ความซับซ้อนของพื้นที่ในการคำนวณค่าลักษณะเฉพาะคืออะไร

ฉันกำลังมองหากระดาษสำรวจหรือหนังสือที่ครอบคลุมผลลัพธ์เกี่ยวกับความซับซ้อนของพื้นที่ของการดำเนินงานพีชคณิตเชิงเส้นทั่วไปเช่นอันดับของเมทริกซ์การคำนวณค่าลักษณะเฉพาะ ฯลฯ ฉันเน้นส่วน "ความซับซ้อนของพื้นที่" หมายถึงความซับซ้อนของพื้นที่ทำงานมากกว่าความซับซ้อนของเวลา ง่ายต่อการติดตามผลลัพธ์เวลา ฉันขอขอบคุณการอ้างอิงใด ๆ ในเรื่องนี้

ขอบคุณ

linear-algebra space-complexity

— gil
แหล่งที่มา

ฉันเดาว่าความซับซ้อนมักจะเป็นเส้นตรงเสมอ (เช่น

สำหรับเมทริกซ์

) คุณสนใจใน "พื้นที่ทั้งหมด" หรือ "พื้นที่ทำงาน" หรือไม่?

O (n m)

$O(nm)$

n \times m

$n\times m$

— Yuval Filmus

ฉันควรจะกล่าวว่าฉันสนใจในพื้นที่ทำงาน

— gil

ฉันแน่ใจว่ามันเป็น

สำหรับ

เมทริกซ์ เหตุผลพื้นฐานคือฉันรู้สองวิธีที่มีประโยชน์วิธีการคำนวณพวกเขาและทั้งสองกำลังสองในพื้นที่ อันดับแรกคือการคำนวณพหุนามลักษณะ (กำลังสอง) และค้นหาราก ข้อที่สองใช้วิธีการประมาณซึ่งทุกอย่างจำเป็นต้องเก็บเมทริกซ์ที่แก้ไข (แต่ฉันไม่สามารถอธิบายรายละเอียดได้อย่างนี้มันเป็นเวลาพักหนึ่งแล้วตั้งแต่ฉันกำลังศึกษาพีชคณิตเชิงเส้นเชิงตัวเลข)

O (n^{2})

$\mathcal O(n^2)$

n \times n

$n\times n$

— '30

หากต้องการขยายในจุดที่ทำโดย @Yuval Filmus ความซับซ้อนของพื้นที่ค่อนข้างอ่อนไหวต่อโมเดลการคำนวณที่เฉพาะเจาะจง โดยเฉพาะอย่างยิ่งเนื่องจากเอาต์พุตมีขนาดเชิงเส้นเราสามารถเล่นลูกเล่นโดยใช้เทปเอาต์พุตเป็นเวิร์กสเปซเว้นแต่ว่ารูปแบบจะระบุเทปเอาต์พุตแบบเขียนอย่างเดียวอย่างชัดเจน เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาดังกล่าวฉันจะถูกล่อลวงให้ใช้ถ้อยคำใหม่เป็นปัญหาการตัดสินใจ (เช่นได้รับการป้อนข้อมูลสามเมทริกซ์ตรวจสอบว่าสามคือผลคูณของสองคนแรก) คุณสามารถระบุรุ่นที่คุณนึกไว้ได้หรือไม่? (นอกจากนี้ฉันไม่ทราบหนังสือเกี่ยวกับความซับซ้อนของพื้นที่และไม่พบการสำรวจที่เป็นประโยชน์เช่นกัน)

— András Salamon

ในเรื่องเกี่ยวกับ @ AndrásSalamonดังนั้นเวอร์ชันการตัดสินใจที่มีประโยชน์สำหรับฉันก็คือ: เป็นค่าลักษณะเฉพาะของ k'th ที่ใหญ่กว่า q สำหรับจำนวนเต็ม k และเหตุผล q ขอบคุณ

— gil

คำตอบ:

เวอร์ชันการตัดสินใจของปัญหาที่พบบ่อยจำนวนมากในพีชคณิตเชิงเส้นเหนือจำนวนเต็ม (หรือ rationals) อยู่ในคลาสดูกระดาษ $\mathsf{DET}$

Gerhard Buntrock, Carsten Damm, Ulrich Hertrampf, Christoph Meinel: โครงสร้างและความสำคัญของ Logspace-MOD Class ทฤษฎีระบบคณิตศาสตร์ 25 (3): 223-237 (1992)

ที่มีอยู่ใน ) $\mathsf{DET}$ $\mathsf{DSPACE}(\log^2)$

การคำนวณค่าลักษณะเฉพาะนั้นละเอียดอ่อนกว่านี้เล็กน้อย:

1) ในเราสามารถคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามลักษณะ $\mathsf{DSPACE}(\log^2)$

2) จากนั้นคุณสามารถใช้อัลกอริทึมแบบขนานโดย Reif และ Neff เพื่อคำนวณค่าประมาณค่าลักษณะเฉพาะ อัลกอริธึมทำงานบน CREW-PRAM ในเวลาลอการิทึมพร้อมโพรเซสเซอร์หลายหน่วยดังนั้นจึงสามารถจำลองด้วยพื้นที่โพลีลอการิทึม (มันไม่ได้ระบุ explicitely ในกระดาษ แต่รถเข็นของพวกเขาควรจะเป็นเครื่องแบบเข้าสู่ระบบพื้นที่.) พื้นที่ที่ใช้เป็น polylogarithmic ในขนาดของเมทริกซ์การป้อนข้อมูลและความแม่นยำที่หน้าแม่นยำหมายความว่าคุณจะได้รับประมาณถึงข้อผิดพลาดของสารเติมแต่งพี $p$ $p$ $2^{-p}$

นี่คือการเชื่อมต่อของฟังก์ชันที่คำนวณได้ในพื้นที่โพลีลอการิทึม (เทปเอาต์พุตเป็นแบบเขียนอย่างเดียวและทางเดียว)

C. Andrew Neff, John H. Reif: อัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับปัญหารากที่ซับซ้อน J. ความซับซ้อน 12 (2): 81-115 (1996)

— Markus Bläser
แหล่งที่มา

$log^2$ $NC^2$

— Lior Eldar
แหล่งที่มา