การระบายสีระนาบที่ไม่เหมาะสมด้วยขนาดส่วนประกอบเดียว

ขอให้เราผ่อนคลายการระบายสีเล็กน้อยนั่นคือเราอนุญาตให้จำนวนจุดยอดที่อยู่ติดกันจำนวนน้อยถูกกำหนดสีเดียวกัน ส่วนประกอบ monochromatic ถูกกำหนดให้เป็นส่วนประกอบที่เชื่อมต่อในกราฟย่อยที่เกิดจากชุดของจุดยอดที่ได้รับสีเดียวกันและคำถามคือการถามจำนวนขั้นต่ำของสีที่จำเป็นสำหรับสีของกราฟเช่นองค์ประกอบ monochromatic ที่ใหญ่ที่สุดมีขนาด ไม่เกินC$\lambda$$C$
การระบายสีแบบดั้งเดิมถือได้ว่าระบายสีในการตั้งค่านี้ ดังนั้นการหาจำนวนขั้นต่ำของλคือ NP-hard สำหรับกราฟระนาบโดยทั่วไป $[\lambda,1]$$\lambda$

คำถามของฉันก็คือระบายสีกราฟระนาบ$[\lambda,2]$หรือโดยทั่วไประบายสีสำหรับC ≥ 2 ?$[\lambda,C]$$C \geq 2$

นี้สามารถดูได้เป็นปัญหาคู่ของสิ่งที่ศึกษาโดยเอ็ดเวิร์ดและฟาร์ที่ได้รับการแก้ไขและหนึ่งถามว่าจะหาสิ่งที่ขนาดต่ำสุดของC$\lambda$$C$

การจับคู่ที่สมบูรณ์แบบ 2 สีในกราฟลูกบาศก์ภาพถ่ายคล้ายกับปัญหาของคุณซึ่งระบุไว้ว่าเป็น NP- สมบูรณ์โดย Schaefer ในกระดาษทฤษฎีบทการแบ่งขั้วที่มีชื่อเสียงของเขาแม้ว่าเขาจะไม่ได้ให้การพิสูจน์กราฟลูกบาศก์ภาพถ่าย ปัญหาที่ถามถึงการมีอยู่ของสองสีกราฟลูกบาศก์ระนาบดังกล่าวว่าทุกจุดสุดยอดมีเพื่อนบ้านหนึ่งที่มีสีเดียวกันเป็นของตัวเอง

แก้ไข: การระบายสีที่มีข้อบกพร่องเป็นเวอร์ชันการตัดสินใจของปัญหาของคุณ กราฟคือ (k, d) - colorable ถ้าใครสามารถระบายสีจุดยอดด้วยสี k ซึ่งไม่มีจุดยอดติดกับจุดยอดมากกว่าสีเดียวกัน ปัญหาการตัดสินใจ (2,1) - การใช้สีที่มีข้อบกพร่องซึ่งเทียบเท่ากับปัญหาการปรับให้เหมาะสมของคุณแสดงให้เห็นว่าเป็นปัญหาที่สมบูรณ์แม้สำหรับกราฟระนาบ