สูตรบูลีนปรับสมดุลใน

ฉันกำลังมองหาการอ้างอิงเกี่ยวกับความซับซ้อนของปัญหาการปรับสมดุลสูตรบูลีน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง,

เป็นที่ทราบกันว่าสูตรบูลีนสามารถปรับสมดุลในหรือไม่? $\mathsf{AC^0}$
มีหลักฐานที่เรียบง่ายของสูตรบูลีสมดุลอยู่ใน ? $\mathsf{AC^0}$

โดย "ง่าย" ผมหมายถึงหลักฐานง่ายกว่าคนที่ผมกล่าวถึงข้างล่างนี้โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันกำลังมองหาหลักฐานที่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับการประเมินผลการบูลีนสูตรเป็นอยู่ใน1} $\mathsf{NC^1}$

พื้นหลัง

ที่นี่ทุกชั้นเรียนที่ซับซ้อนกล่าวถึงเป็นคนที่เหมือนกัน

BFB (บูลีนสูตรสมดุล):
กำหนดสูตรบูลีน , ค้นหาเทียบเท่าสูตรบูลีนที่สมดุล $\varphi$

ฉันสนใจความซับซ้อนของปัญหานี้โดยเฉพาะการพิสูจน์อย่างง่าย ๆ ที่แสดงปัญหาอยู่ใน (หรือแม้แต่หรือ ) ร่วมกันสร้างความสมดุลระหว่างการขัดแย้งเช่นผู้ที่อยู่บนพื้นฐานของแทรก Spira ฯ กำหนดซ้ำปรับเปลี่ยนโครงสร้างต้นไม้สูตรซึ่งดูเหมือนจะเพียง แต่ให้2} $\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{TC^0}$ $\mathsf{NC^1}$ $BFB \in \mathsf{NC^2}$

ฉันมีหลักฐานสำหรับแต่หลักฐานไม่ง่ายและขึ้นอยู่กับหลักฐานของ1} $BFB \in \mathsf{AC^0}$ $BFE \in \mathsf{NC^1}$

BFE (การประเมินผลสูตรบูลีน)
ได้รับการบูลีนสูตรและการกำหนดความจริงของตัวแปรใน , ไม่ Satisfy ( )? $\varphi$ $\tau$ $\varphi$
$\tau$ $\varphi$ $\tau \vDash \varphi$

มันเป็นที่รู้จักจากผลที่มีชื่อเสียงโด่งดังแซมบัสที่บูลีนสูตรการประเมินผล ( ) สามารถคำนวณได้ใน (ดู[Buss87]และ[BCGR92] ) $BFE$ $\mathsf{NC^1} = \mathsf{ALogTime}$

มันตามมา (ค่อนข้างน่าประหลาดใจอย่างน้อยสำหรับฉัน) ว่าสูตรบูลีนบาลานซ์ ( ) ก็อยู่ใน : $BFB$ $\mathsf{NC^1}$

ความคิดคือการที่เราสามารถ hardcodeในประตูใส่ของเพื่อให้ได้เทียบเท่าสูตรและนี่คือการดำเนินการคำนวณประโยคอย่างสมบูรณ์ใน0} ตั้งแต่มีสูตรสมดุลเราได้รับสูตรสมดุลเทียบเท่า\กล่าวอีกนัยหนึ่งอัลกอริทึมคือ: $\varphi$ $BFE$ $\varphi$ $\mathsf{AC^0}$ $BFE$ $\varphi$

⌜ φ ⌝ \mapsto ⌜ λ \vec{p} . E v a l (⌜ φ ⌝, \vec{p}) ⌝

$\ulcorner \varphi \urcorner \mapsto \ulcorner \lambda \vec{p}. Eval(\ulcorner \varphi \urcorner, \vec{p} )\urcorner$

แรงจูงใจ

อาร์กิวเมนต์ที่ง่ายกว่าสำหรับอยู่ใน (หรือหรือแม้แต่ ) จะให้หลักฐานที่ง่ายกว่าของเพราะมันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่ามีความสมดุลรุ่น BFE จะสามารถแก้ไขได้ในและเราสามารถเขียนมันด้วยและผลที่ได้จะอยู่ใน1} $BFB$ $\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{TC^0}$ $\mathsf{NC^1}$ $BFE \in \mathsf{NC^1}$ $\mathsf{NC^1}$ $BFB$ $\mathsf{NC^1}$

คำถาม

เป็นที่ทราบกันหรือไม่ว่าสูตรบูลีนสามารถปรับสมดุลใน ( )? $\mathsf{AC^0}$ $BFB\in \mathsf{AC^1}$
มีข้อโต้แย้งที่เรียบง่าย (เช่นไม่ได้อาศัย ) สำหรับ ? $BFE\in \mathsf{NC^1}$ $BFB\in\mathsf{AC^0}$

— Kaveh
แหล่งที่มา

คุณใช้คำว่า "สมดุล" ในคำจำกัดความใด?

— Dana Moshkovitz

@Dana เราสามารถใช้บางอย่างเช่น (เช่นด้วยค่าคงที่เฉพาะ) ดูเอกสารของ Bonnet และ Buss "การแลกเปลี่ยนขนาดความลึกสำหรับสูตรบูลีน ", 2002

D e p t h < 10 \lg S i z e + 100

$Depth < 10\lg Size + 100$

D e p t h = O (\lg S i z e)

$Depth = O(\lg Size)$

— Kaveh

ตกลง defn ของ "สมดุล" ควรจะชัดเจน มันคล้ายกับแนวคิดของการทรงตัวในต้นไม้ไบนารีหรือไม่? เช่น"ต้นไม้ที่สมดุลในตัวเอง"

— vzn

ฉันไม่แน่ใจว่าสิ่งนี้มีความเกี่ยวข้องหรือไม่ แต่ในLog-Space Algorithms สำหรับ Paths และ Matchings ใน k-Trees (สร้างประวัติศาสตร์ที่ยาวนานในการทำงานที่ผ่านมาและโดยเฉพาะในคลาส Arithmetizing รอบ NC1 และ Lโดย Limaye-Mahajan-Rao) วิธีการค้นหาตัวคั่นที่ซ้ำแบบซ้ำสำหรับทรีใน Logspace ขอบเขตนี้อาจเป็นไปไม่ได้ที่ถ้าทรีอินพุทได้รับโดยตรงในการแทนสตริง $\mathsf{NC}^1$

แนวคิดพื้นฐานคือการแสดงต้นไม้เป็นนิพจน์วงเล็บและค้นหาตัวคั่นที่สมดุลสำหรับสิ่งเหล่านี้ โปรดสังเกตว่าเราพบตัวคั่นใบไม้เช่น subtrees ซึ่งเป็นจำนวน wrt ที่สมดุล

— samid
แหล่งที่มา