Sparse Walsh-Hadamard Transform

วอลช์-Hadamard แปลง (WHT)เป็นลักษณะทั่วไปของฟูเรียร์และเป็นมุมฉากเปลี่ยนแปลงในเวกเตอร์ของตัวเลขจริงหรือซับซ้อนของมิติเมตร การแปลงรูปได้รับความนิยมในการคำนวณควอนตัม แต่ได้มีการศึกษาเมื่อไม่นานมานี้ว่าเป็นสิ่งที่จำเป็นสำหรับการคาดคะเนของเวกเตอร์มิติสูงเพื่อใช้ในการพิสูจน์ Johnson-Lindenstrauss Lemma คุณสมบัติหลักของมันคือแม้ว่ามันจะเป็นเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสd × dแต่มันสามารถนำไปใช้กับเวกเตอร์ในเวลาO ( d log d ) (แทนที่จะเป็น$d = 2^m$$d\times d$$O(d \log d)$ ) โดยวิธีการแบบ FFT$d^2$

สมมติว่าเวกเตอร์ใส่เป็นป่าโปร่ง : มันมีเพียงไม่กี่รายการภัณฑ์ (พูด ) มีวิธีใดที่จะคำนวณ WHT ในเวลาf ( r , d )เช่นนั้นf ( d , d ) = O ( d log d )และ f ( r , d ) = o ( d log d )สำหรับr = o ( d ) ?$r \ll d$$f(r,d)$$f(d,d) = O(d \log d)$$f(r,d) = o(d \log d)$$r = o(d)$

หมายเหตุ: ความต้องการเหล่านี้เป็นเพียงวิธีหนึ่งในการมอบความคิดที่ว่าฉันต้องการอะไรบางอย่างที่วิ่งเร็วกว่าสำหรับขนาดเล็กและR$d \log d$$r$

ดัชนีแถว WHT โดยจำนวนเต็ม x สำหรับ d ดังนั้น x จึงมีล็อก d บิต ในทำนองเดียวกันดัชนีคอลัมน์ ตำแหน่ง (x, y) คือ( - 1 ) ⟨ x , y ⟩โดยที่เลขชี้กำลังเป็นผลคูณดอทของบันทึกความยาว d สมมติว่า r เป็นกำลังของ 2 โดยปัดเศษขึ้นหากจำเป็น แบ่งเมทริกซ์ dxr ออกเป็นบล็อก rxr โดยให้บิตล็อก r แรกแตกต่างกันและแก้ไขบิตล็อกอื่น ๆ (d / r) บิตในแต่ละวิธี d / r บล็อก rxr นี้เป็นเมทริกซ์ WHT ที่เล็กกว่าของขนาด r ยกเว้นบางคอลัมน์อาจหายไปทำซ้ำหรือลบล้าง ไม่ว่าในกรณีใด preprocess เวกเตอร์ได้อย่างง่ายดายจากนั้นทำ rxr WHT ในเวลา r log r จากนั้นทำซ้ำ d / r ครั้งรวมเวลา d log r$0 \le x \lt d$$(-1)^{\langle x,y \rangle}$

ตัวอย่าง:

d = 4

WHT H คืออะไร

++++
+-+-
++--
+--+

ชุดของคอลัมน์โดยพลการคือ 00 และ 10 (ซ้ายสุดและสองคอลัมน์ถัดไป):

++
++
+-
+-

บล็อคแถวนั้น

++
++

และ

--
--

$(a,b)^T$$(a+b,0)^T$

++
+-

$(a,b)^T$$(-a-b,0)^T$

++
+-