อัตราส่วนทองคำหรือ Pi ในเวลาทำงาน

21

มีหลายสถานที่ที่ตัวเลข $\pi$ และ $(1+\sqrt5)/2$ ปรากฏขึ้น ฉันอยากรู้เกี่ยวกับอัลกอริทึมที่เวลาทำงานมีอัตราส่วนทองคำหรือ $\pi$ ในเลขชี้กำลัง

reference-request big-list

— พลัมเม
แหล่งที่มา

4

มีเหตุผลในการคำนวณใดเป็นพิเศษหรือไม่ที่สงสัยว่าอาจเป็นเช่นนั้น? และหากไม่รู้ว่ามันเกิดขึ้นที่ไหนคุณคิดว่าจะมีความเข้าใจอย่างถ่องแท้ที่จะได้รับหากเป็นเช่นนั้น?

— Niel de Beaudrap

13

อัตราส่วนทองคำเกิดขึ้นในการวิเคราะห์ความซับซ้อนของโปรแกรมที่มีความคล้ายคลึงกันในโครงสร้าง recursive เพื่อเรียกซ้ำที่เกี่ยวข้องในตัวเลข Fibonacci :

F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n}

$F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ n

— Martin Berger

11

Fortnow และ Melkebeekเวลา / พื้นที่ต่ำมุ่ง SAT solvability มีอัตราส่วนทองคำ (

n^{ϕ - ϵ}

$n^{\phi - \epsilon}$ เวลาและ

n^{o (1)}

$n^{o(1)}$ พื้นที่); แต่ตัวแทนได้รับการปรับปรุงในภายหลังโดย Ryan Williams

— Marzio De Biasi

2

@MarzioDeBiasi ฉันคิดว่าความคิดเห็นของคุณให้คำตอบที่ดีแม้ว่าผลลัพธ์จะได้รับการปรับปรุง สิ่งที่น่าสนใจคือมีการวิเคราะห์ที่ให้อัตราส่วนทองคำในเลขชี้กำลัง

— Sasho Nikolov

1

@NieldeBeaudrap ฉันหวังว่าจะเห็นรูปแบบบางอย่างในตัวอย่าง ตัวอย่างเช่นเลขชี้กำลัง e ปรากฏขึ้นในหลาย ๆ ที่ในอัลกอริทึมแบบสุ่ม ฉันไม่แปลกใจเลยที่รู้ว่ากิจกรรมประเภทบอลและถังขยะนำไปสู่คำตอบที่เกี่ยวข้องกับ e ฉันสงสัยว่าบางอย่างเช่นนี้สามารถพูดเกี่ยวกับอัลกอริทึมที่มีอัตราส่วนทองคำในเวลาทำงานหรือไม่

— พลัมเมอร์

22

มันเป็นฐานแทนที่จะเป็นเลขชี้กำลัง แต่มีเวลา FPT ของ $O(\varphi^k n^2)$

" อัลกอริธึมแบบคงที่ที่มีประสิทธิภาพคงที่สำหรับการย่อขนาดข้าม 1 ด้าน ", Vida Dujmovic, Sue Whitesides, Algorithmica 40: 15–31, 2004

นอกจากนี้มันเป็นขอบเขตที่ต่ำกว่าแทนที่จะเป็นขอบเขตบน แต่:

" ผูกพันที่ลดลงในเวลาที่จะจำลองหนึ่งคิวหรือสองร้านค้าขยายลงโดยหนึ่งในเทป " พอล MB Vitányi, Inf พร เลทท์ 21: 147–152, 1985 $n^{1.618}$

ในที่สุดสิ่งที่ฉันพยายามหาเมื่อฉันวิ่งข้ามอีกสอง: ต้นไม้แซนวิชแฮม, โครงสร้างข้อมูลที่ล้าสมัยในเรขาคณิตการคำนวณสำหรับการค้นหาช่วงสามเหลี่ยมมีเวลาสอบถาม )ดังนั้นอัตราส่วนทองคำอยู่ในเลขชี้กำลังอย่างถูกต้อง แต่มีบันทึกมากกว่าตัวมันเอง โครงสร้างข้อมูลเป็นพาร์ทิชันแบบลำดับชั้นของระนาบลงในเซลล์นูนโดยมีโครงสร้างโดยรวมของต้นไม้ไบนารีที่แต่ละเซลล์และพี่น้องในต้นไม้ถูกแบ่งพาร์ติชันด้วยการตัดแฮมแซนด์วิช เวลาสอบถามจะถูกกำหนดโดยการเกิดซ้ำ $O(n^{\log_2\varphi})\approx O(n^{0.695})$ ซึ่งมีวิธีการแก้ปัญหาข้างต้น มันอธิบาย (พร้อมชื่อที่น่าเบื่อกว่า) โดย $Q(n)=Q(\frac{n}{2})+Q(\frac{n}{4})+O(\log n)$

"การค้นหาช่วง Halfplanar ในพื้นที่เชิงเส้นและเวลาค้นหา $O(n^{0.695})$ ", Herbert Edelsbrunner, Emo Welzl, Inf พร เลทท์ 23: 289–293, 1986

— David Eppstein
แหล่งที่มา

1

ฉันไม่แน่ใจว่าฉันรู้สึกสบายใจเมื่อพูดว่า

มี

ในเลขชี้กำลัง

n^{\log_{2} φ} = φ^{\log_{2} n}

$n^{\log_2\varphi}=\varphi^{\log_2n}$

φ

$\varphi$

— Emil Jeřábekสนับสนุน Monica

18

(จากความคิดเห็นของฉันด้านบน)

Fortnow และ Melkebeekเวลา / พื้นที่ต่ำมุ่ง SAT solvability ( เวลาและพื้นที่) ที่มีอัตราส่วนทองคำในเลขชี้กำลัง; แต่ได้รับการปรับปรุงให้ดีขึ้นในภายหลังโดยไรอันวิลเลียมส์ $n^{\phi - \epsilon}$ $n^{o(1)}$

— Marzio De Biasi
แหล่งที่มา

5

c o N T I M E [n] ⊈ N T I M E S P A C E [n^{ϕ + o (1)}, n^{o (1)}]

$\mathrm{coNTIME}[n]\nsubseteq\mathrm{NTIMESPACE}[n^{\phi+o(1)},n^{o(1)}]$

15

นอกจากนี้ในฐานมากกว่าเลขชี้กำลังที่ว่าอัลกอริทึม Monien-Speckenmeyer 3-SAT มีเวลาทำงานของ(n) นั่นเป็นขอบเขตแรกที่ไม่สำคัญสำหรับ 3-SAT $\varphi^n\cdot O(n)$

— Jan Johannsen
แหล่งที่มา

10

ตัวอย่างของอีกในฐานเป็นอัลกอริทึมโดย Andreas Björklundและ Thore Husfeldt เพื่อคำนวณความเท่าเทียมกันของจำนวนการกำกับรอบมิลซึ่งทำงานในเวลาn) $\varphi$ $O(\varphi^n)$

http://arxiv.org/abs/1301.7250

— ไทสันวิลเลียมส์
แหล่งที่มา

9

นอกจากนี้ในฐาน: การลบหดอัลกอริทึม (Zykov, 1949) สำหรับการคำนวณจำนวนของกราฟสีวิ่งในเวลา|}) นี่เป็นตัวอย่างที่เป็นที่ยอมรับอย่างมากว่าอัตราส่วนทองคำจะปรากฏจากการเกิดซ้ำของฟีโบนัชชีในเวลาทำงานของการประเมินสูตรแบบเรียกซ้ำตามธรรมชาติ ฉันแน่ใจว่ามันเก่าที่สุด $O(\phi^{|E|+|V|})$

Mikko Koivisto พบอัลกอริทึมสำหรับการคำนวณจำนวนการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบ (IWPEC 2009) $O(\phi^{|V|})$

— Thore Husfeldt
แหล่งที่มา

8

โกลเด้นปันส่วนในฐาน: อัลกอริทึมเอฟพีทีล่าสุดมากโดย Kociumaka และ Pilipczuk, กำหนดได้เร็วขึ้นผลตอบรับ Vertex ชุดคำนวณ FVS ขนาดในเวลา (จากนั้นพวกเขาปรับปรุงอัลกอริทึมให้ทำงานในเวลา ) $k$ $O^*\left((2 + \phi)^k\right)$ $O^*(3.592^k)$

— vb le
แหล่งที่มา

-2

เพื่อขยายความคิดเห็น Martin Bergers: อัลกอริทึม GCD ยุคลิดโบราณทำงานในเวลาที่เลวร้ายที่สุดในสององค์ประกอบต่อเนื่องจากลำดับฟีโบนักชี รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับวิกิพีเดียซึ่งระบุว่า:

หลักฐานนี้จัดพิมพ์โดย Gabriel Laméในปี 1844 แสดงให้เห็นถึงจุดเริ่มต้นของทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ [93] และยังเป็นการนำไปใช้ครั้งแรกของตัวเลขฟีโบนักชี [91]

เทคนิคอัลกอริทึม GCD ทำงานในเวลาลอการิทึมแต่อัตราส่วนทองคำแสดงขึ้นในจำนวนขั้นตอนของอัลกอริทึม $O(\log(n))$

[1] ความซับซ้อนของเวลาของอัลกอริทึม Euclids คือ math.se

— vzn
แหล่งที่มา

เวลาและจำนวนขั้นตอนแตกต่างกันอย่างไร

— Nicholas Mancuso

ขออภัยที่ควรอ่าน # ของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์

— vzn

1

Lamé'sถูกผูกไว้กับจำนวนการวนซ้ำของลูปหลัก (หรือจำนวนการวนซ้ำ, ขึ้นอยู่กับสูตรของอัลกอริทึม) เวลาทำงานของอัลกอริทึมคือ (นั่นคือในแง่ของความยาวของอินพุต)

\log_{φ} N

$\log_{\varphi}N$

O ((\log N)^{2})

$O((\log N)^2)$

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Emil Jeřábekสนับสนุน Monica

เห็นลิงค์ "ปล่อยให้เป็นจำนวนขั้นตอนในอัลกอริทึมแบบยุคลิด "

T (a, b)

$T(a,b)$

T (a, b) = O (l o g_{ϕ} b)

$T(a,b)=O(log_\phi b)$

— vzn

1

ฉันไม่รู้ว่าลิงค์ไหนที่คุณหมายถึง แต่อย่างไรก็ตามฉันก็แค่อธิบายความหมายของ "ขั้นตอน" ที่นี่เพื่อให้เข้าใจได้ง่าย โปรดทราบว่าการเขียนนั้นไม่มีจุดหมายเนื่องจากลอการิทึมในสองฐานนั้นเป็นของกันและกัน

O (\log_{ϕ} b)

$O(\log_\phi b)$

O

$O$

— Emil Jeřábekสนับสนุน Monica