อัลกอริทึมและทฤษฎีความซับซ้อนของโครงสร้าง

ผลลัพธ์ที่สำคัญมากในทฤษฎีความซับซ้อนของคอมพิวเตอร์และโดยเฉพาะ "โครงสร้าง" ทฤษฎีความซับซ้อนมีคุณสมบัติที่น่าสนใจว่าพวกเขาสามารถเข้าใจได้เป็นพื้นฐานต่อไปนี้ (ที่ผมเห็นมัน ... ) จากอัลกอริทึมผลให้อัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพหรือโปรโตคอลการสื่อสารสำหรับบางคน ปัญหา. เหล่านี้รวมถึงต่อไปนี้:

IP = PSPACEตามด้วยอัลกอริธึมวนซ้ำแบบจำลองพื้นที่แบบจำลองที่มีประสิทธิภาพพื้นที่และโปรโตคอลแบบโต้ตอบที่มีประสิทธิภาพสำหรับการประเมินสูตรบูลีนเชิงปริมาณทั้งหมด ในความเป็นจริงความซับซ้อนของความเท่าเทียมกันในระดับ A = B สามารถมองเห็นได้จากสองอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพ (อัลกอริทึมสำหรับปัญหาใน A ซึ่งมีประสิทธิภาพเมื่อเทียบกับ B และในทางกลับกัน)
การพิสูจน์ความสมบูรณ์ของปัญหาบางอย่างเป็นเพียงการหาอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพเพื่อลดปัญหา NP-complete
ส่วนประกอบที่สำคัญ (ในเนื้อหา!) ในลำดับชั้นของเวลาทฤษฎีบทเป็นการจำลองแบบสากลที่มีประสิทธิภาพของเครื่องทัวริง
$\not \supset$
PCP ทฤษฎีบทเป็นช่องว่างที่ขยายที่มีประสิทธิภาพเป็นไปได้สำหรับปัญหาความพึงพอใจ จำกัด
เป็นต้น

คำถามของฉัน (ซึ่งอาจคลุมเครือสิ้นหวัง!) มีดังนี้: มีผลลัพธ์ที่สำคัญในทฤษฎีความซับซ้อนของโครงสร้างหรือไม่ (แตกต่างจาก "meta-results" เช่นอุปสรรค relativisation) ซึ่งไม่ทราบว่ามีการตีความตามธรรมชาติในแง่ของประสิทธิภาพ อัลกอริทึม (หรือโปรโตคอลการสื่อสาร)?

cc.complexity-theory structural-complexity

— Ashley Montanaro
แหล่งที่มา

ฉันหวังว่าคำตอบคือ "ไม่" เพราะฉันคิดว่าความซับซ้อนนั้นเกี่ยวกับการเข้าใจพลังของอัลกอริทึมจริงๆ! ฉันจะบอกว่า PARITY ไม่ได้อยู่ในเกือบจะมีคุณสมบัติ แต่ตอนนี้ฉันไม่คิดอย่างนั้น คุณสามารถดูการสลับแทรกเป็นอัลกอริทึมแบบสุ่มที่ช่วยให้คุณสลับสองแถวของวงจรโดยไม่ต้องมีขนาดใหญ่พัดขึ้น (และก็ยังสามารถ derandomized ( eccc.hpi-web.de/report/2012/116 ).

A C^{0}

$AC^0$

— Joshua Grochow

AshleyMontanaro: บางทีทฤษฎีความซับซ้อนอาจเชื่อมโยง "ตามคำนิยาม" กับประสิทธิภาพ (เวลา / พื้นที่) ของอัลกอริทึม ทันทีที่คุณย้ายออกจากประสิทธิภาพคุณจะพบผลลัพธ์พื้นฐานเช่นความไม่แน่นอนของปัญหาการหยุดชะงัก แต่คุณไม่ได้อยู่ในโดเมน "ความซับซ้อน" อีกต่อไป อย่างไรก็ตามพยายามที่จะให้คำตอบบางส่วนฉันคิดว่าลักษณะทางตรรกะของคลาสความซับซ้อนเป็นผลลัพธ์ที่สำคัญที่ให้มุมมองที่แตกต่างไม่ได้ (โดยตรง) เชื่อมโยงกับ "อัลกอริทึม"

— Marzio De Biasi

โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันจะได้แสดงรายการอธิบายลักษณะของ NP ในแง่ของตรรกะลำดับที่สองที่มีอยู่ นี่เป็นเรื่องของพลังการแสดงออกอย่างแท้จริงและไม่เกี่ยวกับอัลกอริทึมเป็นหลัก อย่างไรก็ตามทฤษฎีบทของ Courcelle แสดงให้เห็นว่าความแตกต่างนี้ไม่ได้เกิดขึ้นจริง

— Suresh Venkat

คุณจะบอกว่าการพิสูจน์ Razborov-Smolensky ของ PARITY ที่ไม่ได้อยู่ใน AC0 มีผลลัพธ์แบบอัลกอริทึมที่แกนกลางของมันหรือไม่? และสิ่งที่เกี่ยวกับความซับซ้อนแบบสอบถามขอบเขตที่ต่ำกว่าเช่นเดียวที่บอกว่าคอมพิวเตอร์ควอนตัมไม่สามารถแก้ปัญหาที่เกิดขึ้นในการค้นหาเรียงลำดับคำสั่ง?

o (\sqrt{n})

$o(\sqrt{n})$

— Robin Kothari

ดูเพิ่มเติมที่cstheory.stackexchange.com/questions/3229/…

— sdcvvc

สำหรับขอบเขตล่างในความซับซ้อนเชิงพีชคณิตฉันไม่ทราบถึงการตีความตามธรรมชาติในแง่ของอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพ ตัวอย่างเช่น:

เทคนิคอนุพันธ์บางส่วนของ Nisan และ Wigderson
เทคนิคการจัดอันดับของ Hessian ของ Mignon และ Ressayre (ซึ่งเป็นที่รู้จักกันดีในปัจจุบันคือขอบเขตล่างถาวรและดีเทอร์มิแนนต์)
ระดับที่ถูกผูกไว้ของ Strassen (และ Baur-Strassen)
เทคนิคการเชื่อมต่อส่วนประกอบของ Ben-Or

จากผลลัพธ์ทั้งหมดข้างต้นพวกเขาดูเหมือนจะใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องซึ่งคุณสมบัตินั้นดูเหมือนว่าไม่เกี่ยวข้องกับการมีอยู่ของอัลกอริทึมเฉพาะใด ๆ

เพื่อผลลัพธ์ที่ไม่ใช่เชิงพีชคณิตต่อไปนี้เป็นความคิดสองประการ:

อาร์กิวเมนต์การนับมาตรฐานสำหรับการเรียงลำดับขอบเขตล่างไม่ปรากฏว่ามีการตีความในแง่ของอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพ อย่างไรก็ตามมีเวอร์ชันที่เป็นปฏิปักษ์ของขอบเขตล่างนี้ [1] ซึ่งมีอัลกอริทึมที่ให้แผนภูมิการตัดสินใจใด ๆ ที่ใช้การเปรียบเทียบน้อยเกินไปสร้างรายการที่ต้นไม้ตัดสินใจไม่ถูกต้อง แต่เวอร์ชันที่เป็นปฏิปักษ์ในขณะที่ไม่ได้ยากนั้นยากกว่าการพิสูจน์การนับอย่างมาก (โปรดสังเกตว่าสิ่งนี้ค่อนข้างแข็งแกร่งกว่าสิ่งที่ได้รับโดยใช้เทคนิคขอบล่างของปฏิปักษ์เช่นในบันทึกเหล่านี้เนื่องจากใน [1] ฝ่ายตรงข้ามนั้นมีประสิทธิภาพ ) $n \log n$
ฉันคิดว่าฉันเปลี่ยนใจเกี่ยวกับ PARITY ที่ไม่ใช่ใน (แม้แต่หลักฐานดั้งเดิมให้พิสูจน์ Razborov-Smolensky ตามลำพังโดย @RobinKothari) แม้ว่าการเปลี่ยนเล็มม่าสามารถดูเป็นอัลกอริธึมแบบสุ่ม ( หรือกำหนดค่าได้ ) ที่ให้คุณสลับสองแถวของวงจรโดยไม่มีขนาดใหญ่ แต่ฉันคิดว่านี่มีรสชาติที่แตกต่างกว่าความซับซ้อนหลายประการและโดยเฉพาะ สิ่งที่คุณอ้างถึง ตัวอย่างเช่นหลักฐานของวิลเลียมส์ที่ขึ้นอยู่กับการมีอัลกอริทึมที่ดีสำหรับปัญหาเฉพาะ ในทางตรงกันข้ามถ้าใครสามารถพิสูจน์อะไรบางอย่างเช่นการสลับแทรก nonconstructively ก็จะเป็นเช่นเดียวกับดีสำหรับการพิสูจน์ PARITY ไม่ได้อยู่ใน 0 $AC^0$ $ACC \neq NEXP$ $AC^0$

เพราะสองตัวอย่างสุดท้ายเหล่านี้ - โดยเฉพาะการเรียงลำดับที่การพิสูจน์มาตรฐานไม่มีแบบแผน - ฉันคิดว่าคำถามอาจไม่ได้เกี่ยวกับการตีความตามธรรมชาติในแง่ของอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพ แต่ก็เกี่ยวกับความสร้างสรรค์ / ประสิทธิผล ผลลัพธ์ที่ซับซ้อน (ขึ้นอยู่กับสิ่งที่ OP มีอยู่ในใจ) นั่นคือการจัดเรียงมาตรฐานที่ต่ำกว่าขอบเขตไม่ได้เป็นเชิงสร้างสรรค์หรืออัลกอริทึม แต่มีการพิสูจน์เชิงสร้างสรรค์ขั้นตอนวิธีของผลลัพธ์เดียวกัน

[1] Atallah, MJ และ Kosaraju อาร์มีปฏิปักษ์ตามผูกพันลดลงสำหรับการเรียงลำดับ แจ้ง. พร เลทท์ 13 (2): 55-57, 1981

— Joshua Grochow
แหล่งที่มา