ทำความเข้าใจกับตรรกะจุดที่กำหนดอย่างน้อยที่สุด

เพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้นกระดาษฉันพยายามที่จะเข้าใจสั้น ๆ ของตรรกะจุดน้อยที่สุดคงที่ มีบางจุดที่ฉันติดอยู่

ถ้าเป็นกราฟและ$G = (V,E)$

เป็นผู้ประกอบการในไบนารีสัมพันธ์Pผมไม่เข้าใจว่าทำไมจุดอย่างน้อยคงของคือการปิดสกรรมกริยาของEตัวอย่างนำมาจากFinite Model Theory และ Applications (หน้า 60)$P$$P^*$$P$$E$

เมื่อขยายตรรกะลำดับที่หนึ่งด้วยตัวดำเนินการตัวชี้อย่างน้อยคงที่ฉันไม่เข้าใจว่าทำไมสัญลักษณ์ความสัมพันธ์จำเป็นต้องเป็นค่าบวกในสูตร บวกหมายถึงว่าการเกิดทุกครั้งในสูตรนั้นอยู่ในสัญลักษณ์ลบจำนวนคู่$S_i$$S_i$

ไม่มีใครมีความคิดว่าสิ่งที่ดีในการอ่านเพื่อให้เข้าใจง่ายของตรรกะตัวชี้อย่างน้อยคงที่และไวยากรณ์และความหมายของมัน?

หากคุณกำลังมีปัญหากับแนวคิดของจุดคงที่ที่น้อยที่สุดฉันขอแนะนำให้คุณใช้เวลาสักครู่เพื่อรับพื้นหลังในทฤษฎีลำดับทั่วไป

ดาวี่และพรีสลี่ย์คำแนะนำเกี่ยวกับโปรยและคำสั่งเป็นคำแนะนำที่ดี

หากต้องการดูสาเหตุที่การปิดสกรรมกริยาเป็นจุดคงที่น้อยที่สุดให้จินตนาการถึงการสร้างการปิดจากชุดว่างโดยใช้สูตรตรรกะทีละขั้นตอน จุดคงที่น้อยที่สุดมาถึงเมื่อคุณไม่สามารถเพิ่มขอบใหม่โดยใช้สูตร

ความต้องการที่สูตรเป็นบวกจะทำให้แน่ใจได้ว่ากระบวนการเป็นแบบโมโนโทนิคนั่นคือมันจะเติบโตในแต่ละขั้นตอน หากคุณมีฟอร์มย่อยเชิงลบคุณอาจมีกรณีที่ในบางขั้นตอนชุดของขอบจะลดลงและสิ่งนี้อาจนำไปสู่การแกว่งขึ้นลงที่ไม่สิ้นสุดแทนที่จะเป็นการบรรจบกับ LFP

พิจารณาพีชคณิตแบบบูลที่เกิดขึ้นจาก powerset ของเซต จำกัด $S$สั่งโดยชุดรวม ตอนนี้ให้พิจารณาผู้ประกอบการ$P$ ที่กำหนดโดย

เห็นได้ชัดว่า $P$ เป็นตัวดำเนินการที่ไม่เป็นบวก

1. แสดงว่าไม่มีคะแนนคงที่ $\mu P$ ดังนั้น $P(\mu P) = \mu P$. เป็นผลให้คุณสามารถสรุปได้ว่า$\mu X.\;P(X)$ ไม่สามารถกำหนดได้ดี

2. พิสูจน์ทฤษฎีบท Knaster-Tarksi ด้วยตัวคุณเอง นั่นคือถ้าคุณมีโครงตาข่ายที่สมบูรณ์$L$และฟังก์ชั่นเสียงเดียว $f : L \to L$จากนั้นชุดของคะแนนคงที่ของ $f$รูปแบบตาข่ายที่สมบูรณ์ (เป็นผลให้,$f$ มีจุดคงที่ที่น้อยที่สุดและยิ่งใหญ่ที่สุด) การพิสูจน์นี้สั้นมาก แต่มันเป็นบิตของรอยขีดข่วนหัวในครั้งแรกที่คุณเห็นมันและความน่าเบื่อของ $f$ มีความสำคัญต่อการโต้แย้ง

3. พิสูจน์ด้วยตัวคุณเองว่าโอเปอเรเตอร์ใด ๆ ที่กำหนดโดยนิพจน์ด้วยตัวแปรอิสระ $X$ซึ่งเกิดขึ้นในเชิงบวกเท่านั้นคือเสียงเดียว ดังนั้นการเกิดขึ้นในเชิงบวกจึงเป็นเงื่อนไขทางวากยสัมพันธ์ซึ่งเพียงพอต่อการบังคับใช้ความน่าเบื่อหน่าย

ฉันพบว่าไม่มีสิ่งใดทดแทนการทำสิ่งพิสูจน์เหล่านี้สำหรับตัวคุณเอง

นี่คือโพสต์เก่ามากดังนั้นคุณอาจได้พบคำตอบตามที่ต้องการแล้ว ตั้งแต่ฉันเรียน FO (LFP) ในช่วงไม่กี่เดือนที่ผ่านมา ฉันเข้าใจคำตอบที่คุณต้องการ

เพื่อตอบสนองความต้องการด้านบวกความต้องการนั้นมาจากการทดสอบว่าสูตรจับตัวดำเนินการแบบโมโนโทนหรือไม่สามารถบอกได้ทั้งในแบบ จำกัด และแบบไม่มีขีด จำกัด ฉันหมายถึงอะไรโดยสูตรจับผู้ประกอบการโมโนโทน? สมมติว่าคุณเขียน FO$[\sigma$] สูตรที่มีตัวแปรลำดับที่สองที่บอกว่าฟรี $\phi(\vec{x},X)$ที่ไหน $|\vec{x}|=ar(X)$จากนั้นเราสามารถกำหนดผู้ประกอบการที่เกี่ยวข้อง $f_\phi$ : $\mathcal{P}(A^{ar(X)}) \mapsto \mathcal{P}(A^{ar(x)})$ โดยที่ ar (X) คือ arity ของตัวแปรลำดับที่สองและ A คือโดเมนของ $\sigma$-โครงสร้าง $\mathbb{A}$ และ $\mathcal{P}(Z)$ คือพลังของเซตซีและ $f_\phi(Z) = \{\ \vec{a} \in A^{ar(X)}\ |\ \mathbb{A},\vec{a},Z \models \phi\ \}$. ถ้าโอเปอเรเตอร์นี้เป็นโมโนโทนเราสามารถจับจุดคงที่ได้อย่างง่ายดายทั้งในขอบเขต จำกัด และโครงสร้างไม่สิ้นสุดตามทฤษฎีบทจุดคงที่ของอัศวินตาทาร์สกีที่กล่าวถึงในคำตอบข้างต้น แต่ปัญหาคือการทดสอบว่าสูตรที่เขียนจากแบบฟอร์มดังกล่าวข้างต้นเข้ารหัสผู้ประกอบการโมโนโทนหรือไม่ไม่สามารถตัดสินใจได้ดังนั้นเราจำเป็นต้องได้สิ่งที่ดีที่สุดถัดไป ความไม่มีเสถียรภาพในตัวแปรอิสระอันดับที่สองช่วยให้มั่นใจว่าจะได้รับความต้องการทางโมโนโพนิคซึ่งเป็นการเหนี่ยวนำโครงสร้างมาตรฐานเพื่อพิสูจน์ปรากฏการณ์นี้ คำถามคือเพียงพอหรือไม่

เพื่อที่ฉันยังไม่มีคำตอบที่มั่นคงตั้งแต่ฉันยังคงอ่าน ฉันสามารถชี้ไปที่เอกสารที่อยู่ด้านหน้านี้ อย่างน้อยหนึ่งความคิดที่อธิบายถึงที่นี่มาจากบทความMonotone vs Positive - Ajtai, Gurevich นอกจากนี้ยังกล่าวถึงกระดาษอีกส่วนขยายจุดคงที่ของตรรกะลำดับแรกโดย Gurevich และ Shelah ที่ระบุตัวดำเนินการจุดคงที่เมื่อนำไปใช้กับสูตรบวกไม่สูญเสียพลังการแสดงออกเมื่อเปรียบเทียบกับการประยุกต์ใช้กับสูตรเสียงเดียวโดยพลการ