“ เตรียมพร้อม” ลบเกิดขึ้นในความหมายของประเภทอุปนัยไม่ดีอยู่เสมอ?

ฉันรู้ว่าเหตุการณ์เชิงลบบางอย่างอาจไม่ดีอย่างแน่นอน:

data False

data Bad a = C (Bad a -> a)

selfApp :: Bad a -> a
selfApp (x@(C x')) = x' x

yc :: (a -> a) -> a
yc f = selfApp $ C (\x -> f (selfApp x))

false :: False
false = yc id

อย่างไรก็ตามฉันไม่แน่ใจว่า:

• ทุกประเภทอุปนัยที่มีเหตุการณ์เชิงลบสามารถเปิดผิด;

• ถ้าเป็นเช่นนั้นมีวิธีการทางกลที่รู้จักในการทำเช่นนั้น;

ตัวอย่างเช่นฉันได้พยายามต่อสู้เพื่อทำให้ประเภทนี้ผิด:

type Not a = a -> False

data Bad2 a = C2 (Bad2 (Not a) -> a)

ตัวชี้ไปยังวรรณกรรมในเรื่องนี้จะได้รับการชื่นชม

เหตุผลที่ห้ามไม่ให้เกิดเหตุการณ์ทางลบสามารถเข้าใจได้โดยการเปรียบเทียบกับทฤษฎีบท Knaster-Tarski ทฤษฎีนี้บอกว่า

ถ้าเป็น lattice ที่สมบูรณ์และf : L → Lเป็นฟังก์ชัน monotone บนLดังนั้นชุดของจุดคงที่ของfก็เป็น lattice ที่สมบูรณ์เช่นกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งมีจุดน้อยคงμ ฉและจุดคงที่ยิ่งใหญ่ที่สุดνฉ$L$$f : L \to L$$L$$f$$\mu{f}$$\nu f$

$L$$p \leq q$$q$$p$

$\mathbb{C}$$e : P \to Q$$Q$$Q$

$\mathbb{N} = \mu \alpha.\;1 + \alpha$ $F : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$$e : P \to Q$$F(e) : F(P) \to F(Q)$$F$$F(g \circ f) = F(g) \circ F(f)$

$\mu \alpha.\;F(\alpha)$$F$

ในภาษาที่พิมพ์ขึ้นอยู่กับคุณยังมีประเภทที่จัดทำดัชนีและพารามิเตอร์ดังนั้นงานจริงของคุณจึงซับซ้อนมากขึ้น Bob Atkey (ผู้เขียนบล็อกเกี่ยวกับเรื่องนี้ที่นี่และที่นี่ ) บอกฉันว่าสถานที่ที่ดีในการค้นหาเรื่องราวคือ:

• การเหนี่ยวนำและการสร้างโครงสร้างในการตั้งค่า Fibrational , Claudio Hermida และ Bart Jacobs 1997
• กฎการเหนี่ยวนำโดยใช้วิธีการเชิงอนุพันธ์สำหรับ Algebras เริ่มต้น , Neil Ghani, Patricia Johann และ Clement Fumex 2010

ในฐานะที่เป็น Andrej ตั้งข้อสังเกตว่าพื้นฐานแล้วการเกิดเหตุการณ์ด้านลบจะไม่เป็นไรหรือไม่นั้นขึ้นอยู่กับว่าคุณใช้ทฤษฎีรูปแบบชนิดใด โดยทั่วไปเมื่อคุณมีนิยามแบบวนซ้ำคุณกำลังมองหาจุดคงที่และมีทฤษฎีบทจุดคงที่จำนวนมากในวิชาคณิตศาสตร์

สิ่งหนึ่งที่ฉันใช้เป็นการส่วนตัวอย่างมากก็คือทฤษฎีจุดคงที่ของ Banach ซึ่งบอกว่าถ้าคุณมีฟังก์ชั่นการหดรัดตัวอย่างเคร่งครัดในพื้นที่เมตริกมันก็มีจุดคงที่ที่ไม่เหมือนใคร ความคิดนี้ได้รับการแนะนำให้รู้จักกับความหมายโดย (IIRC) มอริซนิวาตและได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวางจากอเมริกาและรัทเท่น

• การแก้สมการสะท้อนโดเมนในหมวดหมู่ของตัวชี้วัดที่สมบูรณ์ปิแอร์อเมริกาและแจน JMM Rutten 2532
• หมวดหมู่ทฤษฎีการแก้ปัญหาของสมการเมตริกพื้นที่แบบเรียกซ้ำ Lars Birkedal, Kristian Støvringและ Jacob Thamsborg 2010

สิ่งนี้ก่อให้เกิดทฤษฎีประเภทที่อนุญาตให้เกิดเหตุการณ์เชิงลบในประเภทเรียกซ้ำได้ แต่เฉพาะเมื่อเกิดเหตุการณ์เชิงลบขึ้นภายใต้คอนสตรัคเตอร์ชนิดพิเศษ "guardedness" ความคิดนี้ได้รับการแนะนำให้รู้จักกับ Hiroshi Nakano และการเชื่อมโยงกับทฤษฎีบทของ Banach ถูกสร้างขึ้นด้วยตัวเองและ Nick Benton เช่นเดียวกับ Lars Birkedal และผู้เขียนร่วมของเขา

• วิธีสำหรับการเรียกซ้ำฮิโรชินากาโนะ 2000
• ความหมาย Ultrametric ของโปรแกรมปฏิกิริยา , Nick Benton และ Neel Krishnaswami, 2011
• แบบจำลองการวัดซ้ำของการสำรวจซ้ำ Lars Birkedal, Jan Schwinghammer และ Kristian Støvring, 2010

บางครั้งคุณสามารถแก้สมการซ้ำโดย "โชค"

$$A \cong (A \to \emptyset) \to A.$$

1. $A$$A \to \emptyset \cong \emptyset$

   $$A \cong \emptyset \to A \cong 1.$$ $1$

2. $A$$\emptyset \cong (\emptyset \to \emptyset) \to \emptyset \cong 1 \to \emptyset \cong \emptyset$

สรุป: มีสองโซลูชั่นประเภทที่ว่างเปล่า (ซึ่งคุณเรียกว่าFalse) ()และประเภทหน่วย

$$A \cong (A \to 2) \to 2,$$

data Cow a = Moo ((a -> Bool) -> Bool)

$A \cong 2^{2^A}$$A$$2^{2^A}$

$$\mathbb{N} \cong 2^{2^\mathbb{N}}.$$ $2^\mathbb{N}$$2^{2^\mathbb{N}}$Integer(Integer -> Bool) -> Bool

มันยากที่จะเพิ่มอะไรเข้าไปในคำอธิบายของ Andrej หรือ Neel แต่ฉันจะให้มันยิง ฉันจะพยายามพูดถึงมุมมองทางวากยสัมพันธ์มากกว่าพยายามที่จะเปิดเผยความหมายพื้นฐานเพราะคำอธิบายนั้นง่ายกว่าและฉันก็ให้คำตอบที่ตรงไปตรงมากับคำถามของคุณมากขึ้น

$\lambda$

การอ้างอิงที่สำคัญมีดังต่อไปนี้:

Mendler, N. (1991) ประเภทอุปนัยและข้อ จำกัด ประเภทในแคลคูลัสแลมบ์ดาอันดับสอง ฉันไม่พบข้อมูลอ้างอิงออนไลน์ฉันกลัว ข้อความและบทพิสูจน์สามารถดูได้ในวิทยานิพนธ์ระดับปริญญาเอกของ Nax (แนะนำให้อ่านอย่างละเอียด!)

$\mathrm{Bad}$

$$\mathrm{Bad} = \mathrm{Bad}\rightarrow A$$

$A$

$$\lambda x:\mathrm{Bad}.x\ x: \mathrm{Bad}\rightarrow A$$

และอื่น ๆ

$$(\lambda x:\mathrm{Bad}.x\ x)\ (\lambda x:\mathrm{Bad}.x\ x): A$$

$$\mathrm{Bad} = F(\mathrm{Bad})$$ $F(X)$$X$$F(X)$

แน่นอนว่าคุณไม่ได้ทำงานกับประเภทที่กำหนดอย่างเท่าเทียมกัน แต่มีคอนสตรัคเตอร์เช่นคุณมี

data Bad = Pack (Bad -> A)

มากกว่าความเท่าเทียมที่เข้มงวด อย่างไรก็ตามคุณสามารถกำหนด

unpack :: Bad -> (Bad -> A)
unpack (Pack f) = f

ซึ่งเพียงพอสำหรับผลลัพธ์นี้เพื่อดำเนินการต่อ:

 (\x:Bad -> unpack x x) (Pack (\x:Bad -> unpack x x))

$A$

---

ในตัวอย่างที่สองของคุณสิ่งต่าง ๆ มีความยุ่งยากมากขึ้นในขณะที่คุณมีบางสิ่งตามแนวของ

$$\mathrm{Bad} = \mathrm{Bad}' \rightarrow A$$

$\mathrm{Bad}'$$\mathrm{Bad}$$\mathrm{Bad}\ a$$\mathrm{Bad}\ (\mathrm{Not}\ a)$

type Not a = a -> False

กับ

data Not a = Not a

มันจะแก้ไขได้อย่างง่ายดายหาก Haskell อนุญาตให้ใช้คำจำกัดความประเภทดังกล่าว:

type Acc = Not Acc

ในกรณีนี้คุณสามารถสร้าง combinator แบบวนซ้ำในลักษณะเดียวกับก่อนหน้านี้ ฉันสงสัยว่าคุณสามารถใช้สิ่งก่อสร้างที่คล้ายกัน (แต่ซับซ้อนกว่า) โดยใช้

data Acc = D (Not Acc)

ปัญหาที่นี่คือการสร้างมอร์ฟ

Bad Acc <-> Bad (Not Acc)

คุณต้องจัดการกับความแปรปรวนแบบผสม