คำถามติดแท็ก cliquewidth

(ฉันโพสต์คำถามนี้เพื่อ MathOverflow สองสัปดาห์ที่ผ่านมา แต่จนถึงขณะนี้โดยไม่มีคำตอบที่เข้มงวด) ฉันมีคำถามเกี่ยวกับการวัดความกว้างของกราฟของกราฟอย่างง่ายที่ไม่ได้บอกทิศทาง เป็นที่รู้จักกันดีว่า cographs (กราฟที่สามารถสร้างขึ้นโดยการดำเนินการของการรวมกลุ่มและการแยกจากจุดยอดที่แยก) มี cliquewidth มากที่สุด 2 (Courcelle et al, ขอบเขตบนถึงความกว้างของกราฟ) ตอนนี้ลองพิจารณาจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบคงที่ k และพิจารณาคลาสของกราฟของกราฟเช่นนี้สำหรับทุกๆมีชุดของที่ จุดยอด k ส่วนใหญ่ที่เป็นลายเซ็นต์ เนื่องจากคลาสกราฟสามารถมองเห็นได้เป็นคลาสของกราฟที่สามารถสร้างขึ้นจาก cographs โดยเพิ่มที่มากที่สุดGkGk\mathcal{G} _kG=(V,E)∈GkG=(V,E)∈GkG = (V,E) \in \mathcal{G} _kSSSG[V−S]G[V−S]G[V - S]GkGk\mathcal{G} _kkkkจุดชั้นนี้ยังได้รับการเรียก cographs + KVkvkvkv คำถามของฉันคืออะไรคือขอบเขตที่แน่นอยู่บน cliquewidth ของกราฟในเช่นกราฟที่สามารถเปลี่ยนเป็น cograph โดยการลบจุดยอด k?GkGk\mathcal{G}_k เป็นที่ทราบกันว่าถ้ากราฟจะได้รับจากโดยการลบจุดแล้ว1) นี่แสดงให้เห็นว่าถ้าสามารถหากราฟได้จากกราฟโดยลบ vertices ดังนั้นและด้วยเหตุนี้ cliquewidth ของกราฟในคือ ที่มากที่สุด …

23 graph-theory  co.combinatorics  cliquewidth 

เมื่อเราได้รับการย่อยสลายต้นไม้ของกราฟมีความกว้างมีหลายวิธีที่เราสามารถทำให้มัน "ดี" โดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นที่รู้จักกันว่ามันเป็นไปได้ที่จะเปลี่ยนมันเป็นการสลายตัวของต้นไม้ที่เป็นต้นไม้ไบนารีและความสูงของมันคือn) นี้สามารถทำได้ขณะที่การรักษาความกว้างของการสลายตัวในที่สุด3w(ดูเช่น "อัลกอริธึมแบบขนานพร้อมการเร่งความเร็วที่ดีที่สุดสำหรับความเสี่ยงแบบ จำกัด ขอบเขต" โดย Bodlaender และ Hagerup) ความลึกลอการิทึมเป็นคุณสมบัติของการสลายตัวของต้นไม้ซึ่งเราสามารถรับได้ฟรีGGGWWwO ( บันทึกn )O(เข้าสู่ระบบ⁡n)O(\log n)3 วัตต์3W3w คำถามของฉันคือถ้ามีผลลัพธ์ที่คล้ายกันสำหรับความกว้างกลุ่มหรืออาจเป็นตัวอย่างเคาน์เตอร์ กล่าวอีกนัยหนึ่งเมื่อกำหนดนิพจน์ความกว้างกลุ่มสำหรับโดยใช้ป้ายจะมีนิพจน์ความกว้างกลุ่มความสูงสำหรับซึ่งใช้กับป้ายส่วนใหญ่หรือไม่ ที่นี่ความสูงถูกกำหนดโดยธรรมชาติเป็นความสูงของต้นไม้การแยกวิเคราะห์ของการแสดงออกความกว้างกลุ่มk O ( บันทึกn ) G f ( k )GGGkkkO ( บันทึกn )O(เข้าสู่ระบบ⁡n)O(\log n)GGGฉ( k )ฉ(k)f(k) ถ้าเป็นคำสั่งที่คล้ายกับข้างต้นไม่เป็นที่รู้จักมีตัวอย่างของการเป็นนักการ -vertex กราฟGมีขนาดเล็กก๊กกว้างkเช่นว่าวิธีเดียวที่จะสร้างGกับF ( k )ป้ายคือการใช้การแสดงออกที่มีขนาดใหญ่ ความลึก?nnnGGGkkkGGGฉ( k )ฉ(k)f(k)

15 treewidth  parameterized-complexity  fixed-parameter-tractable  cliquewidth 

ฉันพยายามที่จะเข้าใจแนวคิดบางอย่างเกี่ยวกับการแยกส่วนแบบแยกส่วนและกราฟความกว้างกลุ่ม ในบทความนี้ ("ในกราฟ P4-ระเบียบ") มีหลักฐานของวิธีการแก้ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพเช่นจำนวน clique หรือหมายเลขรงค์โดยใช้การสลายตัว Modular การแก้ปัญหาเหล่านี้โดยการเขียน (โดยใช้ผลรวมไม่รวมหรือแยกอิสระ) กราฟสองกราฟ G1, G2 นั้นง่ายเมื่อคุณรู้คำตอบสำหรับ G1 และ G2 เนื่องจากกราฟเฉพาะบนการสลายตัวของกราฟ P4-ระเบียบเป็นกราฟที่ถูกล้อมรอบ (เช่น C5, P5, ฯลฯ ) มันง่ายที่จะแก้มันสำหรับ "เคสฐาน" เหล่านี้จากนั้นจึงแก้ปัญหาสำหรับการจัดองค์ประกอบ ดังนั้นด้วยการใช้ทรีย่อยสลายมันเป็นไปได้ที่จะแก้ปัญหาเหล่านี้ในเวลาเชิงเส้น แต่ดูเหมือนว่าเทคนิคนี้จะใช้ได้กับคลาสกราฟใด ๆ ที่กำหนดขอบเขตกราฟไว้ จากนั้นฉันก็พบบทความนี้ "ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพเชิงเส้นเวลาที่แก้ไขได้เชิงเส้นบนกราฟของความกว้างของกลุ่มความกว้างของขอบเขต" ซึ่งดูเหมือนจะทำให้เป็นเรื่องทั่วไปที่ฉันกำลังมองหา แต่ฉันไม่เข้าใจมันเป็นอย่างดี คำถามของฉันคือ: 1-จะเทียบเท่ากับการบอกว่ากราฟไพรม์ของแผนภูมิการสลายตัวถูกล้อมรอบ (เช่นในกรณีกราฟ P4-ระเบียบเรียบร้อย) และบอกว่ากราฟมีคุณสมบัติ "Clique-Width" 2-ในกรณีที่คำตอบสำหรับ1คือไม่ใช่ดังนั้น: มีผลใด ๆ เกี่ยวกับคลาสของกราฟที่มีขอบเขตกราฟกำหนดช่วงเวลา (เช่นในกราฟ P4 เรียบร้อย) และทำให้เกิดปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุดเช่นหมายเลข clique-solvable …

15 graph-theory  graph-algorithms  cliquewidth 

ให้เป็นคลาสของกราฟที่มีความกว้าง clique-bound ในกราฟแต่ละกราฟในGมีการหดตัวของขอบบางส่วน (เช่นการสุ่ม) ตอนนี้ความกว้างของกลุ่มยังคง จำกัด อยู่หรือไม่?GGGGGG ในกรณีที่เป็น (โดยทั่วไป) ไม่มีขอบเขตอีกต่อไปฉันจะสนใจในตัวอย่างเคาน์เตอร์

13 graph-theory  co.combinatorics  cliquewidth 

CMSOL คือการนับ Monadic Second Order Logic นั่นคือตรรกะของกราฟที่โดเมนคือเซตของจุดยอดและขอบมีเพรดิเคตสำหรับการติดยอดจุดยอดและอุบัติการณ์ของขอบ - จุดยอดมีปริมาณเหนือขอบจุดยอดชุดขอบและจุดยอด ชุดและมีกริยาซึ่งเป็นการแสดงออกไม่ว่าจะเป็นขนาดของSคือnโมดูโลพีCardn,p(S)Cardn,p(S)\textrm{Card}_{n,p}(S)SSSnnnppp ทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงของ Courcelleระบุว่าหากเป็นสมบัติของกราฟที่แสดงออกได้ใน CMSOL ดังนั้นสำหรับกราฟGของ treewidth ทุก ๆที่kส่วนใหญ่สามารถตัดสินใจได้ในเวลาเชิงเส้นว่าΠถือได้หรือไม่โดยมีการสลายตัวของGในอินพุต ทฤษฎีบทรุ่นต่อมาได้กำหนดให้มีการสลายตัวของต้นไม้ในอินพุต (เพราะสามารถคำนวณด้วยอัลกอริธึมของ Bodlaender ) และอนุญาตให้ปรับให้เหมาะสมแทนการตัดสินใจเท่านั้น เช่นได้รับสูตร MSOL ϕ ( S )เรายังสามารถคำนวณเซตSที่ใหญ่ที่สุดหรือเล็กที่สุดซึ่งตรงกับϕΠΠ\PiGGGkkkΠΠ\PiGGGϕ(S)ϕ(S)\phi(S)SSS )ϕ(S)ϕ(S)\phi(S) คำถามของฉันเกี่ยวข้องกับการปรับทฤษฎีบทของ Courcelle ให้เป็นกราฟของ cliquewidth ที่มีขอบเขต มีทฤษฎีบทคล้าย ๆ กันที่บอกว่าถ้าคุณมี MSOL1 ซึ่งอนุญาตให้มีการหาปริมาณของจุดยอด, ขอบ, เซตจุดยอด แต่ไม่ใช่ชุดขอบแล้วให้กราฟของ cliquewidth k (กับ clique-expression), สำหรับkคงที่ทุกอันสามารถตัดสินใจได้ เส้นเวลาไม่ว่าจะเป็นกราฟGตอบสนองบางสูตร MSOL1 φ …

12 ds.algorithms  reference-request  graph-algorithms  descriptive-complexity  cliquewidth