Combinators สำหรับฟังก์ชั่นการเรียกซ้ำแบบดั้งเดิม

เป็นที่ทราบกันดีว่า Combinators S และ K นั้นสมบูรณ์แบบสำหรับทัวริง มี combinators ที่เพียงพอที่จะให้ผลตอบแทน (เฉพาะ) ฟังก์ชันเรียกซ้ำแบบดั้งเดิมหรือไม่?

ใช่ แต่คุณต้องพิจารณาผู้ตีพิมพ์ นั่นคือคุณต้องให้และK schema ประเภทต่อไปนี้: K : A → B → A S : ( A → B → C ) → ( A → B ) → ( A → C ) โดยที่A , BและCเป็นตัวแปรเมตาซึ่งสามารถสร้างอินสแตนซ์ให้กับคอนกรีตทุกประเภทที่ใช้งาน$S$$K$

$$\begin{array}{lcl} K & : & A \to B \to A \\ S & : & (A \to B \to C) \to (A \to B) \to (A \to C) \end{array}$$ $A, B$$C$

จากนั้นคุณต้องการเพิ่มชนิดจำนวนธรรมชาติภาษาประเภทและเพิ่ม combinators ต่อไปนี้: Z : N s ยูคค: N → NฉันทีอีR : N → ( N → N ) → N → $\mathbb{N}$

$$\begin{array}{lcl} z & : & \mathbb{N} \\ succ & : & \mathbb{N} \to \mathbb{N} \\ iter & : & \mathbb{N} \to (\mathbb{N} \to \mathbb{N}) \to \mathbb{N} \to \mathbb{N} \end{array}$$

กฎความเสมอภาคสำหรับการเพิ่มเติมคือ:

$$\begin{array}{lcl} iter\;i\;f\;z & = & i \\ iter\;i\;f\;(succ\;e) & = & f(iter\;i\;f\;e) \end{array}$$

$$\begin{array}{lcl} iter & : & A \to (A \to A) \to \mathbb{N} \to A \end{array}$$ $iter$

$\mathit{iter}$

$$\begin{array}{lcl} pred' & = & \lambda k.\;iter \;(z, z) \; (\lambda (n, n').\; (succ\;n, n))\;k\\ pred & = & \lambda k.\;snd(pred'\;k) \end{array}$$

$\mathbb{N} \simeq \mathbb{N} \times \mathbb{N}$