คำถามติดแท็ก graph-colouring

กราฟเป็น -choosable (เรียกอีกอย่างว่า -list-colorable ) ถ้าสำหรับทุกฟังก์ชั่นที่แมปจุดยอดไปยังชุดของสีมีการกำหนดสีเช่นนั้นสำหรับทุกจุด ,และเช่นว่าสำหรับขอบทั้งหมด ,(w)kkkkkkfffkkkcccvvvc(v)∈f(v)c(v)∈f(v)c(v)\in f(v)vwvwvwc(v)≠c(w)c(v)≠c(w)c(v)\ne c(w) ทีนี้สมมติว่ากราฟไม่ใช่ -choosable นั่นคือมีอยู่ฟังก์ชั่นจากจุดที่จะ -tuples ของสีที่ไม่ได้มีการกำหนดที่ถูกต้องสีคสิ่งที่ฉันอยากรู้คือต้องการสีทั้งหมดกี่สี? มีขนาดเล็กแค่ไหน? มีจำนวน (อิสระจาก ) เช่นที่เราสามารถรับประกันว่าจะได้พบกับ uncolorableว่าเพียงใช้สีที่แตกต่างกัน?GGGkkkfffkkkccc∪v∈Gf(v)∪v∈Gf(v)\cup_{v\in G}f(v)N(k)N(k)N(k)GGGfffN(k)N(k)N(k) ความเกี่ยวข้องกับ CS คือถ้ามีอยู่เราสามารถทดสอบ -choosability สำหรับค่าคงที่ในช่วงเวลาเอกซ์โปเนนเชียล (เพียงลอง\ binom {N (k)} {k} ^ nตัวเลือกfและ สำหรับการตรวจสอบแต่ละครั้งว่าสามารถใช้สีได้ในเวลาk ^ nn ^ {O (1)} ) ในขณะที่อาจจำเป็นต้องใช้บางสิ่งบางอย่างที่เติบโตอย่างรวดเร็วเช่นn ^ {kn}N(k)N(k)N(k)kkkkkk(N(k)k)n(N(k)k)n\binom{N(k)}{k}^nfffknnO(1)knnO(1)k^n n^{O(1)}nknnknn^{kn}

39 graph-theory  co.combinatorics  graph-colouring  exp-time-algorithms 

ทฤษฎีบทสี่สี (4CT) ระบุว่ากราฟระนาบทุกอันมีสี่สี มีหลักฐานสองข้อที่ให้ [Appel, Haken 1976] และ [Robertson, Sanders, Seymour, Thomas 1997] หลักฐานทั้งสองนี้ใช้คอมพิวเตอร์ช่วยและค่อนข้างน่ากลัว มีการคาดเดาหลายอย่างในทฤษฎีกราฟที่บ่งบอกถึง 4CT การแก้ปัญหาของการคาดเดาเหล่านี้อาจต้องการความเข้าใจที่ดีขึ้นเกี่ยวกับการพิสูจน์ 4CT นี่คือการคาดเดาหนึ่งอย่าง: การคาดเดา : ให้เป็นกราฟระนาบปล่อยให้Cเป็นชุดของสีและf : C → Cการมีส่วนร่วมอย่างอิสระ ให้L = ( L v : v ∈ V ( G ) )เป็นเช่นนั้นGGGCCCฉ: C→ Cf:C→Cf : C \rightarrow CL = ( Lโวลต์: v ∈ …

38 graph-theory  co.combinatorics  big-list  graph-colouring 

ปรับปรุง : ชุดการอุดตัน (เช่น NxM "อุปสรรค" ระหว่าง colorable และ uncolorable ขนาดตาราง) สำหรับทุกสีเดียวสี่เหลี่ยมผืนผ้าฟรี 4 สีอยู่ในขณะนี้เป็นที่รู้จักกัน ทุกคนรู้สึกถึงการลอง 5 สีหรือไม่ ;) คำถามต่อไปนี้เกิดขึ้นจากทฤษฎีแรมซีย์ พิจารณา -coloring ของกราฟกริด -by-A จะเกิดขึ้นเมื่อใดก็ตามที่มีสี่เซลล์ที่มีสีเดียวกันจัดเป็นมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้า ตัวอย่างเช่น,และเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสีเดียวถ้าพวกมันมีสีเดียวกัน ในทำนองเดียวกันและรูปแบบ monochromatic สี่เหลี่ยมถ้าสีที่มีสีเดียวกันkkknnnmmmmonochromatic rectangle(0,0),(0,1),(1,1),(0,0),(0,1),(1,1),(0,0), (0,1), (1,1),(1,0)(1,0)(1,0)(2,2),(2,6),(3,6),(2,2),(2,6),(3,6),(2,2), (2,6), (3,6),(3,2)(3,2)(3,2) คำถาม : Does มีอยู่ -coloring ของ -by-กราฟตารางที่ไม่ได้มีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสีเดียว? ถ้าเป็นเช่นนั้นให้ระบุสีที่ชัดเจน444171717171717 ข้อเท็จจริงบางอย่างที่รู้จัก: 161616 -by-เป็น -colorable โดยไม่ต้องสี่เหลี่ยมผืนผ้าสีเดียว แต่ที่รู้จักกันในรูปแบบสีไม่ปรากฏที่จะขยายไปยัง -by-กรณี (ฉันไม่สนใจสี -by-เป็นที่รู้จักเพราะมันน่าจะเป็นปลาเฮอริ่งแดงสำหรับการตัดสินใจ …

37 co.combinatorics  puzzles  open-problem  ramsey-theory  graph-colouring 

สมมติว่าเป็นกราฟที่มีสีจำนวน(G) พิจารณาเกมต่อไปนี้ระหว่าง Alice และ Bob ในแต่ละรอบอลิซจะเลือกจุดสุดยอดและ Bob ตอบด้วยสีในสำหรับจุดสุดยอดนี้ เกมดังกล่าวจะสิ้นสุดลงเมื่อมีการค้นพบขอบเอกรงค์ ให้เป็นความยาวสูงสุดของเกมภายใต้การเล่นที่ดีที่สุดโดยผู้เล่นทั้งสอง (อลิซต้องการย่อเกมให้สั้นที่สุดเท่าที่จะทำได้ Bob ต้องการหน่วงเวลาให้ช้าที่สุด) ยกตัวอย่างเช่นและn)GGGd= χ ( G )d=χ(G)d = \chi(G){ 1 , … , d- 1 }{1,...,d-1}\{1,\ldots,d-1\}X( G )X(G)X(G)X( เคn) = nX(Kn)=nX(K_n) = nX( C2 n + 1) = Θ ( บันทึกn )X(C2n+1)=Θ(เข้าสู่ระบบ⁡n)X(C_{2n+1}) = \Theta(\log n) เกมนี้เป็นที่รู้จักหรือไม่?

27 reference-request  graph-theory  co.combinatorics  graph-colouring  decision-trees 

สมมติว่าเราผ่อนคลายปัญหาการนับสีที่เหมาะสมโดยการนับสีที่มีน้ำหนักดังต่อไปนี้: ทุกสีที่เหมาะสมจะได้รับน้ำหนัก 1 และทุกสีที่ไม่เหมาะสมจะได้รับน้ำหนักโดยที่มีค่าคงที่บ้างและคือจำนวนขอบ ในขณะที่ไปที่ 0 จะช่วยลดการนับจำนวนสีที่เหมาะสมซึ่งยากสำหรับกราฟจำนวนมาก เมื่อ c คือ 1 ทุกสีจะมีน้ำหนักเท่ากันและปัญหานั้นเล็กน้อย เมื่อเมทริกซ์ adjacency ของกราฟคูณด้วยมีรัศมีสเปกตรัมต่ำกว่าcvcvc^vcccvvvccc−log(c)/2−log⁡(c)/2-\log(c)/21−ϵ1−ϵ1-\epsilonผลรวมนี้สามารถประมาณได้ด้วยการเผยแผ่ความเชื่อด้วยการรับรองการบรรจบกันดังนั้นจึงเป็นเรื่องง่ายในทางปฏิบัติ นอกจากนี้ยังง่ายในทางทฤษฎีเนื่องจากต้นไม้การคำนวณแสดงการสลายตัวของสหสัมพันธ์และด้วยเหตุนี้จึงอนุญาตให้อัลกอริธึมเวลาพหุนามสำหรับการประมาณที่รับประกัน - Tetali, (2007) คำถามของฉันคือ - คุณสมบัติอื่นใดของกราฟทำให้ปัญหานี้ยากสำหรับอัลกอริทึมท้องถิ่น ยากในความรู้สึกว่ามีเพียงช่วงเล็ก ๆ ของ 's สามารถ addressedccc แก้ไข 09/23 : จนถึงตอนนี้ฉันได้พบกับอัลกอริทึมการประมาณค่าพหุนามสองแบบสำหรับปัญหาในระดับนี้ (อนุพันธ์ของกระดาษ STOC2006 ของ Weitz และวิธีการ "ขยายช่องว่าง" ของการ์นิกเพื่อการนับโดยประมาณ) และทั้งสองวิธีขึ้นอยู่กับ หลีกเลี่ยงการเดินบนกราฟ รัศมีสเปกตรัมเกิดขึ้นเพราะมันเป็นขอบเขตบนของปัจจัยการแยก คำถามคือ - มันเป็นประมาณการที่ดีหรือไม่? เราสามารถเรียงลำดับของกราฟที่มีปัจจัยการแยกสาขาของการเดินแบบหลีกเลี่ยงตัวเองได้หรือไม่ แก้ไข 10/06 : บทความนี้โดย …

26 graph-theory  approximation-algorithms  approximation-hardness  counting-complexity  graph-colouring 

สำหรับ⊂ [ n ]แสดงว่าโดยองค์ประกอบที่เล็กที่สุดของA ⊂ [n]A⊂[n]A\subset [n]aผมaผมa_iผมt hผมtชั่วโมงi^{th}AAA สำหรับสองชุดองค์ประกอบ,เราบอกว่าถ้าทุกฉันkkkA , B ⊂ [ n ]A,B⊂[n]A,B\subset [n]A ≤ BA≤BA\le Baผม≤ bผมaผม≤ขผมa_i\le b_iผมผมi hypergraph -uniformเรียกว่ากะโซ่ถ้า hyperedges ใด ๆเรามีหรือ(ดังนั้น shift-chain จึงมีhyperedges มากที่สุดที่kkkH ⊂[n]H⊂[n]{\mathcal H}\subset [n]A , B ∈ HA,B∈HA, B \in {\mathcal H}A ≤ BA≤BA\le BB ≤ AB≤AB\le Ak ( n - k …

23 co.combinatorics  graph-colouring  hypergraphs 

ในขณะที่เหตุผลบิตคำถามนี้ผมได้พยายามที่จะระบุเหตุผลที่แตกต่างกันซึ่งกราฟG=(VG,EG)G=(VG,EG)G = (V_G,E_G)อาจล้มเหลวที่จะ colorable นี่คือเหตุผล 2 ข้อเท่านั้นที่ฉันสามารถระบุได้:kkk GGGมีก๊กขนาด 1 นี่คือเหตุผลที่ชัดเจนk+1k+1k+1 มีกราฟย่อยของดังนั้นข้อความทั้งสองต่อไปนี้จึงเป็นจริง:H=(VH,EH)H=(VH,EH)H = (V_H, E_H)GGG HHHไม่ใช่k−1k−1k-1 colorable ∃x∈VG−VH ∀y∈VH {x,y}∈EG∃x∈VG−VH ∀y∈VH {x,y}∈EG\exists x \in V_G - V_H\ \forall y \in V_H\ \{x,y\} \in E_G G ในคำอื่น ๆ ที่มีอยู่โหนดในแต่ไม่ได้อยู่ในเช่นว่าเชื่อมต่อกับแต่ละโหนดในHG H x HxxxGGGHHHxxxHHH เราเห็นเหตุผล 2 ประการข้างต้นว่าเป็นกฎ ด้วยการใช้ซ้ำพวกเขาเพียง 2 วิธีในการสร้างกราฟแบบไม่มีสีkkkซึ่งไม่มีกลุ่มk+1k+1k+1คือ: เริ่มจากวงจรที่มีความยาวเท่ากัน (ซึ่งมีสี) จากนั้นใช้กฎ 2 …

21 graph-theory  co.combinatorics  graph-colouring  clique 

พิจารณาชุดกราฟระนาบที่ใบหน้าภายในทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยม หากมีจุดภายในอยู่ในระดับคี่กราฟจะต้องไม่เป็นสามสี หากจุดภายในทุกจุดมีระดับเท่ากันจะเป็นสามสีได้หรือไม่ โดยหลักการแล้วฉันต้องการตัวอย่างเล็ก ๆ

21 graph-theory  co.combinatorics  graph-colouring 

เมื่อเร็ว ๆ นี้ฉันได้พบกับความแตกต่างของสีขอบ ให้กราฟที่ไม่มีการเชื่อมโยงที่เชื่อมโยงหาสีของขอบที่ใช้จำนวนสีสูงสุดพร้อมกับข้อ จำกัด ที่สำหรับทุกจุดยอดขอบของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นกับใช้มากที่สุดสองสีโวลต์โวลต์vโวลต์โวลต์v การเดาครั้งแรกของฉันคือปัญหาคือปัญหายาก การพิสูจน์แบบ NP-hard แบบคลาสสิกสำหรับปัญหาการระบายสีกราฟส่วนใหญ่จะลดลงจาก 3SAT แต่ในความคิดของฉันการพิสูจน์เหล่านี้ไม่มีประโยชน์สำหรับปัญหานี้เพราะขอบของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นกับจุดสุดยอดสามารถใช้สีเดียวกันได้ดังนั้นเราจึงไม่สามารถสร้างส่วนประกอบตรรกะในกราฟได้ ปัญหานี้อาจเป็นปัญหาหรือไม่ ถ้าใช่หลักฐานคืออะไร? หากเราไม่สามารถพิสูจน์หลักฐานได้มีวิธีใดบ้างในการกำหนดความซับซ้อนของปัญหานี้ ขอบคุณ!

17 cc.complexity-theory  np-hardness  complexity-classes  graph-colouring 

ปัญหาที่เราพิจารณาที่นี่คือส่วนขยายของปัญหาการระบายสีช่วงเวลาที่รู้จักกันดี แทนที่จะเป็นช่วงเวลาเราพิจารณาสี่เหลี่ยมที่มีด้านขนานกับแกน มีวัตถุประสงค์เพื่อระบายสีสี่เหลี่ยมโดยใช้จำนวนสีขั้นต่ำเช่นที่สี่เหลี่ยมสองอันใด ๆ ที่ทับซ้อนกันจะได้รับการกำหนดสีที่แตกต่างกัน ปัญหานี้เป็นที่รู้กันว่า NP-hard Xin Han, Kazuo Iwama, Rolf Klein และ Andrezej Lingas (ประมาณชุดสูงสุดอิสระและการระบายสีจุดสุดยอดขั้นต่ำบนกราฟกล่อง) ให้การประมาณ O (log n) มีอัลกอริทึมการประมาณที่ดีกว่าหรือไม่? เรารู้ว่าปัญหาการระบายสีช่วงเวลาได้รับการแก้ไขในเวลาพหุนามโดยอัลกอริทึมแบบพอดีโดยพิจารณาช่วงเวลาตามจุดสิ้นสุดด้านซ้าย อย่างไรก็ตามอัลกอริทึมแบบออนไลน์ที่เหมาะสมที่สุดคือ 8 การแข่งขันเมื่อช่วงเวลาปรากฏตามลำดับที่กำหนด ประสิทธิภาพของอัลกอริทึมแบบพอดีสำหรับปัญหาการระบายสีสี่เหลี่ยมคืออะไร จะเกิดอะไรขึ้นกับอัลกอริทึมแบบพอดีเมื่อสี่เหลี่ยมปรากฏตามด้านซ้าย (แนวตั้ง) ขอบคุณล่วงหน้าสำหรับความช่วยเหลือในเรื่องนี้

17 ds.algorithms  approximation-algorithms  cg.comp-geom  graph-colouring  online-algorithms 

ขออภัยถ้านี่เป็นคำถามที่ไร้เดียงสา แต่ฉันไม่สามารถหาเหตุผลในหนังสือตำราสำคัญ ๆ เช่น Bondy-Murty, Diestel หรือ West กราฟที่สมบูรณ์แบบมีคุณสมบัติที่สวยงามมากมาย แต่เหตุผลเดียวที่พวกเขาเรียกว่าสมบูรณ์แบบคืออะไร หรือมันเป็นเพียงแค่ความพึงพอใจโดย Berge

16 graph-theory  co.combinatorics  terminology  graph-colouring 

3 ขอบสีลูกบาศก์กราฟเป็นสมบูรณ์ ทฤษฎีบทสี่สีนั้นมีค่าเทียบเท่ากับ "กราฟกราฟไร้สายทุกลูกบาศก์ลูกบาศก์มีสี 3 ขอบ"NPNPNP ความซับซ้อนของการระบายสี 3 ขอบของกราฟลูกบาศก์ภาพถ่ายคืออะไร? นอกจากนี้ยังมีการคาดเดาว่าสีลิ่มเป็นฮาร์ดสำหรับกราฟระนาบที่มีระดับสูงสุด {4,5}ΔΔ\DeltaNPNPNPΔ∈Δ∈\Delta \in มีความคืบหน้าใดบ้างในการแก้ไขการคาดการณ์นี้? Marek Chrobak และ Takao Nishizeki ปรับปรุงอัลกอริธึมการระบายสีขอบสำหรับกราฟระนาบ วารสารอัลกอริทึม 11: 102-116, 1990

15 cc.complexity-theory  graph-theory  np-hardness  graph-colouring 

ในบทความ "บนความซับซ้อนของเกมระบายสีบางเกม" Bodlaender ให้คำถามเปิดกว้างเกี่ยวกับความซับซ้อนของการตัดสินใจว่าผู้เล่น 1 หรือ 2 มีกลยุทธ์ในการชนะในเกมระบายสีกราฟบางเกมหรือไม่ ไม่มีใครรู้ว่าพวกเขาได้รับการแก้ไข? 1) ในเกมหนึ่งผู้เล่นสองคนผลัดกันเลือกหนึ่งจุดยอดในกราฟและระบายสีอย่างถูกต้องด้วยสีจากชุด จำกัด แน่นอน ผู้แพ้เป็นผู้เล่นคนแรกที่ไม่สามารถแต้มสีจุดสุดยอดได้ ในกระดาษของ Schaefer นั้นจะแสดงเป็น pspace-complete ด้วย 1 สีและ Bodlaender แสดงให้เห็นว่า pspace-complete มี 2 สี แต่ไม่ได้คำตอบด้วยสีที่มากขึ้น มันยังเปิดอยู่หรือไม่? 2) ในรูปแบบอื่นจุดยอดมีหมายเลข 1..n ในเทิร์นของผู้เล่นเขาจะต้องระบายสีจุดสุดยอดอย่างถูกต้องด้วยจำนวนต่ำสุดที่ยังไม่ได้สี อีกครั้งพวกเขากำลังใช้สีจากชุดคงที่และผู้แพ้เป็นผู้เล่นคนแรกที่ไม่สามารถสีจุดสุดยอดของเขา Bodlaender แสดงให้เห็นว่าเป็น pspace-complete สำหรับกราฟทั่วไป เขาถามว่าใครชนะบนต้นไม้เป็นที่รู้จักกันหรือไม่ ขอบคุณ

12 graph-colouring  pspace  two-player-games 

ฉันกำลังมองหากราฟขนาดเล็กGGGมีเวกเตอร์สีจำนวนที่มีขนาดเล็กกว่าจำนวนรงค์χv(G)&lt;χ(G)χv(G)&lt;χ(G)\chi_v(G)<\chi(G) ) ( มีเวกเตอร์สีจำนวนQถ้ามีการมอบหมายx : V → R dที่สังหรณ์ใจเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องกับที่อยู่ใกล้เคียงจุดที่อยู่ห่างไกลออกจากกันความต้องการคือ. ⟨ x ( V ) , x ( W ) ⟩ ≤ - 1 / ( q - 1 )ตัวอย่างเช่นสำหรับq = 3จุดยอดของสามเหลี่ยมพอเพียง)GGGqqqx:V→Rdx:V→Rdx\colon V \rightarrow \mathbf R^d⟨x(v),x(w)⟩≤−1/(q−1)⟨x(v),x(w)⟩≤−1/(q−1)\langle x(v), x(w)\rangle \leq -1/(q-1)q=3q=3q=3 เวกเตอร์สีจำนวนกราฟเป็นขนาดไม่เกินจำนวนสี: ) ตัวอย่างที่เป็นที่รู้จักของกราฟกับχ V ( G ) = 3 χ ( …

12 ds.algorithms  graph-theory  co.combinatorics  graph-algorithms  graph-colouring 

ฉันกำลังมองหาผลลัพธ์ความแข็งในการระบายสีจุดสุดยอดของกราฟที่มีขอบเขต จำกัด ด้วยกราฟเรารู้ว่าสำหรับϵ &gt; 0มันยากที่จะประมาณχ ( G )ภายในปัจจัยของ| V | 1 - ϵยกเว้นNP = ZPP [ 1 ] แต่ถ้าระดับสูงสุดของGถูกล้อมรอบด้วยd ? มีอัตราส่วนความแข็งของแบบฟอร์มd 1 - ϵ (สำหรับบางϵ ) ในกรณีนี้หรือไม่?G ( V, E)G(V,E)G(V,E)ϵ &gt; 0ϵ&gt;0\epsilon>0χ ( G )χ(G)\chi(G)| V|1 - ϵ|V|1−ϵ|V|^{1-\epsilon}NP = ZPPNP=ZPP\textit{NP}=\textit{ZPP}GGGdddd1 - ϵd1−ϵd^{1-\epsilon}εϵ\epsilon เป็นคำถามที่ง่ายคือความแข็งใกล้เคียงกับขอบ-รงค์หมายเลขของ hypergraphs เมื่อขนาดของขอบของพวกเขาเป็นที่สิ้นสุดโดยdเราสามารถหวังอัตราส่วนd 1 - ϵ hardness ในกรณีนี้ได้หรือไม่? …

12 cc.complexity-theory  approximation-hardness  graph-colouring  hypergraphs  bounded-degree