ในแง่ดีที่สุดของอัลกอริทึม Grover ด้วยความน่าจะเป็นความสำเร็จสูง

มันเป็นที่รู้จักกันดีว่าข้อผิดพลาด bounded ซับซ้อนแบบสอบถามควอนตัมของฟังก์ชันเป็น{n}) ตอนนี้คำถามคือสิ่งที่ถ้าเราต้องการอัลกอริทึมควอนตัมของเราจะประสบความสำเร็จสำหรับการป้อนข้อมูลที่มีความน่าจะเป็นทุกมากกว่าปกติ2/3ตอนนี้ในแง่ของขอบเขตบนและล่างที่เหมาะสมจะเป็นอย่างไร$OR(x_1,x_2,\ldots, x_n)$$\Theta(\sqrt{n})$$1-\epsilon$$2/3$$\epsilon$

ทันทีที่แบบสอบถามเพียงพอสำหรับงานนี้โดยทำซ้ำอัลกอริทึม Grover แต่จากสิ่งที่ฉันจำได้ว่านี่ไม่ใช่วิธีที่ดีที่สุดเท่าที่อัลกอริทึม Grover ธรรมดาถ้าทำงานอย่างรอบคอบเช่นสำหรับจำนวนการวนซ้ำที่เหมาะสมสามารถบรรลุสิ่งที่ต้องการเพียงแค่ซ้ำ และด้วยเหตุนี้การใช้สิ่งนี้จึงสามารถปรับปรุงให้ดีขึ้นสำหรับทั้งหมด ในทางกลับกันผมไม่ได้คาดหวังว่าเป็นคำตอบที่เหมาะสมสำหรับขนาดเล็กมาก 's$O(\sqrt{n} \log(1/\epsilon))$$\epsilon=O(1/n)$$O(\sqrt{n})$$\epsilon$$\Omega(\sqrt{n})$$\epsilon$

แต่ฉันสนใจที่จะเห็นสิ่งที่สามารถแสดงในแง่ของ - พึ่งพาขอบเขตบนและล่างสำหรับช่วงที่แตกต่างกันของโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อมีขนาดเล็กมากพูดหรือขนาดใหญ่ 's$\epsilon$$\epsilon$$\epsilon$$\epsilon= \exp(-\Omega(n))$$\epsilon=1/n^k$$k$

(เพื่อให้บริบทบางอย่างปรากฏการณ์ทั่วไปที่ฉันได้รับคือการขยายในบริบทของความซับซ้อนของการค้นหาควอนตัม)

เพื่อความสมบูรณ์นี่คือคำตอบ

ให้แสดงถึงความซับซ้อนของการคำนวณควอนตัม -error ฟังก์ชันและเป็นฟังก์ชัน OR บนบิตซึ่งถูกกำหนดเป็นx_i (โปรดทราบว่าสิ่งนี้แตกต่างจากปัญหาที่คุณได้สัญญาไว้ว่าอินพุตมีอย่างใดอย่างหนึ่ง 1 และมีวัตถุประสงค์เพื่อค้นหาว่า 1 ปัญหานั้นสามารถแก้ไขได้โดยไม่มีข้อผิดพลาดในแบบสอบถาม )$Q_\epsilon(f)$$\epsilon$$f$$\mathsf{OR}_n$$n$$\mathsf{OR}_n(x_1,\ldots,x_n)=\bigvee_{i=1}^n x_i$$\Theta(\sqrt{n})$

ถ้าอย่างนั้นเรามี ,$\epsilon \in [2^{-n},1/3]$

$Q_\epsilon(\mathsf{OR}_n) = \Theta(\sqrt{n\log(1/\epsilon)})$epsilon)})

นี้ต่อไปจากขอบเขตสำหรับธุรกิจขนาดเล็ก-ข้อผิดพลาดและข้อผิดพลาดในศูนย์ควอนตัมอัลกอริทึม

ในความเป็นจริงเรารู้อะไรบางอย่างที่กว้างกว่า สำหรับฟังก์ชั่นสมมาตรซึ่งเป็นฟังก์ชั่นที่ขึ้นอยู่กับน้ำหนัก Hamming ของอินพุตเท่านั้นเรามีสิ่งนั้นสำหรับ ,$f$$\epsilon \in [2^{-n},1/3]$

$Q_\epsilon(f) = \Theta(Q_{1/3}(f)+\sqrt{n\log(1/\epsilon)})$epsilon)})

นี้ถูกแสดงไว้ในหมายเหตุเกี่ยวกับขั้นตอนวิธีการควอนตัมและการศึกษาระดับปริญญาน้อยที่สุดของพหุนาม epsilon ข้อผิดพลาดในการทำงานสมมาตร