มันเป็นไปได้ที่จะตัดสินใจ

18

ฉันรู้ว่ามันเป็นไปไม่ได้ที่จะตัดสินใจ equivalence สำหรับแคลคูลัสแลมบ์ดาที่ยังไม่พิมพ์ อ้างอิงBarendregt, HP แลมบ์ดาแคลคูลัส: ไวยากรณ์และความหมาย นอร์ทฮอลแลนด์, อัมสเตอร์ดัม (1984) : $\beta$

หาก A และ B ไม่ต่อเนื่องชุดของแลมบ์ดาที่ไม่มีเงื่อนไขซึ่งจะถูกปิดภายใต้ความเสมอภาค A และ B จะแยกกันไม่ออกซ้ำ มันเป็นไปตามนั้นหาก A เป็นชุด lambda ที่ไม่เป็นเงื่อนไขซึ่งถูกปิดภายใต้ความเท่าเทียมกันดังนั้น A จึงไม่เกิดซ้ำ ดังนั้นเราไม่สามารถตัดสินใจปัญหา "M = x" สำหรับม. ใด ๆ โดยเฉพาะเช่นกันแลมบ์ดาไม่มีโมเดลแบบเรียกซ้ำ

หากเรามีระบบการทำให้เป็นมาตรฐานเช่น System F เราสามารถเลือก equivalence "จากภายนอก" โดยการลดคำที่กำหนดทั้งสองและเปรียบเทียบว่ารูปแบบปกติของพวกเขาเหมือนกันหรือไม่ อย่างไรก็ตามเราสามารถทำ "จากภายใน" ได้ไหม? มี System-F combinatorเช่นนั้นสำหรับสอง combinatorsและเรามีถ้าและมีรูปแบบปกติเหมือนกันและอย่างอื่นหรือไม่? หรือนี้สามารถทำได้อย่างน้อยสำหรับบางหรือไม่? เพื่อสร้าง combinatorเช่นนั้นเป็นจริง iff $\beta$ $E$ $M$ $N$ $E M N = \mbox{true}$ $M$ $N$ $E M N = \mbox{false}$ $M$ $E_M$ $E_M N$ $N\equiv_\beta M$ ? ถ้าไม่ทำไม

— Petr Pudlák
แหล่งที่มา

19

ไม่เป็นไปไม่ได้ พิจารณาต่อไปนี้ทั้งสองอาศัยอยู่ในประเภทB) $(A \to B) \to (A \to B)$

\begin{array}{l} M = λ f . f \\ N = λ f . λ a . f a \end{array}

$\begin{array}{l} M = \lambda f.\;f \\ N = \lambda f.\;\lambda a.\; f\;a \end{array}$

รูปแบบเหล่านี้แตกต่างจาก -normal แต่ไม่สามารถแยกแยะได้ด้วยศัพท์แลมบ์ดาตั้งแต่ $\beta$ $N$ $\eta$ $M$ $\eta$

$\eta$ $(\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha) \to (\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha)$

\begin{array}{lcl} M & = & λ f : (\forall α . α \to α) . Λ α . λ x : α . f [\forall α . α \to α] (Λ β . λ y : β . y) [α] x \\ N & = & λ f : (\forall α . α \to α) . Λ α . λ x : α . f [α] x \end{array}

$\begin{array}{lcl} M & = & \lambda f:(\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha).\;\Lambda \alpha.\lambda x:\alpha.\;f \;[\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha]\;(\Lambda \beta.\lambda y:\beta.\;y)\;[\alpha]\;x\\ N & = & \lambda f:(\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha).\;\Lambda \alpha.\lambda x:\alpha.\;f\;[\alpha]\;x \end{array}$

$\beta$ $\eta$ $\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha$ $(\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha) \to (\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha)$

— Neel Krishnaswami
แหล่งที่มา

2

β, η

$\beta,\eta$

11

$E$ $E$

E : \forall α . α \to α \to b o o l

$E : \forall \alpha.\alpha\rightarrow \alpha\rightarrow {\bf bool}$

ปรากฎว่ามีทฤษฎีบทให้ฟรีที่แสดงออกว่าคำดังกล่าวจำเป็นต้องมีค่าคงที่ :

\forall T, t, u, t^{'}, u^{'} : T, E T t u = E T t^{'} u^{'}

$\forall T,\ t,u,t',u':T,\ E\ T\ t\ u = E\ T\ t'\ u'$

$E$

— Cody
แหล่งที่มา