วิธีการตัดขอบ Djoint มีกี่วิธี

คำถามต่อไปนี้เกี่ยวข้องกับการเพิ่มประสิทธิภาพของอัลกอริทึมการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกเส้นทางที่สั้นที่สุดของ Bellman-Ford s - t (ดูโพสต์นี้สำหรับการเชื่อมต่อ) นอกจากนี้ยังมีคำตอบในเชิงบวกจะบ่งบอกว่าขนาดที่น้อยที่สุดของเสียงเดียวโปรแกรมแขนง nondeterministicสำหรับ STCONNปัญหาΘ ( n 3 ) $s$$t$$\Theta(n^3)$

ให้Gเป็น DAG (กำกับวัฏจักรกราฟ) กับแหล่งโหนดหนึ่งsและเป้าหมายหนึ่งโหนดที k - ตัดเป็นชุดของขอบที่มีการกำจัดทำลายทั้งหมดs - เสื้อเส้นทางของความยาว≥ k ; เราคิดว่ามีเส้นทางดังกล่าวในG โปรดทราบว่าสั้นs - เสื้อเส้นทางต้องไม่ถูกทำลาย$G$$s$$t$$k$$s$$t$$\geq k$$G$$s$$t$

คำถาม: Does Gต้องมีอย่างน้อย (ประมาณ) kเคล็ดk -cuts? $G$$k$ $k$

หากไม่มีs - เสื้อเส้นทางที่สั้นกว่าkคำตอบคือใช่เพราะเรามีที่รู้จักกันจริงนาทีสูงสุดต่อไปนี้ (กคู่เพื่อ ทฤษฎีบทของ Menger ) ประกอบกับ Robacker * s - เสื้อตัดเป็นk -cut สำหรับk = 1 (ทำลายทั้งหมดs - เสื้อเส้นทาง)$s$$t$$k$^$\ast$$s$$t$$k$$k=1$ $s$$t$

ความจริง: ในกราฟใด ๆสูงสุดจำนวนขอบเคลื่อนs - เสื้อตัดเท่ากับต่ำสุดความยาวของs - เสื้อเส้นทาง $s$$t$$s$$t$

โปรดทราบว่าสิ่งนี้ถือแม้ว่ากราฟจะไม่ได้เป็นวงจร

ข้อพิสูจน์: อย่างน้อยที่สุดค่าต่ำสุดคืออย่างน้อยที่สุดเนื่องจากแต่ละ เส้นทางของ s - tตัดแต่ละs - t ที่ตัดขอบ หากต้องการดูความเท่าเทียมกันให้d ( U )มีความยาวของเส้นทางที่สั้นที่สุดจากsไปยู ให้ u r = { u : d ( u ) = r } , สำหรับr = 1 , … , d ( t )และปล่อยให้E $s$$t$$s$$t$$d(u)$$s$$u$$U_r=\{u\colon d(u)=r\}$$r = 1,\ldots, d(t)$$E_r$เป็นชุดของขอบออกจากU R เป็นที่ชัดเจนว่าเซตE rไม่ปะติดปะต่อเนื่องจากชุดU rนั้นเป็นเช่นนั้น ดังนั้นจึงยังคงแสดงให้เห็นว่าแต่ละE Rเป็นs - เสื้อตัด ในการแสดงนี้ให้ใช้โดยพลs - เสื้อเส้นทางP = ( U 1 , U 2 , ... , ยูเอ็ม ) กับยู1 = sและยูเมตร = T ตั้งแต่$U_r$$E_r$$U_r$$E_r$$s$$t$$s$$t$$p=(u_1, u_2, \ldots,u_m)$$u_1=s$$u_m=t$( u i + 1 ) ≤ d ( u i ) + 1 , ลำดับของระยะทาง d ( u 1 ) , … , d ( u m )ต้องถึงค่า d ( u m ) = d ( t )โดยเริ่มต้นที่ d ( u 1 ) = d ( s ) = 0และเพิ่มค่าสูงสุดไม่เกิน$d(u_{i+1})\leq d(u_i)+1$$d(u_1),\ldots,d(u_m)$$d(u_m)=d(t)$$d(u_1)=d(s)=0$$1$ในแต่ละขั้นตอน หากค่าบางค่าd ( u i )ลดลงเราจะต้องเข้าถึงค่าd ( u i )หลัง ดังนั้นจะต้องมีjที่การกระโดดจากd ( u j ) = rถึงd ( u j + 1 ) = r + 1เกิดขึ้นหมายถึงขอบ( u j , u j + 1 ) เป็นของE rตามที่ ต้องการ QED $d(u_i)$$d(u_i)$$j$$d(u_j)=r$$d(u_{j+1})=r+1$$(u_j,u_{j+1})$$E_r$

แต่ถ้ามีเส้นทางที่สั้นกว่า ( k ) ด้วยล่ะ คำใบ้ / การอ้างอิงใด ๆ $k$

---

∗ JT Robacker, ทฤษฎีบท Min-Max บนเครือข่ายที่สั้นที่สุดและการตัดยอดจากเครือข่าย, บันทึกข้อตกลงการวิจัย RM-1660, The RAND Corporation, ซานตาโมนิกา, แคลิฟอร์เนีย, [12 มกราคม - มิถุนายน] 2499 $^{\ast}$

---

แก้ไข (หนึ่งวันต่อมา): ผ่านการโต้แย้งสั้น ๆ และดีมาก David Eppstein ตอบคำถามต้นฉบับด้านบนเป็นลบ : การทำ DAG T n ( ทัวร์นาเมนต์สกรรมกริยา ) ไม่สามารถมีk -cuts ได้มากกว่าสี่แบบ! ในความเป็นจริงเขาพิสูจน์ข้อเท็จจริงเชิงโครงสร้างที่น่าสนใจต่อไปนี้สำหรับkเกี่ยวกับ$T_n$$k$$k$n . ตัดเป็นบริสุทธิ์ถ้ามีไม่มีขอบเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นsหรือเสื้อ$\sqrt{n}$$s$$t$

ทุกคนบริสุทธิ์k -cut ในT nมีเส้นทางของความยาวk $k$$T_n$$k$

โดยเฉพาะอย่างยิ่งนี่หมายความว่าทุกๆk -cuts ที่บริสุทธิ์ต้องตัดกัน! แต่บางทีก็ยังมีตัวเลือกkบริสุทธิ์มากมายที่ไม่ทับซ้อน "มากเกินไป" ดังนั้นคำถามที่ผ่อนคลาย (ผลที่ตามมาสำหรับ STCONN จะเหมือนกัน ):$k$$k$

คำถามที่ 2: ถ้าk -cut บริสุทธิ์ทุกอันมีขอบ≥ Mกราฟจะต้องมีขอบประมาณΩ ( k ⋅ M )หรือไม่? $k$$\geq M$$\Omega(k\cdot M)$

การเชื่อมต่อกับความซับซ้อนของ STCONN นั้นมาจากผลลัพธ์ของErdősและ Gallai ที่มีการลบทั้งหมดยกเว้น( k - 1 ) m / 2ขอบจาก (undirected) K mเพื่อทำลายเส้นทางที่มีความยาวkทั้งหมด $(k-1)m/2$$K_m$$k$

---

แก้ไข 2:ตอนนี้ผมถามคำถามที่ 2 ที่mathoverflow

คำตอบสั้น ๆ : ไม่

ให้Gเป็น DAG ที่สมบูรณ์ (ทัวร์นาเมนต์สกรรมกริยา) บนnจุดยอดที่มีsและtต้นกำเนิดและจมและให้k = $G$$n$$s$$t$n / 3 สังเกตว่าอาจมีที่มากที่สุดสี่ตัดเคลื่อนที่มีมากขึ้นถ้ำn/3เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นขอบsหรือมากกว่าn/3ขอบเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นที ดังนั้นถ้ามีจะต้องมีการปรับลดเคล็ดจำนวนมากเราสามารถสรุปได้ว่ามีการตัดCที่ไม่ได้มีจำนวนมากของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นขอบsและเสื้อ$k=\sqrt{n/3}$$n/3$$s$$n/3$$t$$C$$s$$t$

ตอนนี้ให้Xเป็น subgraph สมบูรณ์เหนี่ยวนำให้เกิดในGโดยชุดของจุดxดังกล่าวที่ขอบs xและx ทีไม่ได้เป็นC จำนวนจุดในXอย่างน้อยn / 3เพราะมิฉะนั้นCจะแตะขอบเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นมากเกินไปที่จะsหรือเสื้อ อย่างไรก็ตามX ∖ Cไม่สามารถมีk -path ได้เพราะหากมีเส้นทางดังกล่าวอยู่ก็สามารถต่อกับsและtเพื่อสร้างเส้นทางที่ยาวใน$X$$G$$x$$sx$$xt$$C$$X$$n/3$$C$$s$$t$$X\setminus C$$k$$s$$t$∖ C ดังนั้นเลเยอร์ทางยาวที่สุดของ X ∖ Cจึงน้อยกว่า kเลเยอร์และมีเลเยอร์ที่มีมากกว่า ( n / 3 ) / k = kจุดยอด ตั้งแต่นี้เป็นชั้นของเส้นทางที่ฝังรากลึกที่ยาวที่สุดก็มีความเป็นอิสระใน X ∖ Cและดังนั้นจึงแล้วเสร็จใน Cดังนั้น Cมีเส้นทาง Pผ่านจุดของชั้นนี้ที่มีความยาวk เส้นทางนี้ต้องแยกจากการตัดอื่น ๆ ทั้งหมด$G\setminus C$$X\setminus C$$k$$(n/3)/k=k$$X\setminus C$$C$$C$$P$$k$

ทุกการตัดที่ไม่ได้เป็นCจะต้องมีทั้งขอบจากsไปยังจุดเริ่มต้นของเส้นทางPหรือขอบจากจุดสิ้นสุดของเส้นทางPไปทีหรืออื่น ๆ มันจะไม่ปิดกั้นเส้นทางs - P - T ดังนั้นหากมีCอยู่อาจมีการตัดไม่เกินสามรายการ และถ้าCไม่มีอยู่ (นั่นคือถ้าการตัดทั้งหมดครอบคลุมมากกว่าn / 3ขอบเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นกับsหรือt ) อาจมีการตัดได้ไม่เกินสี่รายการ ทั้งสองวิธีนี้น้อยกว่าการตัดkมาก$C$$s$$P$$P$$t$$s$$P$$t$$C$$C$$n/3$$s$$t$$k$