ความคิดโบราณเกือบทั้งหมด

(ฉันโพสต์คำถามนี้เพื่อ MathOverflow สองสัปดาห์ที่ผ่านมา แต่จนถึงขณะนี้โดยไม่มีคำตอบที่เข้มงวด)

ฉันมีคำถามเกี่ยวกับการวัดความกว้างของกราฟของกราฟอย่างง่ายที่ไม่ได้บอกทิศทาง เป็นที่รู้จักกันดีว่า cographs (กราฟที่สามารถสร้างขึ้นโดยการดำเนินการของการรวมกลุ่มและการแยกจากจุดยอดที่แยก) มี cliquewidth มากที่สุด 2 (Courcelle et al, ขอบเขตบนถึงความกว้างของกราฟ) ตอนนี้ลองพิจารณาจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบคงที่ k และพิจารณาคลาสของกราฟของกราฟเช่นนี้สำหรับทุกๆมีชุดของที่ จุดยอด k ส่วนใหญ่ที่เป็นลายเซ็นต์ เนื่องจากคลาสกราฟสามารถมองเห็นได้เป็นคลาสของกราฟที่สามารถสร้างขึ้นจาก cographs โดยเพิ่มที่มากที่สุด$\mathcal{G} _k$$G = (V,E) \in \mathcal{G} _k$$S$$G[V - S]$$\mathcal{G} _k$$k$จุดชั้นนี้ยังได้รับการเรียก cographs + KV$kv$

คำถามของฉันคืออะไรคือขอบเขตที่แน่นอยู่บน cliquewidth ของกราฟในเช่นกราฟที่สามารถเปลี่ยนเป็น cograph โดยการลบจุดยอด k?$\mathcal{G}_k$

เป็นที่ทราบกันว่าถ้ากราฟจะได้รับจากโดยการลบจุดแล้ว1) นี่แสดงให้เห็นว่าถ้าสามารถหากราฟได้จากกราฟโดยลบ vertices ดังนั้นและด้วยเหตุนี้ cliquewidth ของกราฟในคือ ที่มากที่สุด k ฉันไม่แน่ใจว่าจำเป็นต้องพึ่งพาการยกกำลังเลขชี้กำลังในหรือไม่ ในบริบทนี้ฉันก็จะสนใจในการลดสูงสุดใน cliquewthth โดยการลบจุดสุดยอด; นั่นคือถ้าเราลบจุดสุดยอดเดียวออกจากกราฟความสามารถลดลงได้เท่าใด$G$$H$$k$$cw(H) \leq 2^k (cw(G) + 1)$$G$$H$$k$$cw(H) \leq 2^k (3 + 1)$$\mathcal{G}_k$$4*2^k$$k$

ฉันจะพยายามตอบคำถามเก่าของคุณแม้ว่าฉันจะไม่แน่ใจว่าคำตอบของฉันเป็นข้อสรุป แต่ควรชี้ไปในทิศทางที่ถูกต้อง

ก่อนอื่นให้เราพูดคุยเกี่ยวกับความกว้างเชิงเส้น หากกราฟมีความกว้างเชิงเส้น , และอีกหนึ่งบวกจุดยอดลงในกราฟจุดยอดนั้นสามารถวางได้ก่อนในการเรียงลำดับด้วยสีที่ไม่ซ้ำใคร ดังนั้นความกว้างเชิงเส้นจะเพิ่มขึ้นอย่างมากเพียง 1 เมื่อคุณเพิ่มจุดยอด$k$$1$

Gurski และ Wanke แสดงให้เห็นว่า "ในความสัมพันธ์ระหว่างความกว้าง NLC และความกว้างเชิงเส้น NLC" ที่ cographs มีความกว้างเชิงเส้น clique-width

เนื่องจาก cographs มี clique-width เชิงเส้นที่ไม่ จำกัด แต่ clique-width bounded การสลายตัวของ clique ที่ดีจะต้องมีโครงสร้างของต้นไม้ เราต้องแสดงให้เห็นว่าเราสามารถบังคับกิ่งก้านสาขาลึกจำนวนมากได้โดยพลการ ตอนนี้เราทำตามต้นไม้สร้างต้นไม้ด้วยใบไม้ที่ 2 ^ k เพิ่มจุดยอด k และแต่ละใบเชื่อมต่อกับเซตย่อยที่ไม่ซ้ำกันของจุดยอดใหม่