สิ่งที่ทราบเกี่ยวกับความซับซ้อนในการค้นหาวงจรขั้นต่ำสำหรับ SAT?

สิ่งที่เป็นที่รู้จักกันเกี่ยวกับความซับซ้อนของวงจรการหาน้อยที่สุดที่คำนวณ SAT ถึงความยาว ? $n$

อีกอย่างเป็นทางการ: ความซับซ้อนของฟังก์ชั่นคืออะไรซึ่งให้เป็นอินพุตเอาต์พุตวงจรน้อยที่สุดCเช่นนั้นสำหรับสูตรใด ๆφด้วย| φ | ≤ n , C ( φ ) = S A T ( φ ) ?$1^{n}$$C$$\varphi$$|\varphi| \leq n$$C(\varphi) = SAT(\varphi)$

(ฉันสนใจเฉพาะในขอบเขตที่ต่ำกว่า)

อัลกอริธึมที่ไร้เดียงสาไร้เดียงสา (คำนวณ SAT ด้วยเดรัจฉานให้มีความยาวสูงสุดจากนั้นลองใช้วงจรทั้งหมดตามขนาดจนกระทั่งคุณพบหนึ่งที่คำนวณ SAT ได้อย่างถูกต้องจนถึงความยาวn ) ใช้เวลา≤ 2 O ( n )ในการคำนวณ SAT จากนั้น เวลาO ( 2 n 2 M ) เพิ่มเติมเพื่อหาวงจรขนาดเล็กที่สุดโดยที่Mคือขนาดของวงจรขนาดเล็กที่สุด $n$$n$$\leq 2^{O(n)}$$O(2^n 2^M)$$M$

มีอัลกอริธึมที่กำหนดขึ้นซึ่งจะหาวงจรที่น้อยที่สุดสำหรับ SAT ที่เวลาทำงานคือหรือไม่ซึ่งMคือขนาดของวงจรที่เล็กที่สุด? หรือนี่บ่งบอกถึงความซับซ้อนบางอย่างที่ล้มเหลว$o(2^n 2^M)$$M$

ต่อไปนี้เป็นสองสิ่งที่เกี่ยวข้องกับคำถามของฉันไม่ใช่สิ่งที่ฉันต้องการอย่างแน่นอน(ซึ่งก็คือฉันคิดว่าเพราะเหตุใดฉันจึงพบว่ามันยากในการค้นหา)

• ปัญหาวงจรลด: ให้วงจร (หรือฟังก์ชั่นฉกำหนดโดยตารางความจริงหรือสายพันธุ์อื่น ๆ หลาย ๆ คน) พบว่ามีวงจรน้อยที่สุดC 'คำนวณฟังก์ชั่นเดียวกับC แม้ว่าการย่อขนาดวงจรเป็นเรื่องง่ายมันก็ไม่จำเป็นต้องหมายความว่างานดังกล่าวเป็นเรื่องง่ายเนื่องจากแม้แต่การคำนวณฟังก์ชั่นที่เราต้องการลด (เชื่อได้ถึง SAT ยาวถึงn ) เชื่อว่าเป็นเรื่องยากในขณะที่ปัญหาการลดขนาดวงจร ต้องการย่อขนาดฟรี (ให้เป็นอินพุต)$C$$f$$C'$$C$$n$

• เมื่อเทียบกับ P / P o L Y คำถามของฉันไม่เพียงเกี่ยวกับขนาดของวงจรที่เล็กที่สุดเท่านั้น มันเกี่ยวกับความซับซ้อนของการหาวงจรที่เล็กที่สุดโดยไม่คำนึงถึงขนาดของมัน เห็นได้ชัดว่าถ้าเราสามารถคำนวณวงจรน้อยที่สุดในเวลาพหุนามแล้ว N P ⊆ P / p o l y (และในความเป็นจริง N P ⊆ Pตั้งแต่นั้นมาวงจรครอบครัวเป็น P- uniform) แต่การสนทนาไม่จำเป็นต้องเป็นจริง แน่นอนฉันเชื่อว่าImmerman และ Mahaneyเป็นคนแรกที่สร้าง oracle ที่$NP$$P/poly$$NP \subseteq P/poly$$NP \subseteq P$$P$แต่ P ≠ N P - นั่นคือ N Pมีวงจรขนาดพหุนาม แต่ไม่สามารถพบได้ในเวลาพหุนาม$NP \subseteq P/poly$$P \neq NP$$NP$

สมมติว่าเราไม่สามารถแก้ SAT ได้เร็วกว่ากันมาก นั่นคือมี TM M แก้ SAT ในเวลา T (n) และวงจรที่เล็กที่สุดสำหรับ SAT มีขนาด T '(n) ที่ไม่เล็กกว่า T (n) มาก (พูด, - โดยเฉพาะสิ่งนี้จะเก็บไว้ถ้าวงจรที่เล็กที่สุดสำหรับการแก้ SAT มีขนาด2 Ω ( n )ซึ่งอาจเป็นจริงได้มาก)$T(n) = poly(T'(n))$$2^{\Omega(n)}$

ดังนั้นคุณจะได้วงจรน้อยที่สุด "เกือบ" เพียงแค่เรียกใช้การจำลองแบบบัญญัติของ M โดยวงจรในเวลาที่เหมาะสมที่สุดโดยทั่วไป (เวลามากเท่าที่คุณจะเขียนผลลัพธ์) ด้วยเหตุผลนี้ฉันเดาว่าจะไม่มีขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับคำถามนี้ตามสมมติฐาน "ดี" ใด ๆ อย่างไรก็ตามฉันไม่ทราบวิธีการเปลี่ยนจาก "เกือบเล็กน้อย" เป็นน้อยที่สุดจริง ๆ วิธีหนึ่งในการทำเช่นนั้นคือการใช้ความจริงที่ว่าการหาวงจรที่มีขนาดใหญ่เป็นคำถามในลำดับชั้นพหุนาม$S$$T(T(n))$$2^{o(M)}$ )$T(n)=2^{n^{o(1)}}$