Noisy Parity (LWE) ลดขอบเขต / ความแข็ง

พื้นหลังบางส่วน:

ฉันสนใจที่จะหาขอบเขตที่ต่ำกว่า "ที่รู้จักน้อยกว่า" (หรือผลลัพธ์ความแข็ง) สำหรับปัญหาการเรียนรู้ที่มีข้อผิดพลาด (LWE) และการวางหลักเกณฑ์ทั่วไปเช่นการเรียนรู้ที่มีข้อผิดพลาดเกี่ยวกับวงแหวน สำหรับคำจำกัดความเฉพาะเป็นต้นนี่คือแบบสำรวจที่ดีโดย Regev: http://www.cims.nyu.edu/~regev/papers/lwesurvey.pdf

ประเภทมาตรฐานของ (R) LWE-style สมมติฐานคือการลดลง (อาจจะเป็นควอนตัม) เพื่อลดปัญหาเวกเตอร์ที่สั้นที่สุดบน (อาจเป็นอุดมคติ) โปรย สูตรปกติของ SVP นั้นเป็นที่รู้จักกันดีว่า NP-hard และเชื่อกันว่าเป็นเรื่องยากที่จะประมาณค่าปัจจัยพหุนามขนาดเล็ก (ที่เกี่ยวข้อง: เป็นการยากที่จะประมาณ CVP ให้อยู่ใน / เกือบเป็นพหุนาม / ปัจจัย: http://dl.acm.org/citation.cfm?id=1005180.1005182 ) ฉันเคยได้ยินมาแล้วว่า (ในแง่ของอัลกอริธึมควอนตัม) การประมาณปัญหาขัดแตะบางอย่าง (เช่น SVP) กับพหุนามขนาดเล็กประมาณนั้นเกี่ยวข้องกับปัญหาของกลุ่มย่อยที่ไม่ Abelian ที่ซ่อนอยู่ (ซึ่งเชื่อว่ายากสำหรับเหตุผลของตัวเอง) แม้ว่าฉันจะไม่เคยเห็นแหล่งที่ชัดเจนและเป็นทางการสำหรับเรื่องนี้

อย่างไรก็ตามฉันสนใจมากขึ้นในผลความแข็ง (ทุกประเภท) ที่มาจากปัญหา Noisy Parity จาก Learning Theory เหล่านี้อาจจะซับซ้อนผลการแข็งชั้นคอนกรีตขอบเขตที่ต่ำกว่าอัลกอริทึมขอบเขตความซับซ้อนตัวอย่างหรือแม้กระทั่งขนาดหลักฐานขอบเขตที่ต่ำกว่า (เช่นความละเอียด) เป็นที่ทราบกันว่า (อาจชัดเจน) ว่า LWE สามารถถูกมองว่าเป็นปัญหาทั่วไปของปัญหาที่มีเสียงดัง / ความเท่าเทียมกันในการเรียนรู้ด้วยเสียง (LPN) ซึ่ง (จาก Googling) ดูเหมือนจะถูกนำมาใช้ในการลดความแข็งในพื้นที่ การเรียนรู้

จากการมองไปรอบ ๆ ตัวฉันเองฉันได้พบเพียงแค่เล็กน้อย (อ่อนกว่าขีด จำกัด เล็กน้อย) บนปัญหา LPN เช่นhttp://www.di.ens.fr/~lyubash/papers/parityproblem.pdf

คำถาม:

ฉันรู้ว่า LPN ได้รับความเชื่อมั่นอย่างหนักหน่วงในชุมชนแห่งการเรียนรู้ คำถามของฉันคือ: ทำไม

เป็นเพราะทุกคนพยายามอย่างหนักจริง ๆ แต่ก็ยังไม่มีใครพบอัลกอริทึมที่ดีเลยเหรอ? มีขอบเขตที่รู้จักกันน้อยกว่าของความหลากหลายที่เป็นตัวเอียงด้านบน (หรืออื่น ๆ ที่ฉันออกไป)?

หากคำตอบนั้นชัดเจนมากสรุปโดยย่อของสิ่งที่เป็นที่รู้จักและ / หรือการอ้างอิงถึงแบบสำรวจ / บันทึกการบรรยายจะดีมาก

หากไม่เป็นที่รู้จักมากนักยิ่งมีเอกสารที่ "ล้ำสมัย" ยิ่งดี :) (ขอบคุณล่วงหน้า!)

ปัญหา LPN นั้นเชื่อกันว่าเป็นเรื่องยาก แต่เช่นเดียวกับปัญหาส่วนใหญ่ที่เราเชื่อว่าเป็นเรื่องยากเหตุผลหลักที่ทำให้คนฉลาดจำนวนมากได้พยายามค้นหาอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพและล้มเหลว

"หลักฐาน" ที่ดีที่สุดสำหรับความแข็งของ LPN นั้นมาจากมิติการสืบค้นเชิงสถิติที่สูงของปัญหาความเท่าเทียมกัน การสืบค้นทางสถิติใช้อัลกอริทึมการเรียนรู้ที่รู้จักมากที่สุดยกเว้นการกำจัดแบบเกาส์เซียน มันยากที่จะออกแบบอัลกอริทึมที่ไม่ใช่แบบสอบถามเชิงสถิติและนี่คือคอขวดหลัก หลักฐานอื่น ๆ ของความแข็งของ LPN คือความสัมพันธ์กับปัญหาหนักอื่น ๆ (เช่น LWE, SVP ตามที่คุณได้ชี้ให้เห็น)

สำหรับความแข็ง SQ นี่คือลิงค์ไปยังกระดาษของ Kearns ('98)

สำหรับความคืบหน้าของขอบเขตบนของปัญหานี้มีหลายผลลัพธ์:

• $2^N$$2^{n / \log n}$
• $O(2^{n / \log\log n})$$O(n^{1 + \epsilon})$
• $k$$\approx O(n^{0.5 k})$$O(n^k)$$O(n^k)$$\eta$$1/2$
• $\approx O(n^{0.8 k})$