ต้นไม้ทอดข้ามขั้นต่ำในการแข่งขันจุดสุดยอดทั้งหมด

ฉันพบปัญหาการจับคู่ที่ฉันไม่สามารถเขียนอัลกอริทึมเวลาพหุนาม

ปล่อย $P, Q$ เป็นกราฟถ่วงน้ำหนักที่สมบูรณ์พร้อมชุดจุดยอด $P_V$ และ $Q_V$ตามลำดับที่ไหน $|P_V| = |Q_V|=n$. นอกจากนี้ให้$w_P$และเป็นฟังก์ชันน้ำหนักที่ขอบของและตามลำดับ$w_Q$$P$$Q$

สำหรับ bijectionเราปรับเปลี่ยนในแบบต่อไปนี้: ถ้าและด้วยจากนั้นตั้งค่านายก) แสดงกราฟนี้แก้ไขโดยและให้เป็นผลรวมของน้ำหนักของขั้นต่ำของต้นไม้ทอดQ_f$f: P_V \to Q_V$$Q$$f(p) = q$$f(p^\prime) = q^\prime$$w_P(p, p^\prime) > w_Q(q, q^\prime)$$w_Q(q, q^\prime) = w_P(p, p^\prime)$$Q_f$$W(Q_f)$$Q_f$

ปัญหา:ลดมากกว่าทุก bijectionsQ_V$W(Q_f)$$f: P_V \to Q_V$

ปัญหานี้หนักแค่ไหน หาก "ยาก": แล้วอัลกอริธึมประมาณเป็นอย่างไร

(ย้ายจากความคิดเห็น) ต่อไปนี้เป็นแนวคิดสำหรับการประมาณค่าปัจจัยคงที่โดยสมมติว่า P และ Q ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม ฉันคิดว่ามันอาจให้ 2 การประมาณ แต่ทั้งหมดที่ฉันสามารถพิสูจน์ได้ในขณะนี้คืออัตราส่วนการประมาณ 4

(1) ในปัญหาตามที่ระบุน้ำหนักของขอบ $pq$ ในกราฟรวม (หลังจากการติดต่อทางจดหมาย $p$-$p'$ และ $q$-$q'$ ถูกกำหนด) คือ $\max\{P(pq),Q(p'q')\}$. ให้เราใช้แทน$P(pq)+Q(p'q')$. สิ่งนี้สูญเสียมากที่สุดเท่าที่สอง แต่ทำให้ปัญหาง่ายขึ้นในการอธิบาย: ตอนนี้เรากำลังพยายามหาต้นไม้ที่ทอด$P$และต้นไม้ทอดยาวแบบ isomorphic $Q$ด้วยน้ำหนักรวมขั้นต่ำ การติดต่อระหว่าง$P$ และ $Q$ จะได้รับจากการมอร์ฟิซึ่มส์ระหว่างต้นไม้สองต้นนี้

(2) ใน $P$หาต้นไม้ที่ทอดยาวที่สุดและใช้เทคนิคการพาทัวร์ออยเลอร์เป็นสองเท่าเพื่อหาเส้นทางที่มีน้ำหนักมากที่สุดเป็นสองเท่า ทำสิ่งเดียวกันอย่างอิสระ$Q$. ผลที่ได้คือต้นไม้ isomorphic สองต้น (ทั้งสองเส้นทาง) ที่แยกจากกันเป็นสองเท่าของน้ำหนัก MSTs ของกราฟของพวกเขาและดังนั้นจึงเป็นสองเท่าของค่าใช้จ่ายของการแก้ปัญหาขั้นต่ำ isomorphic spanning ปัญหาต้นไม้และสี่เท่าของปัญหาเดิม .

(3) ปัญหาดั้งเดิมคือ NP-complete โดยลดจากเส้นทาง Hamiltonian ปล่อย$P$ถูกกำหนดจากกราฟที่คุณต้องการทดสอบการมีอยู่ของเส้นทางมิลโตเนียน กำหนด$P(pq)=1$ เมื่อไหร่ $pq$ เป็นขอบใน $P$ และ $2$ เมื่อไหร่ $pq$ไม่ใช่ขอบ ปล่อย$Q$กำหนดในลักษณะเดียวกันจากกราฟเส้นทาง จากนั้นมีทางออกของค่าใช้จ่ายทั้งหมด$n-1$ ถ้าและเฉพาะในกรณีที่กราฟจากที่ $P$ถูกกำหนดไว้มีเส้นทางมิลโตเนียน อาจใช้วิธีนี้เพื่อพิสูจน์ความไม่สามารถต้านทานได้ต่ำกว่าค่าคงที่บางค่า