สัญชาตญาณเบื้องหลังระบบพิสูจน์

ฉันพยายามที่จะอยู่ภายใต้การยืนกระดาษบน P-Optimal หลักฐานระบบและ Logic สำหรับ PTIME มีแนวคิดที่เรียกว่าระบบพิสูจน์ในกระดาษและฉันไม่ได้รับความตั้งใจ:

$\Sigma = \{0,1\}$ ... เราแจ้งปัญหาเกี่ยวกับการย่อยของใน *$Q$$\Sigma^*$

ฉันคิดว่าความตั้งใจคือเราเข้ารหัสโครงสร้างบางอย่างใน (เช่นกราฟที่ไม่ได้บอกทิศทาง) และส่วนย่อยของโครงสร้างเหล่านี้เป็นปัญหา (เช่นกราฟระนาบ)$\Sigma^*$

ระบบป้องกัน สำหรับปัญหาเป็นฟังก์ชัน surjectiveคำนวณในเวลาพหุนาม$Q \subset \Sigma^*$$P:\Sigma^* \to Q$

ตอนนี้สิ่งหนึ่งที่เป็นไปได้คือการพูดเป็นชุดของโมเดลที่เป็นไปได้ทั้งหมดในโครงสร้างที่แน่นอน (เช่นกราฟที่ไม่ได้บอกทิศทางทั้งหมด) แต่นั่นไม่สมเหตุสมผลเพราะเหตุใดจึงควรแมปกราฟที่ไม่ได้บอกทิศทางไว้ในชุดย่อย มันอาจเป็นเครื่องทัวริงที่เข้ารหัส แต่นี่ก็ไม่สมเหตุสมผล ...$\Sigma^*$

ความคิดใด ๆ

คิดว่าเข้ารหัสวัตถุบางประเภทและเป็นชุดของวัตถุทั้งหมดที่ตอบสนองคุณสมบัติบางอย่าง คิดว่าเป็นฟังก์ชั่นที่รับ (การเข้ารหัสของ) คู่ที่เป็นวัตถุและถูกกล่าวหา "หลักฐาน" ของQ ฟังก์ชั่นคือ "ตรวจสอบหลักฐาน" มันจะตรวจสอบว่าจริงเป็นหลักฐานที่ถูกต้องที่Q ถ้าเป็นเช่นนั้นก็จะส่งกลับมิฉะนั้นก็จะส่งกลับองค์ประกอบเริ่มต้นของQ$\Sigma^{*}$$Q$$P$$(x, p)$$x$$p$$x \in Q$$P$$p$$x \in Q$$x$$Q$

ตัวอย่างเช่นสมมติว่าเข้ารหัสกราฟและปล่อยให้เป็นเซต (ของการเข้ารหัส) ของกราฟมิลโตเนียน เป็นไปได้คือ: อินพุตถอดรหัสเป็นโดยที่คือกราฟและเป็นรายการของจุดยอดของ ; ตรวจสอบว่าเป็นวัฏจักร Hamiltonian ใน ; ถ้าเป็นเช่นนั้นส่งคืนมิฉะนั้นคืนกราฟในจุดหนึ่ง$\Sigma^{*}$$Q$$P$$(G, \ell)$$G$$\ell$$G$$\ell$$G$$G$

คุณพิจารณากรณีของกราฟระนาบ เพื่อให้ได้ที่เหมาะสมเราจำเป็นต้องมีความคิดเกี่ยวกับหลักฐานที่ตรวจสอบได้ในเวลาโพลีของระนาบ$P$

โดยทั่วไปการป้อนข้อมูลเพื่อไม่จำเป็นต้องเข้ารหัสคู่P) สิ่งที่สำคัญก็คือว่าสามารถแยกสองชิ้นส่วนของข้อมูลจากการป้อนข้อมูลของวัตถุในคำถามและหลักฐานที่ถูกกล่าวหาว่าวัตถุที่เป็นของQตัวอย่างเช่นให้เราใช้เป็นชุดของประโยคทั้งหมดที่พิสูจน์ได้ในบางทฤษฎีลำดับแรก ตอนนี้ถอดรหัสอินพุตเป็นหลักฐานอย่างเป็นทางการ หากการเข้ารหัสที่ไม่ถูกต้องก็จะส่งกลับ\หากการเข้ารหัสแสดงถึงการพิสูจน์ที่ถูกต้องมันจะส่งกลับคำสั่งที่พิสูจน์โดยการพิสูจน์ (ซึ่งน่าจะเป็นรากของต้นไม้การพิสูจน์หรือสูตรสุดท้ายในลำดับของคำสั่งขึ้นอยู่กับวิธีพิสูจน์หลักฐานของคุณ)$P$$(x, p)$$P$$Q$$Q$$P$$\top$

คุณควรคิดของการป้อนข้อมูลของระบบพิสูจน์เป็นข้อความของหลักฐานที่ขององค์ประกอบQ หากข้อความที่ถูกต้องที่มิฉะนั้นบางคงQ เราต้องการให้เป็นโพลีไทม์เนื่องจากนั่นหมายความว่าการพิสูจน์นั้นง่ายต่อการตรวจสอบ$P$$\pi$$q \in Q$$P(\pi) = q$$P(\pi)$$q_0 \in Q$$P$

ยกตัวอย่างเช่นสมมติว่าเป็นเซตของ tautologies เชิงประพจน์และคือระบบการพิสูจน์แบบฮิลแบร์ตซึ่งประกอบด้วยชุดของเส้นซึ่งแต่ละชุดนั้นเป็นความจริงหรือตามมาจากบรรทัดก่อนหน้าผ่านกฎการสืบทอด Ponens) หากหลักฐานถูกต้องว่าควรส่งออกบรรทัดสุดท้ายในการพิสูจน์ ซ้ำซากมิฉะนั้นการส่งออกคงที่บางอย่างเช่นพี$Q$$P$$P$$p \lor \lnot p$

กลับไปที่คำถามแรกของคุณเป็นการเข้ารหัสของโครงสร้างทั้งหมดของบางประเภทที่ตรงกับคุณสมบัติบางอย่าง ตัวอย่างหนึ่งคือ tautologies อีกตัวอย่างหนึ่งคือชุดของกราฟที่ไม่ใช่ 3 colorable ทั้งหมดซึ่งมีระบบพิสูจน์ที่เรียกว่าแคลคูลัสHajós$Q$