หลักฐานปัญหาและอุปสรรคและ P vs NP

25

เป็นที่ทราบกันดีว่าหลักฐานใด ๆ แก้ไขP VS NPคำถามจะต้องเอาชนะrelativization , พิสูจน์ธรรมชาติและalgebrizationอุปสรรค แผนภาพต่อไปนี้แบ่งพาร์ติชัน "พื้นที่พิสูจน์" ในภูมิภาคต่าง ๆ ตัวอย่างเช่น $RN$ สอดคล้องกับชุดของบทพิสูจน์ที่สัมพันธ์และเป็นธรรมชาติ $GCT$ (ทฤษฎีความซับซ้อนเชิงเรขาคณิต) เป็นหลักสูตรที่อยู่นอกภูมิภาคอย่างเคร่งครัด

ตั้งชื่อบทพิสูจน์บางส่วนพร้อมกับภูมิภาคที่เป็นที่รู้จักกันดี วางพวกเขาในทางที่ดีที่สุดคือถ้ามีหลักฐานเป็นที่รู้จักกัน relativize, สัญชาติและ algebrize แล้วมันควรจะอยู่ในไม่เพียง แต่ใน Nถ้าหลักฐานพิสูจน์ความสัมพันธ์ แต่ไม่เปลี่ยนสัญชาติมันเป็นของและอื่น ๆ $RNA$ $RN$ $R$ ${\setminus}$ $N$

ข้อความแสดงแทน

— พระอิศวร Kintali
แหล่งที่มา

แต่มีหลักฐานพิสูจน์ที่ถูกต้องของ P vs NP เลยหรือไม่?

— gphilip

2

ฉันคิดว่านี่เป็นคำถาม CW คลาสสิก

— Suresh Venkat

@ gphilip เรากำลังพูดถึงการพิสูจน์ขอบเขตล่างในทฤษฎีความซับซ้อนโดยทั่วไป

— Shiva Kintali

@Suresh การวางการพิสูจน์ในภูมิภาคเหล่านี้เป็นเรื่องไม่สำคัญ คนที่โพสต์คำตอบควรได้รับรางวัล (โดยการลงคะแนนสูงสุด) สำหรับความรู้และความเข้าใจในอุปสรรคเหล่านี้ คุณคิดอย่างไร ?

— Shiva Kintali

หลังจากอ่านคำตอบของ Suresh ด้านล่างฉันคิดว่าฉันได้รับคำถาม (แก้ไขให้ฉันถ้าฉันผิด): คุณกำลังมองหาการจำแนกประเภทของแบบฟอร์ม "ถ้าหลักฐานที่แก้ไข P vs NP มีคุณสมบัติ X แล้วมันเป็นของภูมิภาค Y ใน ภาพ." ในคำตอบของ Suresh X คือ "Interactive" และ Y อยู่นอก R อาจอยู่นอก N เช่นกัน

— gphilip

17

ฉันคิดว่าคุณจำเป็นต้องวาดแผนภาพ Venn ของคุณใหม่ ... การ จำกัด คลาสความซับซ้อนใด ๆ ที่ relativizes จะ algebrize อย่างน้อยก็ในแง่ของ Aaronson และ Wigderson นั่นคือการเข้าถึง "ส่วนขยายระดับต่ำ" ของ oracle นั้นมีประสิทธิภาพมากกว่าการเข้าถึง oracle เท่านั้น ในทำนองเดียวกันออราเคิลใด ๆ ที่แสดงให้เห็นว่าการแยกต้องใช้เทคนิค "ที่ไม่ใช่ algebrizing" ซึ่งหมายความว่าต้องใช้เทคนิค "non-relativizing" ด้วยเช่นกัน

— Ryan Williams
แหล่งที่มา

สวัสดี Ryan ฉันเก็บแผนผังไว้อย่างง่ายๆเพื่อให้เราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับ "การล่มสลาย" ของภูมิภาคเหล่านี้ ตัวอย่างเช่นคำตอบของคุณสามารถปรับปรุงเป็น "

ในความหมายของ Aaronson-Wigderson"

R \subseteq A

$R \subseteq A$

— Shiva Kintali

4

สิ่งที่ไรอันพูดว่ามีไว้สำหรับกักกันเท่านั้น ผลลัพธ์เช่น P = NP หมายถึง P = PH สัมพันธ์อีกครั้ง แต่ไม่ได้แยกแยะ

— Lance Fortnow

@ Lance: ขอบคุณสำหรับการชี้แจง ดังนั้นจึงเหมาะสมที่จะออกจากแผนภาพตามที่เป็นอยู่

— Shiva Kintali

3

ฉันเพิ่งเห็นสิ่งนี้ในตอนนี้ ... จริง ๆ แล้วสก็อตต์และเอวีก็ให้ความหมาย "algebrizing" หลายอย่างเช่นกัน ความคิดของพวกเขาถูกกำหนดไว้อย่างแน่นอนในลักษณะที่จะเพิ่มความสัมพันธ์ (สำหรับความหมายแลนซ์อ้างอิงพวกเขาอาจจะพูดว่าการตีความหมายคือ "

หมายถึง

")

P^{\tilde{A}} = N P^{\tilde{A}}

$P^{\tilde{A}} = NP^{\tilde{A}}$

P H^{A} \subseteq P^{\tilde{A}}

$PH^{A} \subseteq P^{\tilde{A}}$

— Ryan Williams

13

ตรงกันข้ามกับการอ้างสิทธิ์บางส่วนก่อนหน้าในหัวข้อนี้ algebrization ในแง่ของ Aaronson & Wigderson ไม่เป็นที่รู้จักกันในการเพิ่มความสัมพันธ์ ตัวอย่างเช่น,

\begin{matrix} (†) & (\exists C : C \subset N E X P \land C ⊄ P / p o l y) ⟹ N E X P ⊄ P / p o l y \end{matrix}

$\tag{$\dagger$}(\exists \mathcal{C}: \mathcal{C} \subset \mathsf{NEXP} \wedge \mathcal{C} \not \subset \mathsf{P/poly})\implies \mathsf{NEXP} \not\subset \mathsf{P/poly}$

เป็นคำสั่งที่เกี่ยวข้อง (ในความเป็นจริงมันมีหลักฐาน relativizing อะไรก็ตามที่อาจหมายถึงผู้อ่าน) แต่มันก็ไม่รู้จะ algebrize ตามที่ Aaronson & Wigderson พาดพิงถึงตัวเองในมาตรา 10.1 ของกระดาษ [1] (ดังนั้นในขณะที่ AW บอกเราว่าในแผนภาพข้างต้นต้องนอนนอกก็เป็นไปได้ว่า $\mathsf{NEXP} \not\subset \mathsf{P/poly}$ $\mathrm {A}$ อยู่ข้างใน!) $\exists \mathcal{C}: \mathcal{C} \subset \mathsf{NEXP} \wedge \mathcal{C} \not \subset \mathsf{P/poly}$

อย่างไรก็ตามผลงานล่าสุดของ Eric Bach และตัวฉันเอง [2] ให้สูตรการสร้าง algebrization โดยพื้นฐานแล้วถ้าเราใช้ความคิด AW เกี่ยวกับพีชคณิตเกี่ยวกับพีชคณิต --- แสดงว่า สำหรับบางภาษา - และแก้ไขอย่างชาญฉลาดเราสามารถกำจัดพยาธิสภาพเช่นด้านบน $\tilde O$ $O$ $(\dagger)$

ผลลัพธ์ที่ได้คือ algebrization เมื่อนิยามอย่างเหมาะสมคือการเปลี่ยนความสัมพันธ์กับ oracle เกี่ยวกับพีชคณิต --- การเปลี่ยนเชิงพีชคณิตเชิงพีชคณิตโดยที่ทุก oracle ได้รับ "wiggle '' --- ซึ่งหมายความว่าเป็นเซตว่างในแผนภาพด้านบน ดังนั้นเพื่อให้เป็น N $\mathrm{R} \setminus \mathrm{A}$ $\mathrm{RN}$

[1] http://www.scottaaronson.com/papers/alg.pdf
[2] http://eccc.hpi-web.de/report/2016/040/

PS: สูตรอื่นสำหรับ algebrization ถูกเสนอโดย Impagliazzo, Kabanets และ Kolokolova ก่อนหน้านี้ซึ่งวางไว้ข้างในแต่ไม่ทราบว่ามีประสิทธิภาพเท่ากับความคิด AW ดูกระดาษของฉันกับ Eric สำหรับการเปรียบเทียบ $\mathrm{R}$ $\mathrm{A}$

— BarışAydınlıoğlu
แหล่งที่มา

ขอบคุณบาริส ฉันดีใจที่มีคนในที่สุดก็พบความคิดของ algebrization ที่อย่างเป็นทางการไม่ว่าสิ่งที่เราคิดว่ามันควร :)

— ไรอันวิลเลียมส์

11

เวลาและลำดับชั้นพื้นที่ทฤษฎีบท relativize พวกเขาเหมือนกันดังนั้นพวกเขาจึงดูเหมือนจะไม่เป็นธรรมชาติ

ฉันคิดว่าผลลัพธ์ในแนวทแยงมุมทางอ้อมเช่นขอบเขตล่างของ Lance Fortnow ของ TimeSpace และคณะ และผลลัพธ์ของไรอันวิลเลียมส์ก็ไม่สัมพันธ์เพราะมันไม่ใช่กล่องดำ บทพิสูจน์ดูเหมือนจะไม่เป็นธรรมชาติเพราะใช้ทฤษฎีบทลำดับชั้น

บทพิสูจน์ของถาวรที่ไม่ได้อยู่ในเครื่องแบบ $TC^0$ ใช้ทฤษฎีบทลำดับชั้นและดูเหมือนจะไม่ทำงานในกรณีที่ไม่เป็นรูปแบบและดูเหมือนจะไม่เป็นธรรมชาติ ในทางกลับกันฉันไม่รู้ว่าพวกเขาสัมพันธ์กันพวกเขาอาจมีความคิดที่เหมาะสมเกี่ยวกับความสัมพันธ์

— Kaveh
แหล่งที่มา

7

การพิสูจน์แบบโต้ตอบไม่เกี่ยวข้อง ฉันไม่คิดว่าพวกเขาเป็นธรรมชาติเพราะพวกเขาเหมือนกัน

— Suresh Venkat
แหล่งที่มา