มันเพียงพอหรือไม่ที่ข้อ จำกัด เชิงเส้นของโปรแกรมจะทำให้พอใจในความคาดหมาย?

ในการวิเคราะห์การสุ่มอันดับสองแบบสุ่มของการจัดอันดับสำหรับการจับคู่สองฝ่ายออนไลน์ในขณะที่พิสูจน์ว่าอัลกอริทึมการจัดอันดับคือ- การแข่งขันผู้เขียนแสดงให้เห็นว่าทั้งคู่มีความเป็นไปได้ในความคาดหมาย (ดูเลมม่า 3 ในหน้า 5) คำถามของฉันคือ:$\left(1 - \frac{1}{e}\right)$

มันเพียงพอหรือไม่ที่ข้อ จำกัด เชิงเส้นของโปรแกรมจะทำให้พอใจในความคาดหมาย?

มันเป็นสิ่งหนึ่งที่แสดงให้เห็นว่ามูลค่าที่คาดหวังของฟังก์ชันวัตถุประสงค์คืออะไร แต่ถ้าข้อ จำกัด ของความเป็นไปได้มีความพึงพอใจในการคาดหวังไม่มีการรับประกันว่าจะเป็นที่พอใจในการวิ่ง นอกจากนี้ยังมีข้อ จำกัด ดังกล่าวจำนวนมาก ดังนั้นสิ่งที่รับประกันว่าพวกเขาทั้งหมดจะพอใจในการทำงานที่กำหนด?

ฉันคิดว่าความยากลำบากคือการที่ถ้อยคำนี้ทำให้เข้าใจผิดเล็กน้อย ในขณะที่พวกเขาระบุไว้อย่างชัดเจนในบทนำ (1.2) "คุณค่าที่คาดหวังของตัวแปรคู่นั้นเป็นวิธีแก้ปัญหาคู่ที่เป็นไปได้

สำหรับการตั้งค่าคงที่ทุกคู่ตัวแปรเราได้แก้ปัญหาบางครั้งแรกของค่าF ( X )และเป็นทางออกที่สองของค่า$X$$f(X)$) (คู่มีความเป็นไปไม่ได้ในบางกรณีเหล่านี้ แต่ก็ไม่เป็นไร)$\frac{e}{e-1}f(X)$

ดังนั้นคาดว่าค่าตัวของปฐมมากกว่าวิ่งทุกขั้นตอนวิธีการคือ ] แต่E [ X ]เป็นวิธีแก้ปัญหาแบบดูอัลที่เป็นไปได้ดังนั้นจึงมีโซลูชันคู่ของค่า$E[f(X)]$$E[X]$) เคล็ดลับที่สำคัญคือF(X)เป็นเส้นตรงในตัวแปรคู่X: ในความเป็นจริงที่นี่ตัวแปรคู่มีαฉันและβเจและการจับคู่ของแต่ละจุดสุดยอดผมจะเจเพิ่มทั้งหมด(อี-$\frac{e}{e-1}f(E[X])$$f(X)$$X$$\alpha_i$$\beta_j$$i$$j$ไปยังวัตถุประสงค์เบื้องต้น ดังนั้นE[f(X)]=f(E[X])และข้อสรุปดังต่อไปนี้$\left(\frac{e-1}{e}\right)(\alpha_i + \beta_j)$$E[f(X)] = f(E[X])$

(ตามบันทึกด้านข้างฉันรู้สึกว่าเนื่องจากจุดนี้เป็นหนึ่งในจุดสนใจหลักของกระดาษของพวกเขา (ตามนามธรรม) มันคงจะดีกว่านี้ถ้าพวกเขาอธิบายประเด็นนี้! ฉันและฉันต้องการทราบว่าเมื่อใดที่จริงโดยทั่วไป)