ความแข็งของตัวคั่นจุดสุดยอด

สำหรับกราฟระบุปัญหาตัวแยกจะถามว่ามีจุดสุดยอดหรือชุดขอบของ cardinality ขนาดเล็ก (หรือน้ำหนัก) ที่มีพาร์ติชันการเอาGออกเป็นสองกราฟที่แยกจากกันโดยมีขนาดเท่ากันโดยประมาณ สิ่งนี้เรียกว่าปัญหาตัวคั่นจุดสุดยอดเมื่อชุดที่ลบออกเป็นชุดจุดสุดยอดและปัญหาตัวคั่นขอบเมื่อเป็นชุดขอบ ปัญหาทั้งสองนี้เป็นปัญหาที่ทำให้ NP เสร็จสมบูรณ์สำหรับกราฟทั่วไปที่ไม่มีน้ำหนัก ความแข็งที่รู้จักกันดีที่สุดของตัวคั่นจุดสุดยอดที่ใกล้เคียงที่สุดคืออะไร? PTAS ถูกตัดออกหรือไม่ ความแข็งที่รู้จักกันดีที่สุดคืออะไรในการตั้งค่ากำกับ?$G$$G$

การแก้ไข : ลิงก์และคำตอบต่อไปนี้ไม่ได้ช่วยฉันเพราะฉันระบุคำถามไม่ถูกต้อง คำถามของฉันเกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทต่อไปนี้ของ Leighton-Rao:

ทฤษฎีบท : มีอัลกอริธึมเวลาพหุนามที่มีกราฟและเซตW ⊆ Vพบ$G(V,E)$$W \subseteq V$ตัวคั่นจุดยอด 3จุดS⊆VของWในGของขนาดO(w.logn)โดยที่wคือขนาดต่ำสุดของ$\frac{2}{3}$$S \subseteq V$$W$$G$$O(w.{\log}n)$$w$คั่น -vertex ของWในG$\frac{1}{2}$$W$$G$

ได้รับกราฟและชุดW ⊆ Vผมต้องการที่จะหาδ -vertex คั่น (ที่$G(V,E)$$W \subseteq V$$\delta$เป็นค่าคงที่) ขนาดกว้างที่กว้างเป็นขนาดต่ำสุดของ$\frac{1}{2} \leq \delta \leq 1$$w$$w$คั่น -vertex ของWในG ความแข็งที่รู้จักกันดีที่สุดของปัญหานี้คืออะไร? ทฤษฎีบทข้างต้นให้การประมาณO(บันทึกn)สำหรับปัญหานี้$\frac{1}{2}$$W$$G$$O({\log}n)$

โปรดทราบว่าฉันอนุญาตให้มีการระเบิดปัจจัยคงที่ในขนาดของส่วนประกอบที่เป็นผลลัพธ์หลังจากลบตัวคั่น แต่ฉันต้องการลดขนาดของตัวแยกเอง ลิงก์ที่กล่าวถึงในความคิดเห็นชี้ไปที่ตัวคั่น b-vertex ขั้นต่ำซึ่งเรายืนยันว่าขนาดของส่วนประกอบที่เป็นผลลัพธ์นั้นมากที่สุด 2$|V|/2$

ในการตั้งค่าขอบปัญหาที่คุณอ้างถึงคือปัญหาการแบ่งส่วนและขนาดของขอบต่ำสุดดังกล่าวเรียกว่าความกว้างของการแบ่งส่วน ตันมีการวิจัยเกี่ยวกับปัญหานี้เป็นและที่ดีที่สุดประมาณที่รู้จักกันสำหรับปัญหาคือโดย Racke$O(\log n)$

การทบทวนผลงานที่เป็นที่รู้จักในปัญหานี้ (ซึ่งเชื่อมต่อกับการตัดแบบกระจาย, การกระจายตัวชี้วัดและแม้แต่การคาดเดาเกมที่ไม่ซ้ำกัน) อยู่ในรายงานฉบับล่าสุดเกี่ยวกับความกว้างของการแบ่งโดย Krauthgamer

$O(\sqrt{\log n})$$O(\log n)$ของเลห์ตันและราว; พวกเขาทำสิ่งนี้เพื่อกรณีขอบ Agrawal-Charikar-Makarychev-Makarychev ใช้ผลลัพธ์เพื่อให้ได้ขอบเขตที่คล้ายกันสำหรับการตัดแบบกระจาย (ถ้ามีใครสนใจตัดจุดยอด bipartition) Feige-Hajiaghayi-Lee ในเวลาเดียวกันได้รับขอบเขตที่คล้ายกันอีกครั้งผ่าน ARV สำหรับตัวคั่นจุดสุดยอด (และยังชี้ให้เห็นว่าความกังวลอาจจะประมาณภายในปัจจัยเดียวกัน) หนึ่งควรทราบว่ามีความคิดของการตัด sparsest ในกราฟกำกับที่ Chuzhoy-Khanna แสดงให้เห็นความแข็งผลในกรณีที่ไม่สม่ำเสมอ แต่ฉันไม่แน่ใจเกี่ยวกับกรณีที่เครื่องแบบ ฉันคิดว่าผลการทดสอบความแข็งแบบซุปเปอร์คงที่นั้นเป็นที่รู้กันดีว่ามีการตัดบางส่วนแบบสม่ำเสมอภายใต้ UGC แต่ฉันไม่แน่ใจ