ภายใต้สถานการณ์ที่ทำขั้นตอนวิธีการบ่งบอกถึงขั้นตอนวิธีการ?

สมมติว่าสำหรับแต่ละมีเครื่องทัวริงที่ตัดสินใจภาษาในเวลาepsilon}) มีอัลกอริทึมเดียวตัดสินใจในเวลาหรือไม่ (ที่นี่คำว่าวัดในรูปของความยาวอินพุต) $\epsilon > 0$ $M_{\epsilon}$ $L$ $O(n^{a + \epsilon})$ $L$ $O(n^{a + o(1)})$ $o(1)$ $n$

มันสร้างความแตกต่างได้หรือไม่หากอัลกอริทึมคำนวณได้หรือคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพในแง่ของ ? $M_{\epsilon}$ $\epsilon$

แรงจูงใจในการพิสูจน์จำนวนมากก็จะง่ายต่อการสร้างอัลกอริทึมของเวลากว่า จำกัด อัลกอริทึม(1)}) โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่คุณจำเป็นต้องผูกพันระยะอย่างต่อเนื่องในเพื่อส่งผ่านไปวงเงิน(1)}) มันจะดีถ้ามีผลทั่วไปที่คุณสามารถเรียกเพื่อส่งผ่านไปยังขีด จำกัด โดยตรง $O(n^{a + \epsilon})$ $O(n^{a + o(1)})$ $O(n^{a + \epsilon})$ $O(n^{a+o(1)})$

cc.complexity-theory asymptotics

— เดวิดแฮร์ริส
แหล่งที่มา

คำตอบ:

คำถามนี้คล้ายกับคำถามเกี่ยวกับการมีอยู่อย่างสร้างสรรค์ของขีด จำกัด ของลำดับของวัตถุ (เชิงสร้างสรรค์) โดยปกติถ้าคุณสามารถสร้างวัตถุเหล่านั้นอย่างสม่ำเสมอ (ที่นี่ ) มีประสิทธิภาพเพียงพอแล้วคุณสามารถแสดงการมีอยู่ของขีด จำกัด เชิงสร้างสรรค์ $M\epsilon$

ตัวอย่างเช่นสมมติว่าเรามี TMที่รันบนและเวลาทำงานของมันคือ (ที่นี่มีขอบเขตเหมือนกันเช่นบางอย่างเช่นจะไม่ทำงาน) จากนั้นเราสามารถรวมจำลองชุดนี้กับฟังก์ชั่นที่จะได้รับเครื่องที่วิ่งในเวลา(1)}) $N(k,x)$ $M_{|k|^{-1}}$ $x$ $O(n^{a+|k|^{-1}})+O(|k|)$ $O(2^k.n^{a+|k|^{-1}})$ $(k,x)\mapsto x$ $N(x,x)$ $O(n^{a+o(1)})$

PS:เป็นนิด ๆ หน่อย ๆ ไม่ชัดเจนเนื่องจากการทำรังของสัญลักษณ์ asymptotic ผมตีความว่ามันเป็น(1)} นอกจากนี้เราต้องที่จะไม่เล็กเกินไปเช่นอย่างน้อย1 $O(n^{a+o(1)})$ $n^{a+o(1)}$ $a$ $1$

— Kaveh
แหล่งที่มา

คุณสามารถใช้อัลกอริทึมการค้นหาทั่วไปของเลวิน สมมติว่าคุณอย่างใดสามารถระบุลำดับของขั้นตอนวิธีตัดสินใจแต่ละทำงานในเวลาK} เลวินขั้นตอนวิธีการทำงานในเวลาสำหรับทุกที่เป็นค่าคงที่ขึ้นอยู่กับC_kดังนั้นสำหรับทุก , ได้รับ , เลือก , และให้ $A_k$ $L$ $C_k n^{a+1/k}$ $T(n) \leq D_k n^{a+1/k}$ $k$ $D_k$ $C_k$ $k$

τ (n) ≜ \frac{\log T (n)}{\log n} - a \leq \frac{\log D_{k} + (a + 1 / k) \log n}{\log n} - a = \frac{\log D_{k}}{\log n} + \frac{1}{k} .

$\tau(n) \triangleq \frac{\log T(n)}{\log n} - a \leq \frac{\log D_k + (a+1/k) \log n}{\log n} - a = \frac{\log D_k}{\log n} + \frac{1}{k}.$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

k = ⌈ 2 / ϵ ⌉

$k = \lceil 2/\epsilon \rceil$

N = ⌈ D_{k}^{2 / ϵ} ⌉

$N = \lceil D_k^{2/\epsilon} \rceil$ . แล้วสำหรับ ,\ ดังนั้นและเราได้รับที่เลวินขั้นตอนวิธีการทำงานในเวลา(1)}

n \geq N

$n \geq N$

τ (n) \leq ϵ

$\tau(n) \leq \epsilon$

τ (n) \to 0

$\tau(n) \rightarrow 0$

n^{a + τ (n)} = n^{a + o (1)}

$n^{a+\tau(n)} = n^{a+o(1)}$

— Yuval Filmus
แหล่งที่มา

ถ้าฉันเข้าใจอัลกอริทึมของเลวินสิ่งนี้จะใช้กับอัลกอริทึมการค้นหาเท่านั้น ขั้นตอนวิธีการนี้จะทำงานเพื่อกลับฟังก์ชั่นที่สามารถคำนวณได้ในเวลา(ก)})

f

$f$

f

$f$

O (n^{o (a)})

$O(n^{o(a)})$

— David Harris

ฉันไม่แนะนำให้ใช้อัลกอริธึมของ Levin เพียงแนวคิดในการรันอัลกอริธึมทั้งหมดที่ขนานโดยใช้การประกบกันในลักษณะที่แต่ละอันจะชะลอตัวลงเพียงปัจจัยคูณเท่านั้น

A_{k}

$A_k$

— Yuval Filmus

@ Yuval เมื่อคุณทำการอัลกอริธึมทั้งหมดแล้วคุณจะตัดสินใจเลือกคำตอบที่จะยอมรับได้อย่างไร ในปัญหาการค้นหาคุณสามารถทดสอบแต่ละผลลัพธ์ที่สมมุติได้ แต่โดยทั่วไปไม่สามารถทำได้

— David Harris

ฉันยอมรับคำตอบแรกที่ปรากฏขึ้น เราจะได้รับว่าอัลกอริทึมตัดสินใจอย่างถูกต้องL

A_{k}

$A_k$

L

$L$

— Yuval Filmus