องค์ประกอบที่น้อยที่สุดของเพรดิเคตแบบโมโนโทนิกเหนือ powerset

พิจารณาเนื่องกริยามากกว่า powerset 2 | n | (สั่งโดยการรวม) โดย "monotonic" ฉันหมายถึง: ∀ x , y ∈ 2 | n | เช่นว่าx ⊂ Yถ้าP ( x )แล้วP ( Y ) ฉันกำลังมองหาอัลกอริทึมเพื่อค้นหาองค์ประกอบขั้นต่ำทั้งหมดของPนั่นคือx ∈ 2 | n | แบบนั้นP ( x $P$$2^{|n|}$$\forall x, y \in 2^{|n|}$$x \subset y$$P(x)$$P(y)$$P$$x \in 2^{|n|}$$P(x)$แต่ , ¬ P ( Y ) ตั้งแต่ความกว้างของ2 | n | คืออาจมีองค์ประกอบขั้นต่ำจำนวนมากชี้แจงและดังนั้นเวลาทำงานของอัลกอริทึมดังกล่าวอาจเป็นเลขชี้กำลังทั่วไป อย่างไรก็ตามมีอัลกอริทึมสำหรับงานนี้ซึ่งเป็นพหุนามในขนาดของผลลัพธ์หรือไม่$\forall y \subset x$$\neg P(y)$$2^{|n|}$$n \choose n/2$

[บริบท: คำถามทั่วไปเพิ่มเติมถูกถามแต่ไม่มีความพยายามในคำตอบในการประเมินความซับซ้อนของอัลกอริทึมในขนาดของผลลัพธ์ ถ้าฉันสมมติว่ามีองค์ประกอบขั้นต่ำเพียงหนึ่งตัวเท่านั้นฉันสามารถทำการค้นหาแบบไบนารีตามคำตอบนี้และค้นหา อย่างไรก็ตามหากฉันต้องการค้นหาองค์ประกอบที่น้อยที่สุดต่อไปฉันต้องรักษาข้อมูลปัจจุบันที่ฉันมีเกี่ยวกับไว้ในแบบที่จะทำให้การค้นหาต่อไปโดยไม่ต้องเสียเวลาไปกับสิ่งที่เป็นที่รู้จักแล้ว เป็นไปได้ไหมที่จะทำสิ่งนี้และค้นหาองค์ประกอบที่น้อยที่สุดในเวลาพหุนามตามขนาดของเอาต์พุต?]$P$

ดีฉันต้องการจะเข้าใจว่านี้สามารถทำได้ด้วย DABs ความทั่วไป แต่ฉันแล้วไม่ทราบวิธีการที่จะตอบคำถามสำหรับ|}$2^{|n|}$

ปัญหาของคุณเป็นที่รู้จักในวรรณคดีการเรียนรู้ว่า "ฟังก์ชั่นการเรียนรู้เสียงเดียวโดยใช้แบบสอบถามแบบสมาชิก" คลาสของฟังก์ชัน monotone ที่สามารถระบุ minterms ทั้งหมดเป็นที่รู้จักกันในชื่อ

ดูเหมือนว่าการดำรงอยู่ของอัลกอริทึมเวลาพหุนามยังคงเปิดอยู่ Schmulevich และคณะ พิสูจน์ว่า "ฟังก์ชั่นบูลีนโมโนโทนเกือบทั้งหมดสามารถเรียนรู้ได้หลายแบบโดยใช้คำสั่งการเป็นสมาชิก" ถ้าเรายังจำเป็นต้องให้ TH minterm ได้รับการสร้างขึ้นในเวลาพหุนามในและแล้วปัญหาจะเทียบเท่ากับเสียงเดียว dualization ที่แสดงโดยBioch และอิบารากิ นี่คือการสำรวจที่ระบุถึงการทำให้เป็นเสียงเดียว$t$$n$$t$