ความสามารถในการดิ้นรนของปัญหาที่ทำให้สมบรูณ์แบบสมบูรณ์เป็นหลักการของฟิสิกส์ได้หรือไม่?

ฉันรู้สึกทึ่งกับการขาดหลักฐานเชิงตัวเลขจากการทดลองทางคณิตศาสตร์สำหรับหรือต่อต้านคำถาม P vs NP ในขณะที่สมมติฐานของ Riemann มีหลักฐานสนับสนุนบางอย่างจากการตรวจสอบเชิงตัวเลข แต่ฉันไม่ได้ตระหนักถึงหลักฐานที่คล้ายกันสำหรับคำถาม P vs NP

นอกจากนี้ฉันไม่ได้ตระหนักถึงผลกระทบทางโลกโดยตรงของการมีอยู่ของปัญหาที่ไม่อาจตัดสินใจได้ (หรือการมีอยู่ของฟังก์ชันที่ไม่สามารถคำนวณได้) การพับโปรตีนเป็นปัญหาสมบูรณ์แบบของ NP แต่ดูเหมือนว่าจะเกิดขึ้นอย่างมีประสิทธิภาพมากในระบบชีวภาพ Scott Aaronson เสนอโดยใช้ NP Hardness Assumption เป็นหลักการของฟิสิกส์ เขากล่าวอย่างไม่เป็นทางการว่า " ปัญหาที่เกิดขึ้นอย่างสมบูรณ์ในโลกทางกายภาพนั้นยากที่จะแก้ปัญหาได้ "

การสันนิษฐาน NP Hardness สันนิษฐานว่าทำไมมันยากที่จะออกแบบการทดลองทางวิทยาศาสตร์ที่ตัดสินว่าจักรวาลของเราเคารพการสันนิษฐาน NP Hardness หรือไม่?

นอกจากนี้ยังมีหลักฐานเชิงตัวเลขที่ทราบจากการทดลองทางคณิตศาสตร์สำหรับหรือต่อต้าน$P\ne NP$หรือไม่?

แก้ไข:นี่คือการนำเสนอที่ดีโดย Scott Aaronson เรื่องIntractability การคำนวณเป็นกฎหมายของฟิสิกส์

ฉันไม่คิดว่าความจริงที่ว่าเป็นคำบอกกล่าวแบบอะซิมโทติคเป็น "ผู้แจกไพ่" โดยอัตโนมัติ เราสามารถสร้างการคาดเดาที่เป็นรูปธรรมที่สอดคล้องกับความรู้ของเรา แต่แข็งแกร่งกว่า P vs NP เช่น "ต้องใช้เวลาอย่างน้อย2 n / 10ขั้นตอนในการค้นหาการมอบหมายที่น่าพอใจสำหรับสูตรสุ่มตัวแปร nS 10SAT" (กับ "สุ่ม" รูปแบบการปลูกของAchlioptas Coja-Oghlanนี่เป็นเพียงตัวอย่าง - ฉันไม่รู้ว่าตัวเลขที่เป็นรูปธรรมที่สมเหตุสมผลอยู่ตรงไหน)$P\neq NP$$2^{n/10}$

การคาดเดาเช่นนี้อาจส่งผลให้มีการคาดการณ์ที่น่าเชื่อถือว่าระบบธรรมชาติใด ๆ ที่จะพยายามแก้ปัญหานี้จะล้มเหลว (เช่นติดอยู่ในท้องถิ่นน้อยที่สุด) สิ่งที่คุณสามารถตรวจสอบได้ด้วยการทดลอง อันที่จริงฉันไม่ได้เป็นผู้เชี่ยวชาญในเรื่องนี้ แต่สำหรับความรู้ของฉันดังที่ Joe Fitzsimons พูดถึงการคาดการณ์ดังกล่าวได้รับการยืนยันด้วย Adiabatic computing (สกอตต์แอรอนสันก็มีการทดลองสนุกสนานกับฟองสบู่)

แน่นอนคุณยังสามารถเห็น "หลักฐานเชิงประจักษ์" สำหรับ ในความจริงที่ว่าผู้คนพยายามแก้ไขปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพการเข้ารหัส cryptoanalyze เป็นต้นและยังไม่ประสบความสำเร็จ ...$P \neq NP$

โลกแห่งความจริงเป็นวัตถุขนาดคงที่ดังนั้นจึงไม่มีวิธีที่จะแยกแยะขั้นตอนโลกแห่งเวลาจริงในพหุนามเพื่อแก้ปัญหา NP-complete ที่มีค่าคงที่ขนาดใหญ่ซ่อนอยู่ในสัญกรณ์ O ขนาดใหญ่

อย่างไรก็ตามนอกเหนือจากจุดนี้ข้อสันนิษฐานก็คือคำแถลงของรูปแบบ "ไม่มีกระบวนการในโลกแห่งความเป็นจริงที่ทำ ... " ใครออกแบบการทดลองเพื่อลบล้างคำกล่าวนั้น? หากสมมติฐานเป็นเช่น "ถ้าเราทำ X ในโลกแห่งความเป็นจริง Y เกิดขึ้น" นี่สามารถหักล้างได้ด้วยการแสดง X คำแถลงว่าเราต้องการยืนยันสิ่งที่ไม่มีตัวตนดังนั้นฉันจึงไม่เห็นการทดลอง ตัดสินใจมัน มันอาจแสดงให้เห็นว่าเป็นผลทางกายภาพของกฎของฟิสิกส์ แต่นี่ก็ยิ่งยากกว่า P vs NP เพราะเครื่องทัวริงทำตามกฎของฟิสิกส์ เนื่องจากเราไม่ประสบความสำเร็จแม้จะแสดงว่า TM ไม่สามารถแก้ปัญหา NP-complete ในเวลาพหุนามก็ดูเหมือนว่าหมดหวังที่จะแสดงว่ากระบวนการทางกายภาพไม่สามารถแก้ปัญหา NP-Complete ในเวลาพหุนาม

แน่นอนว่ารุ่นทางกายภาพของ P ไม่เท่ากับ NP นั่นคือไม่มีระบบทางกายภาพตามธรรมชาติใด ๆ ที่สามารถแก้ไขปัญหาที่เกิดขึ้นได้อย่างสมบูรณ์ มีข้อกังวลเล็กน้อย

1) progrem ดูเหมือนจริง "orthogonal" ทั้งฟิสิกส์ทดลองและทฤษฎี ดังนั้นจึงไม่ได้ให้ข้อมูลเชิงลึกที่เป็นประโยชน์ในทางฟิสิกส์

มีข้อโต้แย้งที่ดีว่าเราสามารถอนุมานได้จากการคาดเดาเชิงลึกของฟิสิกส์ แต่การขัดแย้งเหล่านี้ค่อนข้าง "เบา" และมีช่องโหว่ (และข้อโต้แย้งดังกล่าวมีแนวโน้มที่จะเป็นปัญหาเนื่องจากมันขึ้นอยู่กับการคาดเดาทางคณิตศาสตร์ที่ยากมากเช่น NP nonot เท่ากับ P และ NP ไม่รวมอยู่ใน BQP ที่เราไม่เข้าใจ)

(ความคิดเห็นที่คล้ายกันนำไปใช้กับ "วิทยานิพนธ์ทัวริสตจักรทัวริง".)

2) แม้ว่า NP ทางกายภาพไม่เท่ากัน P นั้นเป็นการคาดเดาที่กว้างกว่าทางคณิตศาสตร์ NP ไม่เท่ากัน แต่เราสามารถพิจารณาได้ว่ามันถูก จำกัด มากขึ้นเนื่องจากอัลกอริทึมที่เกิดขึ้นในธรรมชาติ (และแม้แต่อัลกอริธึมที่มนุษย์สร้างขึ้น) คลาสที่ จำกัด ของอัลกอริทึมที่เป็นไปได้ทั้งหมดในทางทฤษฎี มันจะน่าสนใจมากที่จะเข้าใจข้อ จำกัด ดังกล่าวอย่างเป็นทางการ แต่ในกรณีใด ๆ "พิสูจน์" exerimental ตามที่แนะนำในคำถามจะใช้เฉพาะกับชั้นเรียนที่ จำกัด เหล่านี้

3) ในการสร้างแบบจำลองทางวิทยาศาสตร์ความซับซ้อนในการคำนวณหมายถึงลำดับที่สองซึ่งอันดับแรกเราต้องการสร้างแบบจำลองปรากฏการณ์ทางธรรมชาติและดูสิ่งที่สามารถทำนายได้จากแบบจำลอง (วางทฤษฎีความซับซ้อนของการคำนวณไว้ข้างๆ) การให้น้ำหนักมากเกินไปกับปัญหาความซับซ้อนในการคำนวณในขั้นตอนการสร้างแบบจำลองดูเหมือนจะไม่เกิดผล ในหลายกรณีตัวแบบจำลองนั้นเริ่มต้นด้วยการคำนวณ แต่มันอาจจะเป็นไปได้สำหรับปัญหาที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติหรือมีประโยชน์ในการทำความเข้าใจปรากฏการณ์

4) ฉันเห็นด้วยกับโบอาสว่าปัญหาเรื่องซีมโทติคนั้นไม่จำเป็นสำหรับ "ตัวจัดการแจกไพ่" ยังคงเป็นเรื่องที่ค่อนข้างร้ายแรงเมื่อพูดถึงความเกี่ยวข้องของความซับซ้อนในการคำนวณที่มีความสำคัญต่อการสร้างแบบจำลองในชีวิตจริง

ถ้าคุณจะอนุญาตให้ฉันพูดคุยเล็กน้อยสักหน่อย ... ขอขยายคำถามและถามถึงข้อสันนิษฐานความซับซ้อนเชิงทฤษฎีอื่น ๆ และผลที่ตามมาสำหรับการทดลองทางวิทยาศาสตร์ (ฉันจะมุ่งเน้นไปที่ฟิสิกส์) เมื่อเร็ว ๆ นี้มีโปรแกรมที่ค่อนข้างประสบความสำเร็จในการพยายามทำความเข้าใจชุดของความสัมพันธ์ที่อนุญาตระหว่างอุปกรณ์การวัดสองเครื่องซึ่งในขณะที่มีการแยกเชิงพื้นที่ให้ทำการวัดบนระบบทางกายภาพ 1) ภายใต้การตั้งค่านี้และการตั้งค่าที่คล้ายกันเราสามารถใช้สมมติฐานเกี่ยวกับความแข็งของความซับซ้อนของการสื่อสารเพื่อให้ได้ขอบเขตที่ จำกัด ซึ่งจะสร้างความสัมพันธ์ที่อนุญาตสำหรับกลศาสตร์ควอนตัม

เพื่อให้คุณมีรสชาติให้ฉันอธิบายผลก่อนหน้านี้ในเรื่องนี้ โปเปสคุ-Rohrlich กล่อง (หรือ PR กล่อง) เป็นอุปกรณ์ที่จินตนาการซึ่งผลิตซ้ำความสัมพันธ์ระหว่างอุปกรณ์วัดที่มีความสอดคล้องกับหลักการที่ว่าข้อมูลที่ไม่สามารถเดินทางได้เร็วกว่าแสง (เรียกว่าหลักการของไม่มีการส่งสัญญาณ )

S. Popescu & D. Rohrlich, ควอนตัม nonlocality เป็นสัจพจน์ที่พบ สรวง 24, 379–385 (1994)

เราสามารถเห็นสิ่งนี้เป็นตัวอย่างของความซับซ้อนในการสื่อสารที่มีอิทธิพลบางอย่าง ความคิดที่ว่าผู้สังเกตการณ์สองคนต้องสื่อสารโดยปริยายถือว่ามีข้อ จำกัด บางอย่างซึ่งนักฟิสิกส์จะเรียกว่าไม่มีสัญญาณ เมื่อพลิกความคิดนี้ไปแล้วความสัมพันธ์ประเภทใดบ้างที่เป็นไปได้ระหว่างอุปกรณ์การวัดสองตัวที่ถูก จำกัด โดยไม่มีสัญญาณ นี่คือสิ่งที่ Popescu & Rohrlich ศึกษา พวกเขาแสดงให้เห็นว่าชุดของความสัมพันธ์ที่อนุญาตนี้มีขนาดใหญ่กว่าที่ได้รับอนุญาตจากกลศาสตร์ควอนตัมอย่างเข้มงวดซึ่งจะใหญ่กว่าของฟิสิกส์คลาสสิกที่ได้รับอนุญาตอย่างเคร่งครัด

คำถามนั้นนำเสนอตัวเองสิ่งที่ทำให้ชุดของควอนตัมสหสัมพันธ์เป็น "ขวา" ชุดสหสัมพันธ์และไม่ใช่สิ่งที่ได้รับอนุญาตโดยไม่มีสัญญาณ

เพื่อตอบคำถามนี้เรามาทำข้อสันนิษฐานเปลือย ๆ ว่ามีฟังก์ชั่นที่มีอยู่ซึ่งความซับซ้อนของการสื่อสารนั้นไม่ซับซ้อน นี่ไม่ใช่แค่เรื่องไร้สาระหมายความว่าการร่วมกันคำนวณฟังก์ชันบูลีน f (x, y) มันต้องใช้เวลามากกว่าแค่บิตเดียว (2) ดีอย่างน่าประหลาดใจแม้ว่าความซับซ้อนเชิงทฤษฎีที่อ่อนแอมากนี้ก็เพียงพอที่จะ จำกัด พื้นที่ของสหสัมพันธ์ที่อนุญาตได้

G. Brassard, H. Buhrman, N. Linden, AA Méthot, A. Tapp, และ F. Unger, ข้อ จำกัด เกี่ยวกับความไร้สถานที่ในโลกที่มีความซับซ้อนในการสื่อสารไม่สำคัญ รายได้ Lett 96, 250401 (2549)

โปรดทราบว่าผลลัพธ์ที่อ่อนแอกว่านั้นได้รับการพิสูจน์แล้วในปริญญาเอก วิทยานิพนธ์ของ Wim van Dam อะไร Brassard และคณะ พิสูจน์ได้ว่ามีการเข้าถึงกล่องประชาสัมพันธ์แม้จะเป็นความผิดพลาดและเพียงสร้างความสัมพันธ์ที่ถูกต้องบางครั้งช่วยให้หนึ่งที่ซับซ้อนเล็กน้อยสื่อสารซับซ้อน ในโลกนี้ทุกฟังก์ชั่นบูลีนสองตัวแปรสามารถคำนวณร่วมกันโดยการส่งเพียงบิตเดียว ดูเหมือนจะไร้สาระทีเดียวดังนั้นลองดูในทางกลับกัน เราสามารถนำความซับซ้อนของการสื่อสารมาเป็นสัจพจน์และทำให้เราได้รับความจริงที่ว่าเราไม่ได้สังเกตความสัมพันธ์ที่แข็งแกร่งกว่าควอนตัมในการทดลองของเรา

โปรแกรมที่ใช้ความซับซ้อนของการสื่อสารนี้ประสบความสำเร็จอย่างน่าประหลาดใจบางทีอาจมากกว่าโปรแกรมที่เกี่ยวข้องสำหรับความซับซ้อนในการคำนวณ เอกสารข้างต้นเป็นเพียงส่วนเล็กของภูเขาน้ำแข็ง สถานที่ที่ดีในการเริ่มอ่านเพิ่มเติมคือความคิดเห็นนี้:

H. Buhrman, R. Cleve, S. Massar และ R. de Wolf, ความซับซ้อนของการไม่เผยแพร่และการสื่อสาร, รายได้ Mod สรวง 82, 665–698 (2010)

หรือการค้นหาวรรณคดีจากเอกสารสองฉบับที่ฉันอ้างถึง

สิ่งนี้ทำให้เกิดคำถามที่น่าสนใจเกี่ยวกับสาเหตุที่การตั้งค่าการสื่อสารดูเหมือนจะคล้อยตามการวิเคราะห์มากกว่าการตั้งค่าการคำนวณ บางทีนั่นอาจเป็นหัวข้อคำถามอื่นที่โพสต์ไว้ใน cstheory

(1) ยกตัวอย่างเช่นการทดลองวัดสิ่งที่เรียกว่า CHSH inequality (ประเภทของความไม่เท่าเทียมกันของBell ) ซึ่งระบบทางกายภาพประกอบด้วยโฟตอนสองอันที่พันกันและการวัดเป็นการวัดโพลาไรเซชันของโฟตอนแต่ละตัว

(2) บิตเดียวนี้จำเป็นเมื่อใดก็ตามที่ f (x, y) ขึ้นอยู่กับทั้ง x และ y เนื่องจากการส่งบิตศูนย์จะเป็นการไม่ส่งสัญญาณ

นอกจากนี้ยังมีหลักฐานเชิงตัวเลขที่ทราบจากการทดลองทางคณิตศาสตร์สำหรับหรือต่อต้านP ≠ N P$P \neq NP$

$NP \subseteq P/poly$

ตอนนี้การหาวงจรขั้นต่ำสำหรับ SAT ที่มีความยาวสูงสุด 10 อยู่ในขณะนี้เป็นเรื่องยากมาก อย่างไรก็ตามความคิดบางอย่างในทฤษฎีความซับซ้อนทางเรขาคณิตช่วยให้คุณได้รับผลลัพธ์ที่คล้ายกันด้วยการค้นหาที่มีประสิทธิภาพมากขึ้น (ฉันคิดว่าเป็นเพียงการชี้แจงแทนการค้นหาทวีคูณทวีคูณ) หนึ่งในการคาดเดาของ Mulmuley คือในความเป็นจริงการค้นหานี้สามารถทำได้ในเวลาพหุนาม แต่เราเป็นทางยาวจากการพิสูจน์สิ่งที่ใกล้เคียง

คำจำกัดความของ "เวลาโพลิโนเมียล" และ "เวลาเอ็กซ์โพเนนเชียล" อธิบายถึงพฤติกรรมการ จำกัด ของเวลาที่ใช้งานเมื่อขนาดอินพุตเริ่มเป็นอินฟินิตี้ ในทางกลับกันการทดสอบทางกายภาพใด ๆ จะพิจารณาเฉพาะอินพุตที่มีขนาด จำกัด ดังนั้นจึงไม่มีวิธีใดที่จะตรวจสอบการทดลองได้ว่าอัลกอริทึมที่ให้มานั้นรันในเวลาพหุนามเวลาเอ็กซ์โพเนนเชียลหรืออย่างอื่น

หรือพูดอีกอย่างคือสิ่งที่โรบินพูด

ผมขอเริ่มด้วยการบอกว่าผมเห็นด้วยกับโรบินอย่างสมบูรณ์ สำหรับการพับโปรตีนนั้นมีปัญหาเล็กน้อย เช่นเดียวกับระบบดังกล่าวการพับโปรตีนสามารถติดอยู่ในท้องถิ่นน้อยที่สุดซึ่งเป็นสิ่งที่คุณดูเหมือนจะละเลย ปัญหาที่พบโดยทั่วไปมากขึ้นก็คือการค้นหาสภาพพื้นดินของมิลโตเนียนบางส่วน จริงๆแล้วแม้ว่าเราจะพิจารณาเพียงสปิน (เช่น qubits) ปัญหานี้เสร็จสมบูรณ์สำหรับ QMA

Hamiltonian ธรรมชาตินั้นมีความนุ่มกว่าเล็กน้อยอย่างไรก็ตามบางส่วนของเทียมที่ใช้ในการพิสูจน์ความสมบูรณ์ของ QMA (ซึ่งมีแนวโน้มที่จะไม่สะท้อนปฏิกิริยาทางธรรมชาติ) แต่แม้ว่าเราจะ จำกัด การโต้ตอบสองตัวที่เป็นธรรมชาติในระบบง่าย ๆ ผลลัพธ์ยังคงเป็นปัญหา NP - ปัญหาที่สมบูรณ์ อันที่จริงนี่เป็นพื้นฐานของวิธีการที่พยายามแก้ไขปัญหา NP โดยใช้การคำนวณควอนตัมอะเดียแบติก น่าเสียดายที่ดูเหมือนว่าวิธีนี้จะไม่ทำงานสำหรับปัญหา NP-complete เนื่องจากปัญหาทางเทคนิคค่อนข้างจะทำอย่างไรกับโครงสร้างระดับพลังงาน อย่างไรก็ตามสิ่งนี้นำไปสู่ผลลัพธ์ที่น่าสนใจของปัญหาที่มีอยู่ภายใน NP ซึ่งไม่สามารถแก้ไขได้โดยธรรมชาติ (ซึ่งฉันหมายถึงกระบวนการทางกายภาพ) หมายความว่ามีระบบที่ไม่สามารถระบายความร้อนได้อย่างมีประสิทธิภาพ กล่าวคือ,

การศึกษาสถานการณ์ในโลกแห่งความเป็นจริงจากมุมมองการคำนวณค่อนข้างยากเนื่องจาก "กระโดด" อย่างต่อเนื่อง ในขณะที่กิจกรรมทั้งหมดในโลกแห่งความเป็นจริง (สมมุติ) จะทำงานในเวลาต่อเนื่องแบบจำลองที่เรามักจะใช้จะดำเนินการในเวลาที่ไม่ต่อเนื่อง ดังนั้นจึงเป็นเรื่องยากมากที่จะกำหนดว่าควรจะมีขนาดเล็กหรือใหญ่เพียงใดสิ่งที่ควรเป็นขนาดของปัญหาเป็นต้น

ฉันได้เขียนบทสรุปลงบนกระดาษของ Aaronson เกี่ยวกับเรื่องนี้ แต่ไม่ใช่ในภาษาอังกฤษ ดูกระดาษเดิม

โดยส่วนตัวแล้วฉันเคยได้ยินอีกตัวอย่างหนึ่งของปัญหาโลกแห่งความจริงที่จำลองไว้ในการคำนวณ บทความนี้เกี่ยวกับแบบจำลองระบบควบคุมที่อิงกับนกมาเตือนแม้ว่ามันจะใช้เวลาสั้น ๆ ในชีวิตจริงของนก แต่มันก็เป็นเรื่องยาก ("หอคอยแห่ง 2s") เมื่อวิเคราะห์ว่าเป็นปัญหาการคำนวณ ดูกระดาษโดย Bernard Chazelleสำหรับรายละเอียด

[แก้ไข: ชี้แจงส่วนที่เกี่ยวกับกระดาษ Chazelle ขอบคุณที่ให้ข้อมูลที่แม่นยำ]

ฉันยังคงลงคะแนนให้กับปัญหาของ n-body เป็นตัวอย่างของปัญหาที่รบกวนไม่ได้ สุภาพบุรุษที่อ้างถึงวิธีแก้ปัญหาเชิงตัวเลขลืมไปว่าวิธีแก้ปัญหาเชิงตัวเลขเป็นแบบจำลองแบบเรียกซ้ำและไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาในหลักการในลักษณะเดียวกับวิธีการวิเคราะห์ โซลูชันการวิเคราะห์ของ Qui Dong Wang นั้นยากนัก โปรตีนที่สามารถพับและดาวเคราะห์ที่สามารถโคจรในระบบมากกว่าสองวัตถุคือระบบทางกายภาพไม่ใช่วิธีการแก้ปัญหาแบบอัลกอริธึมของปัญหาแบบ P-NP

ฉันต้องชื่นชมความยากลำบากของ chazisop ด้วยการแก้ปัญหาอย่างต่อเนื่อง หากเวลาหรือพื้นที่ว่างเป็นแบบต่อเนื่องช่องว่างสถานะที่อาจเกิดขึ้นจะนับไม่ได้ (aleph one)

เราไม่สามารถแก้ปัญหาอย่างมีประสิทธิภาพ $n$- ปัญหาทุกอย่าง แต่ดาวเคราะห์หินสำหรับสมองเหล่านั้นดูเหมือนจะจัดการได้ดี