ทำไมขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับวงจรบูลีนจึงไม่ได้หมายความถึงวงจรเลขคณิตที่ต่ำกว่า

คำถามของฉันคือเหตุผลที่ขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับความลึก 3 วงจรบูลีนที่มีประตู "และ" และ "แฮคเกอร์" สำหรับปัจจัยไม่ได้หมายความถึงขอบเขตที่ต่ำกว่าเช่นเดียวกันสำหรับวงจรเลขคณิตกว่า ?$\mathbb{Z}$

มีอะไรผิดปกติกับอาร์กิวเมนต์ต่อไปนี้: ให้เป็นวงจรคำนวณเลขคณิตดีเทอร์มิแนนต์แล้วนำตัวแปรทั้งหมด mod 2 เราจะได้บูลีนวงจรคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ $C$

สำหรับวงจรคณิตศาสตร์เหนืออาร์กิวเมนต์ของคุณนั้นถูกต้อง อาร์กิวเมนต์เดียวกันนี้ใช้งานได้กับวงจรคณิตศาสตร์เหนือQซึ่งไม่ใช้เศษส่วนใด ๆa / bโดยที่bเป็นเลขคู่$\mathbb{Z}$$\mathbb{Q}$$a/b$$b$

อย่างไรก็ตามอาร์กิวเมนต์ไม่ทำงานอีกต่อไปถ้าคุณพูดถึงวงจรเลขคณิตมากกว่าวงแหวนอื่นเช่น: วงจรเลขคณิตทั่วไปเหนือ (เช่นโดยไม่มีข้อ จำกัด ข้างต้น), R , ฟิลด์หมายเลขพีชคณิต, Cหรือฟิลด์ จำกัดF qกับq ≠ 2 .$\mathbb{Q}$$\mathbb{R}$$\mathbb{C}$$\mathbb{F}_{q}$$q \neq 2$

(นี่คือเหตุผลเดียวกับที่ในพีชคณิตเรขาคณิตมักถูกพิจารณาว่าเรียกว่า "ลักษณะผสม" มากกว่าลักษณะเป็นศูนย์)$\mathbb{Z}$

แต่ความลึก 3 บูลีนลดขอบเขตสำหรับวงจรด้วย {AND, OR, NOT} ที่เกี่ยวข้องน้อยได้อย่างง่ายดายเพื่อลดขอบเขตสำหรับวงจรเลขคณิตกว่าZ(ใช่แล้ว {AND, XOR} เป็นพื้นฐานที่สมบูรณ์ แต่โดยทั่วไปแล้ววงจรความลึก 3 เหนือ {AND, OR, NOT} คุณจะพิจารณาว่าไม่ใช้เกทส์ฟรีในขณะที่ไม่ใช้ XOR คุณก็ใช้เกต XOR ซึ่งคุณนับ . ในทำนองเดียวกันแม้ว่า∨ ข= ¬ ( ¬ ∧ ¬ ข)เมื่อคุณดำเนินการนี้คนเดียวหรือกับประตูและแฮคเกอร์และคุณจะได้รับ gadget น้อยของความลึก 3)$\mathbb{Z}$$a \vee b = \neg (\neg a \wedge \neg b)$

คำสั่งทั่วไปคือ: ให้เป็นพหุนามกับสัมประสิทธิ์ในแหวนRและสมมติว่าφ : R → Sเป็นวงแหวนโฮโมมอร์ฟิซึม โดยใช้φค่าสัมประสิทธิ์ของทุกฉคุณได้รับพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์ในSซึ่งผมจะแสดงว่าฉ S จากนั้นขอบเขตล่างสำหรับการคำนวณf SโดยS -วงจรคณิตศาสตร์หมายถึงขอบเขตล่างเดียวกันสำหรับการคำนวณfโดยR -วงจรคณิตศาสตร์$f$$R$$\varphi\colon R \to S$$\varphi$$f$$S$$f_S$$f_S$$S$$f$$R$