{tr}} = \frac{1}{2}\operatorname{Tr}(P_0) + \frac{1}{2}\operatorname{Tr}(P_1).$

P_{0} = ρ_{0}

$P_0=\rho_0$

P_{1} = ρ_{1}

$P_1=\rho_1$

ในการวาดข้อสรุปนี้โปรดทราบว่าและดังนั้น 1 จากนั้นนำและไปเป็นมุมฉากมุมฉากลงบนรูปภาพของและตามลำดับ เรามีดังนั้นทั้งสองและ $\operatorname{Tr}(P_0)-\operatorname{Tr}(P_1)=0$ $\operatorname{Tr}(P_0)+\operatorname{Tr}(P_1)=2$ $\operatorname{Tr}(P_0)=\operatorname{Tr}(P_1)=1$ $\Pi_0$ $\Pi_1$ $P_0$ $P_1$

Π_{0} (ρ_{0} - ρ_{1}) = Π_{0} (P_{0} - P_{1}) = P_{0}

$\Pi_0 (\rho_0 - \rho_1) = \Pi_0 (P_0 - P_1) = P_0$

Tr (Π_{0} ρ_{0}) - Tr (Π_{0} ρ_{1}) = 1

$\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_0) - \operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_1) = 1.$

Tr (Π_{0} ρ_{0})

$\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_0)$

Tr (Π_{0} ρ_{1})

$\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_1)$ จะต้องอยู่ในช่วง [0,1] จากที่เราสรุปได้ว่าและ0 จากสมการเหล่านี้ไม่ยากที่จะสรุปและดังนั้นโดยสมการข้างต้น ที่คล้ายกันแสดงให้เห็นว่าข้อโต้แย้งP_1

Tr (Π_{0} ρ_{0}) = 1

$\operatorname{Tr}(\Pi_0\rho_0)=1$

Tr (Π_{0} ρ_{1}) = 0

$\operatorname{Tr}(\Pi_0\rho_1) = 0$

Π_{0} ρ_{0} = ρ_{0}

$\Pi_0\rho_0=\rho_0$

Π_{0} ρ_{1} = 0

$\Pi_0\rho_1=0$

P_{0} = ρ_{0}

$P_0=\rho_0$

P_{1} = ρ_{1}

$P_1=\rho_1$

— John Watrous
แหล่งที่มา

ขอบคุณศาสตราจารย์ Watrous ที่จริงแล้วฉันเรียนรู้ทุกอย่างเกี่ยวกับบรรทัดฐานการติดตามและความหนาแน่นของเมทริกซ์จากบันทึกการบรรยายของคุณ

— Jeremy Yan

ฉันต้องการที่จะเพิ่มทุกสิ่งที่กล่าวถึงในโพสต์นี้สามารถพบได้ในบันทึกการบรรยายออนไลน์ของศาสตราจารย์ Watours (การบรรยาย 3): cs.uwaterloo.ca/~watrous/quant-info

— Jeremy Yan

ใช่. หากระยะการติดตามของเมทริกซ์ความหนาแน่นสองค่าเท่ากับ 1 ดังนั้นพวกเขาจึงมีการสนับสนุนมุมฉากและดังนั้นพวกเขาจึงมีเส้นทแยงมุมพร้อมกัน

— Tsuyoshi Ito
แหล่งที่มา

ฉันเดาคำตอบคือใช่ แต่ฉันไม่ทราบหลักฐาน

— Jeremy Yan

แนวความคิดหลักของการพิสูจน์ที่กำหนดเมทริกซ์ความหนาแน่นสองแบบนั้นมีความแตกต่างโดยสิ้นเชิงเมื่อระยะการติดตามเท่ากับหนึ่งคือการเบี่ยงเบนความแตกต่างของเมทริกซ์ความหนาแน่นสองแบบ แต่จะพิสูจน์ได้อย่างไรว่าพื้นฐานเดียวกันนั้นทำให้เมทริกซ์ความหนาแน่นทั้งสองเส้นทแยงมุมกัน บางทีเมทริกซ์ความหนาแน่นสองตัวนี้อาจไม่ใช่เส้นทแยงมุมเทียบกับพื้นฐานนี้ แต่ความแตกต่างคือ ใครบ้างที่สามารถให้แนวคิดการพิสูจน์หรือให้การอ้างอิงบางอย่างเพื่อพิสูจน์? ขอบคุณ.

— Jeremy Yan