คำจำกัดความที่ถูกต้องของ

ตามที่ชื่อกล่าวไว้คำจำกัดความที่ถูกต้องของ -tree คืออะไร? มีเอกสารหลายอย่างที่พูดคุยเกี่ยวกับการเป็นk -trees และบางส่วนk -trees เป็นคำนิยามทางเลือกสำหรับกราฟกับ treewidth จำกัด และฉันได้เห็นหลายคำจำกัดความที่ไม่ถูกต้องดูเหมือน ตัวอย่างเช่นอย่างน้อยหนึ่งที่กำหนดk -trees ดังนี้:$k$$k$$k$$k$

กราฟถูกเรียกว่า -tree ถ้าหากGเป็นกราฟสมบูรณ์ที่มีจุดยอดkหรือGมีจุดยอดv ที่มีองศาk - 1เช่นนั้นG ∖ vคือk -tree k -tree บางส่วนเป็นกราฟย่อยใด ๆ ของk -tree$k$$G$$k$$G$$v$$k − 1$$G \setminus v$$k$$k$$k$

ตามคำจำกัดความนี้สามารถสร้างกราฟต่อไปนี้:

1. เริ่มด้วย edge , 2 -tree$(v_1, v_2)$$2$
2. สำหรับสร้างจุดสุดยอดวีฉันและทำให้มันอยู่ติดกับวีฉัน- 1และวีฉัน- 2$i=1\ldots n$$v_i$$v_{i-1}$$v_{i-2}$

การทำเช่นนี้จะสร้างแถบสี่เหลี่ยมมีเส้นทแยงมุม ในทำนองเดียวกันเราสามารถเริ่มต้นสร้างวงดนตรีจากตารางแรกในทิศทางตั้งฉากกับแถบด้านบน จากนั้นเราจะมีแถวแรกและคอลัมน์แรกของn × nตาราง การเติมในกริดนั้นทำได้ง่าย ๆ โดยการสร้างจุดยอดและเชื่อมต่อพวกมันกับจุดยอดทางด้านบนและด้านซ้าย$n$$n \times n$

ผลลัพธ์ที่ได้คือกราฟที่มีตารางซึ่งผลเป็นที่รู้จักกันของ treewidth n$n\times n$$n$

นิยามที่ถูกต้องของ -trees จะต้องมีดังต่อไปนี้:$k$

กราฟถูกเรียกว่า -tree ถ้าหากGเป็นกราฟสมบูรณ์ที่มีจุดยอดkหรือGมีจุดยอดv ที่มีองศาk - 1เช่นนั้นเพื่อนบ้านของvเป็นk -clique และG vเป็นk -tree$k$$G$$k$$G$$v$$k-1$$v$$k$$G \ v$$k$

จากนั้นกราฟที่มีลักษณะคล้ายกริดที่อธิบายไว้ข้างต้นไม่สามารถสร้างได้

ฉันถูกไหม?

โดยทั่วไปฉันเห็นด้วยกับคุณโดยมีการดัดแปลงเพียงเล็กน้อย:

กราฟ$G$คือ$k$ -tree ถ้าหาก$G$เป็นกราฟสมบูรณ์ที่มีจุดยอด$k+1$หรือ$G$มีจุดยอด$v$เช่นนั้น (เปิด) ย่านของ$v$เป็น$k$ -clique และ$G - v$คือ$k$ -tree

$v$$k$$k-1$

ฉันชอบนิยามจากล่างขึ้นบน แต่โดยส่วนตัวแล้วนี่เป็นเพียงเรื่องของรสนิยม:

• $k+1$$k$
• $k$$G$$n+1$$n\ge k+1$$k$$H$$n$$k$$k$$H$
• $k$

คำนิยามนี้เป็นรุ่นที่แก้ไขเล็กน้อยของความหมายจากPinar Heggernes' เอกสารประกอบการบรรยาย