มีทฤษฎีระดับกลางสำหรับแคลคูลัสแลมบ์ดาหรือไม่?

มีสองหลักทฤษฎีการศึกษาของแลมบ์ดาแคลคูลัสทฤษฎีเบต้าและการขยายหลังการเสร็จสมบูรณ์ของมันคือทฤษฎีเบต้ากทพ.

ทฤษฏีทั้งสองนี้มีกฎอยู่ระหว่างกลางซึ่งเป็นกฏของกทพ. ระดับกลางที่ให้ทฤษฏีการบรรจบกันใหม่หรือไม่? มีความคิดที่น่าสนใจเกี่ยวกับส่วนขยายบางส่วนที่มันสอดคล้องหรือไม่?

นี่คือคำถามที่สองฉันได้ถามในการแสวงหาของการทางพิเศษแห่งประเทศไทยเป็นสื่อกลางที่เป็นอยู่ก่อนหน้านี้ส่วนขยายของเบต้าทฤษฎีของแลมบ์ดาแคลคูลัสซึ่งนำไปสู่คำถามเกี่ยวกับความคิดมุมฉากของส่วนขยาย, พัฒนาการ equivalences ที่มองไม่เห็นโดยการเขียนกฎไหลมารวมกันซึ่งพยายามที่จะชี้แจง ตอบคำถามก่อนหน้านั้น

สำหรับแคลคูลัสที่พิมพ์หากคุณพิจารณาประเภทลบ ( , × , → ) คุณสามารถเปิดหรือปิดกฎกทพ. โดยทั่วไปได้ตามต้องการโดยไม่กระทบต่อการบรรจบกัน$1$$\times$$\to$

สำหรับประเภทบวก (ผลรวมและคู่ที่มีการตัดรูปแบบที่ตรงกัน) สถานการณ์นั้นยุ่งเหยิงกว่ามาก โดยพื้นฐานแล้วคำถามคือว่าคำนั้นมีรูปแบบการกำจัดแบบปิดขอบเขตหรือไม่ซึ่งจะช่วยให้บริบทมีปฏิสัมพันธ์ในรูปแบบที่ซับซ้อนด้วยการขยายอีเอ - เอ ตัวอย่างเช่นถ้ามีประเภทA × Bดังนั้นการขยายตัวของมันคือl e $e$$A \times B$ ) แต่เพื่อให้ได้ทฤษฎีสมการที่นักทฤษฎีหมวดหมู่คาดหวังคุณต้องพิจารณาบริบท C [ - ]และทำให้สมการทั่วไปเป็น C$\mathsf{let}\;(a,b) = e \;\mathsf{in}\; (a,b)$$\mathbb{C}[-]$ (คาดว่าจะมีข้อ จำกัด ในการกำหนดขอบเขต)$\mathbb{C}[e] \equiv \mathsf{let}\;(a,b) = e\;\mathsf{in}\;\mathbb{C}[(a,b)]$

ฉันคิดว่าคุณยังสามารถพิสูจน์ได้ว่าการบรรจบกันหากคุณไม่อนุญาตให้ทำการแปลง แต่นี่เป็นข่าวลือ - ฉันไม่เคยลองด้วยตัวเองหรือดูเอกสารที่บันทึกไว้

ฉันไม่รู้อะไรเลยเกี่ยวกับแคลคูลัสแลมบ์ดาที่ยังไม่ได้พิมพ์จริงๆ

แก้ไข: Charles ถามเกี่ยวกับการลดราคา นี่เป็นตัวอย่างที่เขาสัญญาเพราะฉันคิดว่าโดยทั่วไปแล้วพวกเขาจะไม่แข็งแรงพอที่จะสร้างแบบจำลองทฤษฎีความเท่าเทียมอย่างสมบูรณ์ซึ่งฉันจะอธิบายด้วยตัวอย่างง่ายๆเกี่ยวกับบูลีน การขยายตัวของ booleans คือ) (การลดกทพ. เป็นอีกทางหนึ่งแน่นอน)$\mathbb{C}[e] \mapsto \mathsf{if}(e, \mathbb{C}[\mathsf{true}], \mathbb{C}[\mathsf{false}])$

ตอนนี้พิจารณาคำที่ ) แสดงว่าคำนี้เทียบเท่ากับ i f$\mathsf{if}(e, f, g)\;\mathsf{if}(e, x, y)$จำเป็นต้องผ่านการขยาย eta เนื่องจากเราต้องแทนที่ eในหนึ่งใน if-then-elses ด้วย t r u eและ f a l s eเพื่อขับรถ$\mathsf{if}(e, f\;x, g\;y)$$e$$\mathsf{true}$$\mathsf{false}$$\beta$ -reduction

ตามที่ John C. Mitchell ในรากฐานของภาษาโปรแกรมทั้งใน STLC และในแคลคูลัสแลมบ์ดาที่ไม่มีการพิมพ์กฎของการpair (proj₁ P, proj₂ P) → Pแบ่งแบ่งการรวมกันเมื่อรวมกับfixการลดลง (หรือฉันถือว่าจากการพิสูจน์) โดยไม่มีเงื่อนไขดังกล่าว นี่คือทฤษฎีบท 4.4.19 (หน้า 272)