อะไรคือผลกระทบของ

46

เรารู้ว่า $\mathsf{L} \subseteq \mathsf{NL} \subseteq \mathsf{P}$ และ $\mathsf{L} \subseteq \mathsf{NL} \subseteq \mathsf{L}^2 \subseteq$ $\mathsf{polyL}$ ที่ $\mathsf{L}^2 = \mathsf{DSPACE}(\log^2 n)$ )เรารู้ด้วยว่า $\mathsf{polyL} \neq \mathsf{P}$ เพราะหลังมีปัญหาที่สมบูรณ์ภายใต้พื้นที่ลอการิทึมลดลงหลายคนในขณะที่อดีตไม่ได้ (เนื่องจากทฤษฎีบทลำดับชั้นพื้นที่) เพื่อที่จะเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่าง $\mathsf{polyL}$ และ $\mathsf{P}$ มันอาจช่วยให้เข้าใจความสัมพันธ์ระหว่าง $\mathsf{L}^2$ และ $\mathsf{P}$ อันดับแรก

อะไรคือผลกระทบของ $\mathsf{L}^2 \subseteq \mathsf{P}$ ?

สิ่งที่เกี่ยวกับความแข็งแกร่ง $\mathsf{L}^{k} \subseteq \mathsf{P}$ สำหรับ $k>2$ หรืออ่อนแอ $\mathsf{L}^{1 + \epsilon} \subseteq \mathsf{P}$ สำหรับ $\epsilon > 0$ ?

— argentpepper
แหล่งที่มา

4

@OrMeir ฉันเพิ่งเพิ่มคำอธิบายความจริงข้อนี้ไปที่บทความวิกิพีเดีย polyL

— argentpepper

13

L^{2} \subseteq P

$L^2 \subseteq P$

L \neq P

$L \neq P$

L ⊊ L^{2}

$L \subsetneq L^2$

12

คำถามที่เรียบร้อย! ฉันคิดว่ามันคุ้มค่าเงินอย่างแน่นอน Btw นี่คือการสังเกตง่ายๆถ้าแล้ว{n})}) ดังนั้นเราจึงมีอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นสำหรับ CNF-SAT และเราปฏิเสธ ETH (สมมติฐานเวลาเอ็กซ์โปเนนเชียล)

L^{2} \subseteq P

$L^2 \subseteq P$

D S P A C E (n) \subseteq D T I M E (2^{O (\sqrt{n})})

$DSPACE(n) \subseteq DTIME(2^{O(\sqrt{n})})$

— Michael Wehar

3

การติดตามความคิดเห็นของ @ MichaelWehar ความหมายตามมาจากการโต้แย้งมาตรฐานที่ครอบคลุมถึงสมมติฐานที่อ่อนแอ: หากอยู่ในดังนั้นปัญหาใด ๆ ที่สามารถแก้ไขได้ในพื้นที่เชิงเส้น (รวมถึงปัญหาความพึงพอใจ) ได้รับการแก้ไขในเวลาขวา)}

L^{1 + ϵ}

$L^{1 + \epsilon}$

P

$P$

2^{O (n^{\frac{1}{1 + ϵ}})}

$2^{O\left(n^{\frac{1}{1 + \epsilon}}\right)}$

— argentpepper

3

@SajinKoroth: ฉันคิดว่าความคิดเห็นของคุณเช่นเดียวกับ Michael Wehar's (และการติดตามของ argentpepper) ควรเป็นคำตอบ ...

— Joshua Grochow

26

ต่อไปนี้เป็นผลลัพธ์ที่ชัดเจน: จะแสดงถึงและ{P} $\mathsf{L}^{1+\epsilon} \subseteq \mathsf{P}$ $\mathsf{L} \subsetneq \mathsf{P}$ $\mathsf{L} \neq \mathsf{P}$

โดยทฤษฎีบทลำดับชั้นพื้นที่epsilon} หากแล้ว{P} $\forall \epsilon > 0: \mathsf{L} \subsetneq \mathsf{L}^{1+\epsilon}$ $\mathsf{L}^{1+\epsilon} \subseteq \mathsf{P}$ $\mathsf{L} \subsetneq \mathsf{L}^{1+\epsilon} \subseteq \mathsf{P}$

— Sajin Koroth
แหล่งที่มา

เชิงอรรถขนาดเล็ก: ถ้าแล้วเรามีหรือL

P \neq L

$P \neq L$

P \neq N L

$P \neq NL$

N L \neq L

$NL \neq L$

— Michael Wehar

27

$\newcommand{\DSPACE}{\mathsf{DSPACE}} \newcommand{\L}{\mathsf{L}} \newcommand{\P}{\mathsf{P}} \newcommand{\DTIME}{\mathsf{DTIME}}$

$\L^2 \subseteq \P$ จะลบล้างสมมติฐานเวลาเอ็กซ์โพเนนเชียล

หาก แล้วโดยอาร์กิวเมนต์ paddingn)}) ซึ่งหมายความว่าปัญหาความน่าเชื่อถือ สามารถตัดสินใจได้ในขั้นตอน refuting สมมติฐานเวลาเอ็กซ์โพเนนเชียล $\L^2 \subseteq \P$ $\DSPACE(n) \subseteq \DTIME(2^{O(\sqrt n)})$ $\mathsf{SAT} \in \DSPACE(n)$ $2^{o(n)}$

โดยทั่วไป สำหรับ หมายถึง {K}})}) $\DSPACE(\log^{k} n) \subseteq \P$ $k\geq1$ $\mathsf{SAT} \in \DSPACE(n) \subseteq \DTIME(2^{O(n^{\frac{1}{k}})})$

(คำตอบนี้ขยายจากความคิดเห็นโดย @MichaelWehar)

— argentpepper
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับการขยายความคิดเห็น! ฉันรู้สึกทราบซึ้ง. :)

— Michael Wehar

1

นอกจากนี้สมมติฐานสุดท้ายยังบ่งบอกว่าอยู่ใน DSPACE ( ) DTIME ( )

Q B F

$QBF$

n

$n$

\subseteq

$\subseteq$

2^{O (n^{\frac{1}{k}})}

$2^{O(n^{\frac{1}{k}})}$

— Michael Wehar

8

กลุ่มมอร์ฟ (กับกลุ่มที่ได้รับเป็นตารางการคูณ) จะอยู่ในพีลิปตันสไนเดอร์และ Zalcstein แสดงให้เห็นว่าปัญหานี้อยู่ในแต่มันยังคงเปิดอยู่ว่ามันอยู่ในพี is - เวลา, และเนื่องจากมันลดกราฟ isomorphism, เป็นอุปสรรคสำคัญในการใส่ iso กราฟลงใน P $\mathsf{L}^2$ $n^{O(\log n)}$

ทำให้ฉันสงสัยว่าปัญหาธรรมชาติและสำคัญอื่น ๆ ที่จะนำไปใช้กับ: นั่นคือในแต่ด้วยเวลาที่รู้จักกันดีที่สุดของพวกเขาบนกึ่ง - พหุนามพหุนาม $\mathsf{L}^2$

— Joshua Grochow
แหล่งที่มา

1

โดยเฉพาะอย่างยิ่งปัญหาทั่วไปมากขึ้นของ quasigroup มอร์ฟอยู่ในซึ่งเป็น subclass ของ 2

β_{2} F O L L

$\beta_2 \mathsf{FOLL}$

L^{2}

$\mathsf{L}^2$

— เงินอาร์เจนตินา

1

นอกจากนี้ปัญหาอันดับของกลุ่ม (กำหนดให้กลุ่มGเป็นตารางสูตรคูณและจำนวนเต็มk , Gมีชุดของ cardinality kหรือไม่?) มีคุณสมบัตินี้เช่นกัน อัลกอริทึมเป็นเพียงการค้นหาส่วนย่อยของGของ cardinality kแต่ใช้ข้อเท็จจริงที่สำคัญสองอย่าง: (1) แต่ละกลุ่ม จำกัด มีการสร้างชุดของขนาดลอการิทึมและ (2) สมาชิกกลุ่มย่อยอยู่ในซึ่งเท่ากับ{L}

S L

$\mathsf{SL}$

L

$\mathsf{L}$

— argentpepper

1

การอ้างสิทธิ์:ถ้าสำหรับบางแล้วและNL $L^k \subseteq P$ $k > 2$ $P \neq \log(CFL)$ $P \neq NL$

สมมติว่าสำหรับบาง2 $L^k \subseteq P$ $k > 2$

เริ่มต้นที่ " หน่วยความจำขอบเขตสำหรับการรับรู้ภาษาบริบทฟรีและบริบท " เรารู้ว่า(n)) โดยทฤษฎีบทลำดับชั้นพื้นที่เรารู้ว่า(n)) $CFL \subseteq DSPACE(\log^2(n))$ $DSPACE(\log^2(n)) \subsetneq DSPACE(\log^k(n))$

ดังนั้นเราจึงได้รับP $\log(CFL) \subseteq DSPACE(\log^2(n)) \subsetneq DSPACE(\log^k(n)) \subseteq P$

นอกจากนี้โดย Savitch ทฤษฎีบทเรารู้ว่า 2 ดังนั้นเราจึงได้รับP $NL \subseteq L^2$ $NL \subseteq DSPACE(\log^2(n)) \subsetneq DSPACE(\log^k(n)) \subseteq P$

— Michael Wehar
แหล่งที่มา