การวิเคราะห์ที่ซับซ้อนทางวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี

24

มีการประยุกต์ใช้การวิเคราะห์ที่แท้จริงในด้านวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีครอบคลุมการทดสอบคุณสมบัติความซับซ้อนในการสื่อสารการเรียนรู้ PAC และการวิจัยอื่น ๆ อีกมากมาย อย่างไรก็ตามฉันไม่สามารถนึกถึงผลลัพธ์ใด ๆ ใน TCS ที่ต้องอาศัยการวิเคราะห์ที่ซับซ้อน (นอกการคำนวณควอนตัมซึ่งตัวเลขที่ซับซ้อนอยู่ภายในตัวแบบ) ใครบ้างมีตัวอย่างของผลลัพธ์ TCS แบบคลาสสิคที่ใช้การวิเคราะห์ที่ซับซ้อน

soft-question big-picture

1

เป็นคำถามที่ดีมาก! ฉันอยากจะแนะนำให้ดีกว่าที่จะไม่รวมผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีจำนวน - เช่นการใช้สมมติฐาน Riemann ใด ๆ - มากกว่าการคำนวณควอนตัมซึ่งมีแนวโน้มที่จะเกี่ยวกับระบบไฟไนต์ - มิติ (เท่าที่ฉันรู้)

— โคลิน McQuillan

11

เราใช้การวิเคราะห์ที่ซับซ้อนในกระดาษ“การ Grothendieck คงเป็นอย่างเคร่งครัดมีขนาดเล็กกว่า Krivine ผูกพัน” ซึ่ง (จากมุมมอง TCS) ช่วยให้ขั้นตอนวิธีการประมาณสำหรับปัญหาของการเพิ่มอาจมีการ\} ดูttic.uchicago.edu/~yury/papers/grothendieck-krivine.pdf

\sum_{i, j} a_{i j} x_{i} y_{j}

$\sum_{i,j} a_{ij} x_i y_j$

x_{i}, y_{j} \in {\pm 1}

$x_i, y_j\in \{\pm 1\}$

— Yury

3

@Yury ที่อาจเป็นคำตอบที่ดีมาก

— Suresh Venkat

14

อัลกอริธึมที่ซับซ้อนของ Barvinok สำหรับการประมาณอัลกอริธึมเวลาแบบพหุนามถาวรกับค่าประมาณค่าความคงทนและการจำแนกแบบผสมภายในปัจจัยแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล

นอกจากนี้เห็นได้ชัดว่าผู้ประกอบการที่ซับซ้อน (และการวิเคราะห์ที่ซับซ้อน) มีความสำคัญในการคำนวณควอนตัม

ฉันขอแนะนำหนังสือเล่มนี้ด้วย: หัวข้อในการวิเคราะห์การแสดงของ Eitan Bachmat พร้อมประเด็นที่เกี่ยวข้องมากมายและสิ่งอื่น ๆ ที่ยอดเยี่ยม

— Gil Kalai
แหล่งที่มา

นี่เป็นตัวอย่างที่ดีฉันไม่ทราบผลลัพธ์นี้ - ขอบคุณ!

25

มันไม่ใช่ปัญหาเพียงอย่างเดียว แต่เขตข้อมูลทั้งหมดของcombinatorics เชิงวิเคราะห์ (ดูหนังสือโดย Flajolet และ Sedgewick ) สำรวจวิธีการวิเคราะห์ความซับซ้อนเชิงcombinatorialของโครงสร้างการ~~นับ~~ (หรือแม้แต่อัลกอริทึมที่ใช้เวลา) โดยการเขียนฟังก์ชันสร้างที่เหมาะสมและวิเคราะห์โครงสร้าง ของการแก้ปัญหาที่ซับซ้อน

— Suresh Venkat
แหล่งที่มา

สวัสดี Suresh คุณหมายถึงอะไรโดย 'วิเคราะห์ความซับซ้อน'

— Andy Drucker

2

อ่าฉันเขียนผิด ฉันหมายถึง "วิเคราะห์ความซับซ้อนเชิงโครงสร้างของ combinatorial" - จะแก้ไข

— Suresh Venkat

15

Jon Kelner ได้รับรางวัล STOC Best Student Paper Award ในปี 2004 สำหรับกระดาษของเขา"การแบ่งสเปกตรัมการวัดค่าเฉพาะและการบรรจุวงกลมสำหรับกราฟของประเภทที่มีขอบเขต"

ฉันจะพูดจากนามธรรม:

ในฐานะศัพท์ทางเทคนิคหลักของเราเราได้พิสูจน์ O (g / n) บนค่าลักษณะเฉพาะที่เล็กที่สุดเป็นอันดับสองของ Laplacian ของกราฟดังกล่าวและแสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้แน่น ในขณะที่บทแทรกนี้เป็นสิ่งสำคัญในธรรมชาติ combinatorial หลักฐานมาจากคณิตศาสตร์อย่างต่อเนื่องการวาดภาพบนทฤษฎีของการแพ็ควงกลมและเรขาคณิตของพื้นผิว Riemann ขนาดกะทัดรัด

การใช้การวิเคราะห์ที่ซับซ้อน (และคณิตศาสตร์อื่น ๆ "ต่อเนื่อง") เพื่อโจมตีปัญหาตัวแยกกราฟ "ดั้งเดิม" เป็นที่น่าจดจำและเป็นเหตุผลหลักที่กระดาษนี้ติดอยู่ในหัวของฉันแม้ว่ามันจะไม่เกี่ยวข้องกับการวิจัยของฉันก็ตาม

— Mugizi Rwebangira
แหล่งที่มา

8

ฉันเดาว่าคุณอาจสนใจการวิเคราะห์เชิงซ้อนที่ใช้โดยตรงในการพิสูจน์ อย่างไรก็ตามนี่คือตัวอย่างสองตัวอย่างจากคลาส Algorithms ระดับบัณฑิตศึกษาที่ฉันกำลังเรียนอยู่:

a) การแปลงฟูริเยร์อย่างรวดเร็วตัวอย่างเช่นใช้ในการคูณพหุนาม แม้ว่าการดำเนินการสามารถทำได้ด้วยโมดูโลเลขคณิตหรือจุดลอยตัว (และการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์บางอย่าง) การพิสูจน์เป็นที่เข้าใจกันดีที่สุดในแง่ของตัวเลขที่ซับซ้อนและรากของความสามัคคี ฉันไม่ได้เจาะลึกเรื่องนี้ แต่ฉันทราบว่า FFT มีแอปพลิเคชันมากมาย

b) โดยทั่วไปการจัดเตรียมโมเดล RAM ด้วยความสามารถในการจัดการตัวเลขที่ซับซ้อนในเวลาคงที่ (ส่วนจริงและจินตภาพยังมีความแม่นยำแน่นอน) ช่วยให้หนึ่งเข้ารหัสอย่างชาญฉลาดปัญหาและใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติของตัวเลขที่ซับซ้อนที่อาจเปิดเผยวิธีแก้ปัญหา รวมถึงความคิดเห็นว่าทำไมสิ่งนี้ถึงไม่ยอมให้คุณเร็วขึ้น)

— chazisop
แหล่งที่มา

คุณมีตัวอย่างของการสังเกตการณ์ครั้งที่สองหรือไม่? การเพิ่มคลาส "ซับซ้อน O (log n) - bit integer" ใน RAM มาตรฐานพร้อมการดำเนินการแบบคงที่ หรือโดย "เร็วขึ้น" คุณหมายถึง "เร็วขึ้นเป็น 2 เท่า" หรือไม่?

— Jeff

นี่เป็นแบบฝึกหัดจากการบรรยาย: "สมมติว่าคุณกำลังจัดการกับแรมแบบขยายที่สามารถคำนวณด้วยจำนวนเชิงซ้อนที่ราคาต่อหน่วยการคูณการหารการบวกและการลบนอกจากนี้มันยังสามารถคำนวณค่าสัมบูรณ์ | c | ของ จำนวนเชิงซ้อน c ในหน่วยเวลายิ่งไปกว่านั้นมัน "รู้" ค่าคงที่เชิงซ้อน 0, 1 และ i แสดงว่าได้รับจำนวนเต็มบวก n บน RAM ที่ขยายเพิ่มจำนวน n! สามารถคำนวณได้ใน

เวลา การแก้ปัญหาใช้การคูณพหุนามจากสิ่งที่ฉันรู้ว่ามันเร็วกว่าแบบจำลองแรมมาตรฐาน

O (\sqrt{n} \log^{2} n)

$O( \sqrt{n} \log ^{2} n)$

— chazisop

6

อัลกอริธึมที่เสนอนั้นต้องการการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่มีความแม่นยำแบบไม่ จำกัด เวลาคงที่ (คุณไม่สามารถคำนวณ

จำนวนเต็มบิตในเวลา

โดยใช้เครื่องที่มี

คำบิตเนื่องจากคุณไม่มีเวลาเขียนผลลัพธ์!) คำถามกำลังขอให้คุณเพิ่มสแควร์รูทเข้ากับโมเดล RAM จริงไม่ใช่ตัวเลขที่ซับซ้อนต่อหนึ่งรายการ

Ω (n \log n)

$\Omega(n\log n)$

o (n)

$o(n)$

O (\log n)

$O(\log n)$

— Jeffε

ขอบคุณสำหรับความคิดเห็นมันสว่างมาก ฉันคิดว่าฉันควรอัปเดตคำตอบของฉันในส่วนของการเข้ารหัสปัญหาอย่างชาญฉลาดด้วยตัวเลขที่ซับซ้อนเท่านั้นเช่นดูวิธีแก้ปัญหาที่คุณจะพลาดเป็นอย่างอื่น

— chazisop

6

บางทีแอปพลิเคชั่นนี้ค่อนข้างอยู่ระหว่าง TCS และ Disc math แต่ฉันแปลกใจเล็กน้อยเมื่อฉันอ่านกระดาษ "ในฟังก์ชั่นบูลีนที่โค้งซึ่งสมมาตร" โดย Petr Savicky (http://www2.cs.cas.cz/~savicky/ เอกสาร / symmetric.ps) ทฤษฎีบทเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันบูลีนเท่านั้นอย่างไรก็ตามหนึ่งในบทพิสูจน์ใช้ตัวเลขที่ซับซ้อน

— ค้นหาแมกนัส
แหล่งที่มา

5

เราใช้ของ Cauchy ตกค้างทฤษฎีบทจากการวิเคราะห์ที่ซับซ้อนเป็นเครื่องมือทางเทคนิคที่สำคัญในกระดาษของเรา " ใกล้เคียงกับแนวตรง Predicates เกณฑ์ "

— MCH
แหล่งที่มา

5

ทฤษฎีบทการบรรจุวงกลม Koebe-Andreev-Thurston มีต้นกำเนิดในทฤษฎีบทการทำแผนที่ Riemann และมีแง่มุมอัลกอริทึมต่างๆ สำหรับการสอบมันเป็นการพิสูจน์ทฤษฎีบทเซพเพอร์ของ Lipton-Tarjan สำหรับกราฟระนาบ

— Gil Kalai
แหล่งที่มา

5

สดจากเตาอบ:

อัลกอริทึมเวลาพหุนามสำหรับการกู้คืนประชากรที่สูญเสีย โดย: Ankur Moitra, Michael Saks

การอ้างอิงจากกระดาษ: "ที่นี่เราจะพิสูจน์หลักการความไม่แน่นอนที่ระบุไว้ในส่วนก่อนหน้าโดยใช้เครื่องมือจากการวิเคราะห์ที่ซับซ้อนบางทีหนึ่งในทฤษฎีบทที่มีประโยชน์ที่สุดในการทำความเข้าใจอัตราการเจริญเติบโตของฟังก์ชัน holomorphic ในระนาบเชิงซ้อนคือทฤษฎีบทสามวงกลมของ Hadamard .."

— Gil Kalai
แหล่งที่มา

ผมขออธิบายอย่างรวดเร็วเกี่ยวกับวิธีใช้ทฤษฎีสามวงกลมในบทความนี้ เพื่อลดปริมาณ

ที่เป็นไปตามข้อ จำกัด เชิงเส้นบางประการพวกเขาดูที่สองของ LP นี้ ดูตัวแปรคู่เป็นค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามนี้จะกลายเทียบเท่ากับการเพิ่ม

มากกว่าทุกระดับ

polys

ความพึงพอใจ

ที่

เป็น

ประกอบกับการเปลี่ยนแปลงที่เลียนแบบและ

σ

$\sigma$

p (0) - ϵ ‖ p ‖_{1}

$p(0) - \epsilon \|p\|_1$

n

$n$

p

$p$

‖ q ‖_{1} \leq 1

$\|q\|_1 \leq 1$

q

$q$

p

$p$

‖ \cdot ‖_{1}

$\|\cdot\|_1$ หมายถึงผลรวมของค่า abs ของสัมประสิทธิ์

— arnab

(Contd.) ตอนนี้สังเกตที่สวยงามเป็นที่

ที่

เป็นแผ่นดิสก์หน่วยในระนาบที่ซับซ้อนของรัศมี 1. ถ้าเราใช้การผ่อนคลายนี้ปัญหาเดือดลงไป การเพิ่ม

ให้

ถูกล้อมรอบด้วย

บนดิสก์ขนาดเล็กภายใน

‖ p ‖_{1} \geq ‖ p ‖_{s u p}^{D_{1}}

$\|p\|_1 \geq \|p\|_{sup}^{D_1}$

D_{1}

$D_1$

p (0) - ‖ p ‖_{s u p}^{D_{1}}

$p(0) - \|p\|_{sup}^{D_1}$

p

$p$

1

$1$

D_{1}

$D_1$ . การแปลงพิกัดเราพบว่าตัวเองอยู่ในการตั้งค่าของทฤษฎีบทสามวงกลม: ฟังก์ชัน holomorphic นั้นถูก จำกัด อยู่ที่จุดในสองศูนย์กลางวงกลมโดยล้อมรอบฟังก์ชันในวงกลมใด ๆ ที่มีรัศมีกลาง

— arnab

‖ p ‖_{s u p}^{D_{1}} \geq | p (0) |^{Ω (1)}

$\|p\|_{sup}^{D_1} \geq |p(0)|^{\Omega(1)}$

p

$p$

1

$1$

D_{1}

$D_1$

5

$\ell_p$ $0 < p < 2$

Daniel M. Kane, Jelani Nelson, David P. Woodruff เกี่ยวกับความซับซ้อนของพื้นที่ที่แน่นอนของการร่างและการสตรีมมิ่งบรรทัดฐานขนาดเล็ก SODA 2010

คุณสามารถหลีกเลี่ยงการเขียนหลักฐานที่ไม่ได้กล่าวถึงการวิเคราะห์ที่ซับซ้อนได้อย่างชัดเจน (ดูหัวข้อย่อยแรกในส่วน "บันทึกย่อ" สำหรับกระดาษนั้นบนหน้าเว็บของฉัน) แต่แม้หลักฐานนั้นมีการวิเคราะห์ที่ซับซ้อนซ่อนอยู่ใต้ฝาปิด

— เจลานีเนลสัน
แหล่งที่มา

4

มีการใช้ตัวเลขที่ซับซ้อนและการวิเคราะห์ในรายงานล่าสุดโดย Naor, Regev และ Vidick ซึ่งให้ผลลัพธ์ในอัลกอริทึมการประมาณสำหรับปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพ NP-hard: http://arxiv.org/abs/1210.7656

— ผ่อนผัน C.
แหล่งที่มา

อีกกระดาษหนึ่งที่ใช้ประโยชน์จากรากของความสามัคคีคือ Daniel M. Kane, Kurt Mehlhorn, Thomas Sauerwald และ He Sun การนับกราฟย่อยโดยพลการใน Data Streams ICALP 2012

— Jelani Nelson

3

$n + O(n/\sqrt{k})$ $k$ $n \times n$ $n!/n^n$ โดย Laurent และ Schrijver ใน MAA รายเดือน) การปล่อยให้เส้นแบ่งที่แท้จริงสำหรับระนาบเชิงซ้อนนั้นเป็นสิ่งจำเป็นต่อการพิสูจน์ของ Gurvits และทำให้เรื่องต่าง ๆ ง่ายขึ้นมาก

— Sasho Nikolov
แหล่งที่มา

0

$z \leftarrow z^2 + c$

[1] การเข้าไม่ถึงและความไม่แน่นอนในการคำนวณเรขาคณิตและระบบพลวัตอา ซากิไซโตะ Kunihiko Kaneko

[2] ทฤษฎีการคำนวณและความซับซ้อนเหนือจำนวนจริง Lenore Blum, 1990

— vzn
แหล่งที่มา

0

$\mathbb{C}$

— Reb.Cabin
แหล่งที่มา