มีปัญหาที่ง่ายสำหรับกราฟลูกบาศก์ แต่ยากสำหรับกราฟที่มีระดับสูงสุด 3 หรือไม่?

กราฟลูกบาศก์เป็นกราฟที่จุดสุดยอดทุกแห่งมีระดับ 3 พวกเขาได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวางและฉันทราบว่าปัญหา NP-hard หลายอย่างยังคงเป็นปัญหา NP-hard แม้ถูก จำกัด ไว้ที่คลาสย่อยของลูกบาศก์ลูกบาศก์ แต่บางคนก็ง่ายขึ้น superclass ลูกบาศก์กราฟเป็นชั้นของกราฟที่มีระดับสูงสุด 3 $\Delta \leq 3$

มีปัญหาใด ๆ ที่สามารถแก้ปัญหาในเวลาพหุนามสำหรับลูกบาศก์กราฟ แต่ที่เป็น NP-ยากสำหรับกราฟที่มีระดับสูงสุด ? $\Delta \leq 3$

graph-theory graph-algorithms np-hardness

— Vinicius dos Santos
แหล่งที่มา

คำตอบ Degenrate ที่แสดงให้เห็นว่าอาจมีความซับซ้อนที่แตกต่างกัน ( แต่ไม่เป็น NP-ฮาร์ด): หา

เป็นเวลาที่คงที่ต่อลูกบาศก์กราฟ แต่เชิงเส้นกราฟที่มี

:-)

δ

$\delta$

Δ \leq 3

$\Delta \le 3$

— William Macrae

จุดดี. :-)

— Vinicius dos Santos

สำหรับทางเลือกที่ไม่ดีของการเข้ารหัสมันยังสามารถเป็น

-hard เมื่อ

แต่มันจะมีคุณค่ามากขึ้นเพื่อหาปัญหาที่ไม่พึ่งพาการเข้ารหัสที่ไม่ดีและดียิ่งขึ้นถ้าปัญหาที่เป็นที่ศึกษา หนึ่ง.

N P

$NP$

Δ \leq 3

$\Delta \le 3$

— William Macrae

เพื่อขยายความคิดเห็นของ William นี่เป็นปัญหาที่เกิดขึ้นจริง เมื่อได้กราฟลำดับของตีความว่าเป็นการเข้ารหัสอินสแตนซ์ของ 3-SAT แสดงถึงอินสแตนซ์ที่น่าพอใจหรือไม่ $G$ $G$ (สมมติว่าการเข้ารหัสเป็นเช่นนั้นลำดับทั้ง 3 องศาหมายถึงการมอบหมายที่น่าพอใจสำหรับทุก ๆ

) :-)

n

$n$

— Neal Young

ดูเพิ่มเติมที่cstheory.stackexchange.com/questions/1215/สำหรับแรงบันดาลใจเพิ่มเติม (เช่นปัญหาที่ยากบนต้นไม้ที่มีระดับสูงสุด 3 แต่ไม่สำคัญหากไม่มีโหนดใบ)

— Jukka Suomela

นี่คือธรรมชาติที่สมเหตุสมผล: บนอินพุต , ตรวจสอบว่ามีกราฟย่อยปกติที่เชื่อมต่อกับขอบอย่างน้อยหรือไม่ สำหรับกราฟ 3 ตัวปกตินี่เป็นเรื่องเล็กน้อย แต่ถ้า max degree เท่ากับ 3 และอินพุตถูกเชื่อมต่อไม่ใช่ tree และไม่ปกติดังนั้นกราฟย่อยที่ใหญ่ที่สุดคือวัฏจักรที่ยาวที่สุดดังนั้นปัญหาจึงเป็นปัญหา NP-complete $(G,k)$ $G$ $k$

— David Eppstein
แหล่งที่มา

"... จากนั้นโซลูชันจะเป็นวัฏจักรที่ยาวที่สุดหรือการจับคู่สูงสุด ... " การอ้างสิทธิ์ของคุณขึ้นอยู่กับ k อย่างไร มันไม่เป็นความจริงสำหรับ k ทั้งหมด

— Tyson Williams

@Tyson ก็เพียงต้องการที่จะเป็นเรื่องยากสำหรับหนึ่ง

จะยากใช่มั้ย? เช่นใช้

เดวิดคุณต้องระบุว่าควรเชื่อมโยงกราฟย่อยหรือไม่? (มิฉะนั้นจะครอบคลุมรอบใด ๆ (ไม่ใช่เพียงวงจร Hamiltonian) จะมีขอบ

และการพิจารณาการมีอยู่ของวงจรครอบคลุมอยู่ในหน้า

)

k

$k$

k = n

$k=n$

n

$n$

P

$P$

— Neal Young

David การจับคู่สูงสุด (ขนาดที่ใหญ่กว่า 1) ใน G ไม่ใช่กราฟย่อยที่เชื่อมโยงของ G คุณหมายถึงพูดว่า "... รอบที่ยาวที่สุดหรือขอบเดียว ... " หรือไม่?

— Tyson Williams

โอเคโอเค. วันนี้ดูเหมือนจะไม่เป็นวันที่ดีสำหรับฉันที่จะเข้มงวด - ไก่งวงมากเกินไปอาจ ฉันได้เพิ่มภาษาเพื่อแยกกรณีพิเศษนี้

— David Eppstein

@YininCao เนื่องจากมีการเชื่อมต่อกราฟ แต่ไม่ใช่ปกติจึงไม่มีวิธีเลือกกราฟย่อยย่อยแบบ 3 ตัว สมมติว่ามันเป็น แล้วมีจุดสุดยอดที่ไม่ได้เลือกเนื่องจากกราฟไม่ปกติ เนื่องจากกราฟเชื่อมต่อจุดสุดยอดนี้เชื่อมต่อกับจุดสุดยอด 3 รูปแบบปกติที่เลือกไว้ แต่นั่นหมายความว่ามีจุดยอดของระดับ 4 ซึ่งเป็นความขัดแย้ง

— Tyson Williams