ตัวแก้ปัญหา NP ที่เหมาะสมที่สุด

แก้ไขปัญหาการค้นหา NP-Complete เช่นรูปแบบการค้นหาของ SAT การค้นหาเลวินมีอัลกอริทึมสำหรับการแก้ซึ่งเหมาะสมที่สุดในบางแง่มุม โดยเฉพาะขั้นตอนวิธีการคือ "การดำเนินการที่เป็นไปได้ทุกโปรแกรมในการประกบกันในการป้อนข้อมูลเมื่อบางผลตอบแทนที่ตอบทดสอบไม่ว่าจะเป็นที่ถูกต้อง" มันเหมาะสมที่สุดในแง่ที่ว่าโปรแกรมที่แก้ด้วยความซับซ้อนของเวลา , ความซับซ้อนของเวลาของตาม $X \subset \lbrace 0,1 \rbrace^* \times \lbrace 0,1 \rbrace^*$ $L$ $X$ $P$ $x$ $P$ $y$ $P$ $X$ $t_P(n)$ $t_L(n)$ $L$

t_{L} (n) < 2^{| P |} p (t_{P} (n))

$t_L(n) < 2^{|P|}p(t_P(n))$

โดยที่คือพหุนามคงที่ซึ่งขึ้นอยู่กับรูปแบบการคำนวณที่แม่นยำ $p$

$L$ ในแง่ดีของนั้นสามารถกำหนดได้ในลักษณะที่ค่อนข้างแข็งแกร่งกว่า กล่าวคือสำหรับทุกและโปรแกรมที่แก้ด้วยคำสัญญาในเวลาความซับซ้อนของเวลาของจำกัด เฉพาะอินพุตในความพึงพอใจ $M \subset \lbrace 0,1 \rbrace^*$ $Q$ $X$ $M$ $t^M_Q(n)$ $t_L^M(n)$ $L$ $M$

t_{L}^{M} (n) < 2^{| Q |} q (n, t_{Q}^{M} (n))

$t_L^M(n) < 2^{|Q|}q(n, t^M_Q(n))$

โดยที่คือพหุนามคงที่ ความแตกต่างที่สำคัญคือสามารถเป็นได้เช่นพหุนามแม้ว่า $q$ $t^M_Q(n)$ $P \neq NP$

"ความอ่อนแอ" ที่เห็นได้ชัดของคือปัจจัยใหญ่ในขอบเขตนี้ มันง่ายที่จะเห็นว่าถ้ามีอัลกอริทึมที่ทำให้ขอบเขตของรูปแบบเดียวกันเป็นถูกแทนที่ด้วยพหุนามในแล้วNP นี่เป็นเพราะเราสามารถใช้เป็นโปรแกรมที่แก้ปัญหาอินสแตนซ์ของโดยการเข้ารหัสคำตอบ ในทำนองเดียวกันถ้าสามารถถูกแทนที่ด้วยฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นจากนั้นสมมติฐานเวลาเอ็กซ์โพเนนเชียลจะถูกละเมิด อย่างไรก็ตามคำตอบสำหรับคำถามต่อไปนี้ไม่ชัดเจน (สำหรับฉัน): $L$ $2^{|Q|}$ $2^{|Q|}$ $|Q|$ $P = NP$ $Q$ $X$ $2^{|Q|}$ $|Q|$

สมมติว่ามีการอธิบายสมมติฐานเวลาและการคาดเดาอื่น ๆ ที่รู้จักกันดี (เช่นความเสื่อมของลำดับชั้นพหุนามการดำรงอยู่ของฟังก์ชั่นทางเดียว) หากจำเป็นมีอัลกอริทึมการแก้เซนต์สำหรับและโปรแกรมที่แก้ปัญหาด้วยสัญญาในเวลา , ความซับซ้อนของเวลาของจำกัด ให้อินพุตในตามเงื่อนไข $A$ $X$ $M \subset \lbrace 0,1 \rbrace^*$ $Q$ $X$ $M$ $t^M_Q(n)$ $t_A^M(n)$ $A$ $M$

$t_{A}^{M} (n) < f (| Q |) q (n, t_{Q}^{M} (n)) + g (| Q |)$ $t_A^M(n) < f(|Q|)q(n, t^M_Q(n)) + g(|Q|)$
โดยที่คือพหุนามคือเลขชี้กำลังย่อยและเป็นเลขยก $q$ $f$ $g$

ถ้าคำตอบเป็นค่าบวกสามารถเป็นพหุนามหรือไม่ อัตราการเติบโตของคืออะไร(อย่างน้อยอธิบายอย่างชัดเจนภายใต้ ETH)? ถ้าคำตอบนั้นเป็นลบสามารถมีพหุนามถ้า ETH นั้นผิด แต่ ? $f$ $g$ $f$ $P \neq NP$

cc.complexity-theory time-complexity p-vs-np

— วาเนสซ่า
แหล่งที่มา

พิจารณาอัลกอริทึมต่อไปนี้ (ตัวแปรของอัลกอริทึมของเลวิน):

เรียกใช้อัลกอริทึมแรกแบบขนาน นอกจากนี้ให้เรียกใช้อัลกอริทึมแบบ brute-force ที่พยายามแก้ไขปัญหาที่เป็นไปได้ทั้งหมดทีละตัว (เรียกใช้อัลกอริทึมทั้งหมดด้วยความเร็วเท่ากัน) $n$

หยุดเมื่อหนึ่งในอัลกอริทึมค้นหาวิธีแก้ไข

พิจารณาสองกรณี (กำหนดอินพุตยาว ): $x$ $n$

$Q$ เป็นหนึ่งในคนแรกที่อัลกอริทึม จากนั้นเวลาทำงานเป็น(n) $n$ $O(n \cdot t^M_Q(n)) \cdot \mathrm{poly}(n)$
$Q$ ไม่ใช่หนึ่งในขั้นตอนวิธีแรก(เช่น ) จากนั้นเวลาทำงานจะถูก จำกัด ด้วยเวลาทำงานของอัลกอริทึมแรงเดรัจฉาน เรามีเวลาทำงานเป็น |)}} $n$ $n < 2^{|Q|}$ $2^{n^{O(1)}} = 2^{2^{O(|Q|)}}$

เรามี

t_{A}^{M} (n) \leq p o l y (n) \cdot t_{Q}^{M} (n) + 2^{2^{O (| Q |)}} .

$t^M_A(n) \leq \mathrm{poly}(n) \cdot t^M_Q(n) + 2^{2^{O(|Q|)}}.$

(ที่นี่คือพหุนามและเป็นเลขชี้กำลังสองเท่าใน ; เราสามารถปรับปรุงการพึ่งพาบนโดยทำให้การพึ่งพาแย่ลงบน ) $f(n)$ $g(n)$ $n$ $g(n)$ $n$ $f(n)$ $n$

— Yury
แหล่งที่มา

มีความแตกต่างของสิ่งนี้ซึ่งตอบสนองความผูกพันที่ดีขึ้นในบางแง่มุมแม้ว่ามันจะไม่ใช่แบบที่ฉันร้องขอ กล่าวคือแทนที่จะใช้อัลกอริธึมกำลังดุร้ายรันการค้นหาเลวินแบบธรรมดา สิ่งนี้ให้ผลผูกพันเดียวกันกับคำที่สองแทนที่ด้วย ~

2^{| Q |} t_{Q}^{M} (2^{| Q |})

$2^{|Q|}t^M_Q(2^{|Q|})$

— วาเนสซ่า