การประยุกต์ใช้ TCS กับคณิตศาสตร์คลาสสิค?

เราใน TCS มักจะใช้ผลลัพธ์ที่มีประสิทธิภาพและความคิดจากคณิตศาสตร์คลาสสิก (พีชคณิต, โทโพโลยี, การวิเคราะห์, เรขาคณิตและอื่น ๆ )

มีตัวอย่างอะไรบ้างเมื่อมันไปทางอื่น?

นี่คือบางส่วนที่ฉันรู้ (และเพื่อให้ได้รสชาติของผลลัพธ์ที่ฉันถาม):

• โฟมทรงลูกบาศก์ (Guy Kindler, Ryan O'Donnell, Anup Rao และ Avi Wigderson: ทรงกลมลูกบาศก์และการปัดเศษในมิติสูง, FOCS 2008)
• โปรแกรมทฤษฎีเชิงซ้อนเชิงเรขาคณิต. (แม้ว่านี่จะเป็นการประยุกต์ใช้ทฤษฎีพีชคณิตเชิงพีชคณิตและทฤษฎีการเป็นตัวแทนของ TCS แต่พวกเขาก็ถูกนำไปสู่การแนะนำกลุ่มควอนตัมใหม่และแนวคิดพีชคณิตเชิงพีชคณิตและการเป็นตัวแทนในการแสวงหา P vs NP
• ทำงานเกี่ยวกับตัวชี้วัดที่ได้รับแรงบันดาลใจจากอัลกอริธึมการประมาณและผลลัพธ์ที่ไม่สามารถทำได้

โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันไม่ได้มองหาการใช้งานของ TCS กับตรรกะ (ทฤษฎีแบบ จำกัด , ทฤษฎีการพิสูจน์ ฯลฯ ) เว้นแต่พวกเขาจะน่าประหลาดใจเป็นพิเศษ - ความสัมพันธ์ระหว่าง TCS และตรรกะนั้นใกล้เกินไปและเป็นมาตรฐานและประวัติศาสตร์สำหรับวัตถุประสงค์ของคำถามนี้

ผู้พัฒนาส่วนขยายได้รับการพัฒนาในระดับสูงใน TCS และพวกเขามีการเชื่อมต่อที่ลึกซึ้งและการประยุกต์ใช้กับคณิตศาสตร์

มีหลักฐานของ Dvir เกี่ยวกับการคาดคะเน Kakeya อัน จำกัด

ตัวอย่างที่น่ารักที่ฉันรู้จักคือกระดาษของ Michael Freedman ชื่อ " Complexity Classes as Mathi Axioms " ซึ่งให้ความหมายของใน 3 โทโพโลยีของแมนิโฟลด์$P^{\sharp P}\neq NP$

หลักการแปรผันนั้นเกิดจากความแข็งของการประมาณ แต่เป็นทฤษฎีการวิเคราะห์ที่มีประโยชน์ หลักการ: ฟังก์ชั่นระดับต่ำซึ่งตัวแปรแต่ละตัวมีอิทธิพลเล็กน้อยพฤติกรรมเกือบจะเหมือนกันไม่ว่าอินพุตจะเป็นตัวแปรสุ่มอิสระหรือตัวแปรสุ่มแบบเกาส์ที่สอดคล้องกัน นี่เป็นลักษณะทั่วไปของทฤษฎีบทขีด จำกัด กลาง ฟังก์ชั่นนั้นเป็นค่าเฉลี่ยของตัวแปร

เสถียรภาพของเสียงรบกวนของฟังก์ชั่นที่มีอิทธิพลต่ำ: ความไม่แปรเปลี่ยนและการปรับให้เหมาะสม E. Mossel, R. O'Donnell, K. Oleszkiewicz พงศาวดารของคณิตศาสตร์ 171 (1), หน้า 295-341 (2010) FOCS '05

ทฤษฎีการทดสอบระดับต่ำมีแรงจูงใจจากแอปพลิเคชั่น PCP แต่เป็นทฤษฎีบทพีชคณิตที่น่าสนใจ หลักการ: ฟังก์ชันแปรผันเหนือสนาม จำกัดที่โดยเฉลี่ยเหนือเส้นในอยู่ใกล้ในระยะทาง Hamming ไปจนถึงพหุนามระดับต่ำในบรรทัดใกล้ในระยะ Hamming ถึงพหุนามระดับต่ำบน ทั้ง nF F n F $n$$F$$F^n$$F^n$

ความใกล้ชิดในระยะห่างของ Hamming ไปจนถึงพหุนามระดับต่ำในบางพื้นที่หมายความว่าฟังก์ชันระบุด้วยพหุนามระดับต่ำในส่วนที่ไม่สามารถมองข้ามได้บางส่วน

ปรับปรุงการทดสอบต่ำปริญญาและการประยุกต์ใช้ S. Arora และ M. Sudan ใน ACM STOC 1997

การทดสอบระดับต่ำผิดพลาดความน่าจะเป็นต่ำ - Sub และคงความผิดพลาด - คงความผิดพลาด PCP ลักษณะของ NP , R.Raz, S.Safra, การดำเนินการของ 29 STOC, 1997, pp 475-484

ถึงแม้ว่าผมจะลำเอียงผมคิดว่ามันยุติธรรมที่จะบอกว่ามีความคิดต่าง ๆ จาก TCS มีส่วนร่วมเพื่อความคืบหน้าในการคาดเดาผกผันสำหรับบรรทัดฐาน Gowers ดูเช่นกระดาษสีเขียวและเต่า

ทฤษฎีการคำนวณเป็นส่วนหนึ่งของ TCS หรือไม่? ถ้าเป็นเช่นนั้นทฤษฎีการคำนวณและเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์โดย Bob Soare ซึ่งแสดงการประยุกต์ใช้ผลลัพธ์ที่เขาได้รับด้วย Csima เป็นตัวอย่าง

ไม่ทราบสาเหตุที่ลิงก์ไม่ปรากฏขึ้น .... ที่นี่: http://www.people.cs.uchicago.edu/~soare/res/Geometry/geom.pdf

Extractors เป็นอีกหนึ่งสถานที่ที่น่าค้นหา ตัวอย่างเช่นกระดาษโดย Barak-Kindler-Shaltiel-Sudakov-Wigderson'04 ให้สิ่งก่อสร้างที่ปรับปรุงแล้วของกราฟ Ramsey (ปัญหาที่เปิดมานานแล้วในคณิตศาสตร์แยก)

De Wolf และ Drucker พูดถึงในการสำรวจของพวกเขาในการพิสูจน์ควอนตัมเกี่ยวกับการเชื่อมต่อที่น่าประหลาดใจระหว่างความซับซ้อนของการค้นหาควอนตัมและ - การประมาณของฟังก์ชันสมมาตรโดยพหุนาม$\epsilon$

ก่อสร้างแผ่ซิกแซ็กถูกนำมาใช้ในการสร้างตัวอย่างที่น่าสนใจต่างๆของกลุ่มที่มีคุณสมบัติที่ไม่คาดคิดบางอย่างดูลั-Wigderson , Rozenman-Shalev-Wigderson การสร้างตัวมันเองนั้นน่าสนใจมากจากมุมมองทางคณิตศาสตร์ที่บริสุทธิ์เนื่องจากมันใช้เครื่องมือที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง (แรงบันดาลใจจากมุมมองของ CS ในการจัดการกับเอนโทรปี) เพื่อสร้างตัวขยายมากกว่าสิ่งปลูกสร้างก่อนหน้า (อย่างไรก็ตามแอปพลิเคชั่นที่โด่งดังที่สุดอาจอยู่ในอัลกอริทึม Logspace ของ TCS- Reingold สำหรับการเชื่อมต่อที่ไม่ได้กำหนดทิศทาง )

ให้ฉันพูดถึงแอปพลิเคชันเพิ่มเติมสองสามรายการ:

บางทีการมีส่วนร่วมที่สำคัญที่สุดของ TCS ต่อคณิตศาสตร์บริสุทธิ์คือศิลปะแห่งการลดลง การลดรูปแบบที่ใช้โดย TCS ในความซับซ้อนในการคำนวณและสถานที่อื่น ๆ แสดงถึงกระบวนทัศน์ / เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ซึ่งพัฒนาขึ้นใน TCS เมื่อเปรียบเทียบกับพื้นที่ทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ

แนวคิดของการพิสูจน์ความน่าจะเป็น: ที่นี่ฉันไม่ได้อ้างถึงวิธีการความน่าจะเป็น (ซึ่งมีรากฐานมาจากคณิตศาสตร์ แต่มีแอพพลิเคชั่นมากมายกับ CS) แต่เป็นความจริงที่ว่าคำสั่งทางคณิตศาสตร์ ได้รับการพิสูจน์ "โดยปราศจากข้อสงสัยอันสมเหตุสมผล" มันเป็นการพัฒนาแนวความคิดที่มาจาก CS แม้ว่ามันจะไม่ได้มีการใช้งานมากในวิธีการฝึกคณิตศาสตร์

หลักฐานเชิงสร้างสรรค์ของ Moser จาก Lemas Local Lemma ใช้ความคิดด้านวิทยาการคอมพิวเตอร์ให้หลักฐานใหม่ของบทแทรกของ Lovasz Local และแก้ไขปัญหาที่ผู้คนคิดถึงกันมาระยะหนึ่งแล้ว

Batson-Spielman-Srivastavaวิธีการฟังก์ชั่นอุปสรรคมีจำนวนของการใช้งานเพื่อเรขาคณิตและการวิเคราะห์การทำงานเกิดขึ้นในวิทยาการคอมพิวเตอร์และเป็นรูปแบบเดิมมากของการโต้แย้งฟังก์ชั่นที่มีศักยภาพที่ชวนให้นึกถึงวิธีการประมาณค่าในแง่ร้าย ยิ่งไปกว่านั้นมันขัดกับภูมิปัญญาดั้งเดิมที่วิเคราะห์พหุนามลักษณะของเมทริกซ์แบบสุ่มนั้นยากมากและสิ่งหนึ่งที่ดีกว่าคือการดูช่วงเวลาของเมทริกซ์แทน

วิธีการทำงานของสิ่งกีดขวางได้รับการพัฒนาเป็นครั้งแรกเพื่อพิสูจน์การมีอยู่ของ (และสร้างในเวลาที่กำหนดแบบพหุนาม) ของกราฟที่รักษาคุณสมบัติทางสเปกตรัม sparsifiers ดังกล่าวมีแรงบันดาลใจจากการใช้งานอัลกอริทึม: เป็นหลักอัลกอริทึมใด ๆ ที่จำเป็นต้องคำนวณลดประมาณสามารถ sped ขึ้นโดยได้รับเป็นอินพุตเป็นรุ่น sparsified ของอินพุตต้นฉบับ

$\ell_1^n$

กรอไปข้างหน้าอย่างเร็วสู่ปี 2013 และวิธีการทำงานของสิ่งกีดขวางบนสเตียรอยด์และเติมด้วยเครื่องจักรของพหุนามพหุนามใช้โดยMarcus, Srivastava และ Spielmanเพื่อแก้ปัญหาที่โด่งดังที่สุดในการวิเคราะห์การทำงานปัญหาของ Kadison-Singer . ปัญหานี้เกิดขึ้นจากคำถามพื้นฐานในวิชาฟิสิกส์คณิตศาสตร์ แต่มันไปไกลกว่านี้มาก - มันเป็นที่รู้กันว่าเทียบเท่ากับปัญหานับสิบ ๆ ที่เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ ไม่ต้องพูดถึงว่านักวิเคราะห์หลายคน (รวมถึง Kadison และนักร้อง) ไม่ได้คิดว่าปัญหานั้นมีความละเอียดในเชิงบวก

ตัวอย่างหนึ่งที่นึกถึงคือทฤษฎีบทการฝังของฮิกแมนและเป็นผลทางทฤษฎีของกลุ่ม

ทฤษฎีบทการฝังของ Higman: กลุ่ม G ถูกสร้างขึ้นอย่างประณีตด้วยการนำเสนอแบบเรียกซ้ำหาก f G เป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มที่นำเสนออย่างประณีต

(ขอให้สังเกตว่าส่วนด้านซ้ายของความเท่าเทียมมีองค์ประกอบการคำนวณในขณะที่ด้านขวาเป็นกลุ่มทฤษฎีล้วนๆ)

ความหมายของการสุ่ม , สิ่งที่บัญชีเป็น "ลำดับสุ่ม" และคำถามที่เกี่ยวข้องมีความสำคัญในวิชาคณิตศาสตร์ทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติมานานหลายศตวรรษ ทฤษฎีวิทยาการคอมพิวเตอร์ (และทฤษฎีความซับซ้อน) มีความเข้าใจที่ลึกซึ้งและน่าเชื่อถือสำหรับการทำความเข้าใจเกี่ยวกับการสุ่ม

ในขณะที่ความน่าจะเป็นวิธีการเริ่มต้นในคณิตศาสตร์derandomizationซึ่งเป็นแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญได้รับการพัฒนาเป็นหลักในการบริการลูกค้า

นี่เกี่ยวข้องกับคำตอบของMoritz

ทฤษฎีออโตมาตาและพีชคณิต

ทฤษฎีออโตมาตะได้ให้ผลลัพธ์ที่น่าสนใจเพื่อจำแนกลักษณะพีชคณิต ฉันพูดถึงพวกเขาสองคนพร้อมการอ้างอิง มันไม่มีทางครบถ้วนสมบูรณ์

$\mathbb F_q(t)$

$\mathbb F_q(t)$$q$$q=p^s$$p$$s$$\mathbb F_q[[t]]$$\mathbb F_q$

$\mathbb F_q(t)$$\mathbb F_q(t)$

$\sum_{i=0}^{\infty} a_i t^i$$\mathbb F_q(t)$$\{a_i\}_{i=0}^\infty$$p$

$\mathbb F_q(t)$

$\sum_{i\in I} a_i t^i$$\mathbb F_q(t)$$\{a_i\}_{i\in I}$$p$

2. หมายเลขดีเยี่ยม

ลำดับอัตโนมัตินอกจากนี้ยังใช้ในการอธิบายลักษณะของตัวเลขต่าง ๆ ตัวอย่างเช่น

$b$$\ge 2$$x\in\mathbb R$$\mathbf x=\{x_i\}_{i=0}^\infty$$b$

1. $\mathbf x$$x$
2. $\mathbf x$$b$$x$
3. $x$

แน่นอนว่าไอเท็มชิ้นแรกเป็นผลงานที่คลาสสิกมาก!

อ้างอิง

[1] Gilles Christol ตระการตาเปรสpériodiques K-reconnaissables ในวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี 9 (1), pp 141-145, 1979

[2] Kiran S. Kedlaya ไฟไนต์ออโตและพีชคณิตส่วนขยายของเขตฟังก์ชั่น ในวารสารเดThéorie des เสียงเดอบอร์โดซ์ 18 , PP 379-420 2006 arXiv: คณิตศาสตร์ / 0,410,375

[3] Boris Adamcweski, Yann Bugeaud กับความซับซ้อนของตัวเลขเกี่ยวกับพีชคณิตขยาย I. ในฐานจำนวนเต็ม ในพงศาวดารของคณิตศาสตร์ 165 (2), pp 547-565, 2007

$L$$\tau$

$L$

$\tau$$p$$\tau$$(1+\tau)^c$$c$

IMHO TCS เป็นสาขาวิชาคณิตศาสตร์และฉันอยากให้มันกว้างขึ้นเล็กน้อย เราอาศัยอยู่ในยุคอัลกอริทึมเกือบทุกคนในทุกกิจกรรมของมนุษย์คิดค้น / คิดค้นอัลกอริทึมส่วนใหญ่การวิเคราะห์พฤติกรรม แต่อัลกอริธึมบางอันนั้นดีมาก 2. มี (burried) คำตอบสำหรับคำถามเชิงลึก 3. รอการวิเคราะห์ / การปรับปรุง / การสนใจทางคณิตศาสตร์อย่างมืออาชีพ ประสบการณ์ส่วนตัวของฉัน: พลังอันน่าทึ่งของการเรียนรู้ด้วยวิธีการทางฟิสิกส์ / การเรียนรู้ด้วยเครื่องจักรหนึ่งอย่างคือการประมาณ Bethe เป็นเทคนิคการพิสูจน์ ปัญหาหลักคือการเผชิญหน้าที่เป็นไปได้ของประเภทนี้ส่วนใหญ่เกิดขึ้นในอุตสาหกรรมที่ไม่มีใครสนใจเกี่ยวกับข้อมูลเชิงลึก / การเปิดเผยที่เกี่ยวข้องกับผลิตภัณฑ์เหล่านั้น