พัฒนาการของเครื่องแบบที่ดีขึ้น?

16

ช่องว่างหนึ่งที่ฉันรู้อยู่เสมอว่าฉันไม่เข้าใจจริง ๆ คือระหว่างความซับซ้อนของการคำนวณที่ไม่สม่ำเสมอและสม่ำเสมอที่ความซับซ้อนของวงจรแสดงถึงรุ่นที่ไม่สม่ำเสมอและเครื่องทัวริงเป็นสิ่งที่เหมือนกัน ฉันคิดว่า "เครื่องแบบ" เป็นวิธีที่จะควบคุมคลาสของอัลกอริทึมเช่นไม่อนุญาตให้วงจรที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิงสำหรับปัญหาที่มีตัวแปร n เมื่อเทียบกับปัญหาของตัวแปร n + 1

คำถามของฉันคือ: 1) มันมีคำอธิบายของความสม่ำเสมอในแง่ของวงจรและ 2) มันเป็นไปได้ที่จะมาพร้อมกับรูปแบบที่แข็งแกร่งยิ่งขึ้นของความสม่ำเสมอและทำให้ความคิดที่ จำกัด ยิ่งขึ้นของอัลกอริทึม P คืออะไร?

การชี้แจงปลาย: ความตั้งใจของฉันในคำถาม 2 นั้นเกี่ยวกับคลาสที่ จำกัด ของอัลกอริทึมที่ "จริง" มีอำนาจเช่นเดียวกับคลาสของอัลกอริทึมพหุนาม

cc.complexity-theory circuit-complexity

— Gil Kalai
แหล่งที่มา

คุณสามารถอธิบายอย่างละเอียดเกี่ยวกับความหมายของ "พลังมีอำนาจเท่ากัน" ได้หรือไม่?

— MS Dousti

ฉันหมายความว่าอัลกอริธึมทั้งหมดใน P ที่เราพบจริงอยู่ในคลาสที่ จำกัด (สมมุติ) นี้ ดังนั้นฉันไม่ได้หมายถึงคลาสที่เป็นที่รู้จัก (หรือคาดเดา) เพื่อละเว้นอัลกอริธึมชนิดพหุนามเฉพาะเช่น AC_0 หรือ NC ^ i ไม่ใช่สิ่งที่ฉันอ้างถึง

— Gil Kalai

2

สำหรับคำถามที่ 2 คลาสของฟังก์ชันที่คำนวณได้โดยวงจรขนาดเท่าของ LOGSPACE ที่มีขนาดพหุนามคือ P (และคุณจะยังได้ค่า P แม้จะมีคลาสที่ซับซ้อนน้อยกว่า LOGSPACE หากคุณกำหนดความสม่ำเสมออย่างเหมาะสม) ดังนั้นการกำหนดเงื่อนไขความสม่ำเสมอที่เข้มงวด โดยทั่วไปลดกำลังของอัลกอริธึมเวลาพหุนาม

— Peter Shor

8

ฉันคิดว่าคำตอบสำหรับคำถามแรกของคุณคือลบ: วงจรมีจำนวนอินพุตที่แน่นอนดังนั้น IMO เราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับ "ครอบครัว" ของวงจรแทนที่จะเป็นวงจรเดียว

เกี่ยวกับคำถามที่สองของคุณคุณอาจสังเกตเห็นว่ามี "ตระกูลชุดวงจร" ซึ่งคำอธิบายถูกสร้างขึ้นโดยเครื่องทัวริง นั่นคือให้เป็นวงจรตระกูลที่เหมือนกันและให้เป็นเครื่องทัวริง แล้วสำหรับแต่ละ , ที่หมายถึงรายละเอียดของ n $\{C_n\}$ $M$ $n$ $[C_n] = M(1^n)$ $[C_n]$ $C_n$

มีคลาสความซับซ้อนหลายระดับด้านล่าง P ซึ่งกำหนดโดยตระกูลชุดวงจร ตัวอย่างเช่น:

$\mathbf{NC}^i$ เป็นชั้นของปัญหาการตัดสินใจ decidable โดยเครื่องแบบวงจรบูลที่มีจำนวนพหุนามของประตูและความลึก ) $O(\log^i n)$

— MS Dousti
แหล่งที่มา

7

การเพิ่มคำตอบของ Sadeq ข้างต้นเมื่อมีคนดูที่คลาสของวงจรที่มีอยู่ใน P คน ๆ นั้นอาจต้องการดูพัฒนาการของความเท่าเทียมที่มากขึ้นเรื่อย ๆ

แนวคิดที่ง่ายและเป็นที่รู้จักมากที่สุดคือ P-uniformity ซึ่งเป็นข้อกำหนดที่มีทัวริงจักร M ที่สร้างวงจรในเวลาโพลี (n) (Suresh พูดถึงเรื่องนี้ด้วย) ความสม่ำเสมอยิ่งขึ้นของรุ่น จำกัด พยายาม จำกัด พลังของ M เพิ่มเติม ตัวอย่างเช่นนอกจากนี้ยังมี Logspace-uniformity ซึ่งตอนนี้ M จำเป็นต้องเรียกใช้ใน space O (log (n)) $C_n$

แนวคิดที่เข้มงวดที่สุดที่ฉันรู้คือ DLOGTIME-uniformity ซึ่งใช้สำหรับคลาสวงจรขนาดเล็ก ที่นี่เครื่อง (ตอนนี้เข้าถึงแบบสุ่ม) M เท่านั้นมีเวลา O (บันทึก n) และด้วยเหตุนี้จึงไม่สามารถเขียนคำอธิบายของวงจรทั้งหมดได้ เงื่อนไขที่กำหนดคือให้ i และ n, M สามารถเขียน ith บิตของคำอธิบายของวงจรในเวลา O (log n)

สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมให้ดูกระดาษต่อไปนี้: David A. Mix Barrington, Neil Immerman, Howard Straubing: On Uniformity ภายในNC¹ เจคอมพิวเตอร์ Syst วิทย์ 41 (3): 274-306 (1990)

— Srikanth
แหล่งที่มา

1

เชื่อมโยงไปยังกระดาษ: dx.doi.org/10.1016/0022-0000(90)90022-D

— Suresh Venkat

ถ้า M กำลังเขียนบิตที่ i ของคำอธิบายของวงจรใน O (log n) นั่นไม่ได้หมายความว่าถ้าวงจรมีขนาด O (n) ก็เท่ากับว่าอนุญาตให้เครื่องสร้าง วงจรทั้งหมดใน O (n log n)?

— M. Alaggan

1

ดูเหมือนจะไม่เท่ากัน สิ่งที่คุณแสดงให้เห็นคือแนวคิดด้านบน (Barrington et. al.) ข้างต้นนั้นมีความแข็งแกร่งสม่ำเสมออย่างน้อยที่สุดเท่าที่ความคิดเกี่ยวกับความเท่าเทียมที่คุณเสนอ การสนทนาไม่ชัดเจน โดยเฉพาะมันไม่ชัดเจนสำหรับฉันหากสิ่งต่อไปนี้เป็นจริง: กำหนดตระกูลของวงจรขนาด

ที่สามารถสร้างขึ้นโดย TM ในเวลา

, มากับ TM ที่ให้

และ

สร้างบิตที่

ของ

ในเวลา

O (n)

$O(n)$

O (n \log n)

$O(n\log n)$

i

$i$

n

$n$

i

$i$

C_{n}

$C_n$

)

อันที่จริงฉันไม่คิดว่ามันเป็นเรื่องจริง

O (\log n)

$O(\log n)$

— Srikanth

ผมเห็นเป็นตัวอย่างที่เคาน์เตอร์จะเป็น TM ที่ให้

และ

, สร้าง

บิตในลำดับ

ยกเว้นสำหรับบิตสุดท้ายซึ่งจะใช้เวลา

)

ขอบคุณสำหรับคำใบ้ :)

i

$i$

n

$n$

i

$i$

O (1)

$O(1)$

O (n \log n)

$O(n \log n)$

— M. Alaggan

ประเด็นก็คือไม่ใช่ว่าตระกูล X-uniform ของวงจรจะให้ตระกูลเดียวกันสำหรับ X ที่แตกต่างกัน แต่ฟังก์ชั่นที่สามารถคำนวณได้โดย X-uniform ตระกูลของวงจรจะเหมือนกันสำหรับ X ที่แตกต่างกัน

— Peter Shor

6

วิธีหนึ่งที่จะวงจร "รวมกัน" และการคำนวณเครื่องแบบคือการต้องมีความซับซ้อน จำกัด ขั้นตอนที่ใช้เวลาและผลคำแนะนำวงจร nในกรณีของ P ฉันเชื่อว่าการต้องใช้ตัวสร้างพหุนามที่สามารถทำข้างบนจะจับ P ได้อย่างถูกต้อง $n$ $C_n$

— Suresh Venkat
แหล่งที่มา

ตัวสร้าง LOGSPACE สำหรับวงจรจะทำงานได้ดีในการดักจับ P.

— Peter Shor

5

มีคำอธิบายของความสม่ำเสมอในแง่ของวงจรหรือไม่?

ถ้าโดย "ในแง่ของวงจร" คุณหมายถึงวงจรที่ไม่ใช่แบบออนฟอร์มคำตอบนั้นเป็นลบ หากคำอธิบายของวงจรไม่สม่ำเสมอมันจะอนุญาตให้ใช้ฟังก์ชันที่ไม่คำนวณเพื่อกำหนดวงจรซึ่งจะสามารถคำนวณฟังก์ชันที่ไม่คำนวณได้ เราสามารถสร้างวงจรขนาดคำนวณโดยที่ $1$ $f(|x|)$ $f$ เป็นฟังก์ชันที่คำนวณได้โดยวิธีการใดก็ตามที่เราใช้เพื่ออธิบายวงจร

ในทางกลับกันถ้าเราได้รับอนุญาตให้ จำกัด วงจรที่เหมือนกันเพื่อกำหนดวงจรแล้วคำตอบนั้นเป็นบวกอย่างเห็นได้ชัด และเราสามารถใช้ (ซึ่งเท่ากับและสม่ำเสมอ ) เพื่อกำหนดความสม่ำเสมอ เป็นแนวคิดที่ใกล้เคียงกับวงจรมาก $FO$ $DLogTime$ $AC^0$ $FO$

สำหรับฉันแล้วประเด็นหลักที่นี่คือเราต้องการแบบจำลองการคำนวณแบบสม่ำเสมอเพื่อกำหนดความสม่ำเสมอของวงจรถ้าคำอธิบายของวงจรได้รับจากวิธีการที่ไม่เหมือนกันวงจรอาจเป็นแบบไม่สม่ำเสมอ

— Kaveh
แหล่งที่มา

1

O (1)

$O(1)$

A l t T i m e (O (1), O (\lg n))

$AltTime(O(1),O(\lg n))$

4

1) มีคำอธิบายของความสม่ำเสมอในแง่ของวงจรหรือไม่?

[นี่เป็นคำตอบที่ฉันแก้ไขในคำถามเดียวกันกับที่คุณถามในบล็อกของ Dick Lipton Caveat: ฉันไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญ]

ใช่ (ฉันคิดว่า) อย่างน้อยสองชนิด:

a) วงจรสามารถสร้างขึ้นได้โดยเครื่องทัวริงในเวลาพหุนามในขนาดอินพุตของปัญหา (ดังที่กล่าวไว้ในการตอบกลับอื่น ๆ ) (ฉันคิดว่านี่เป็นนิยามมาตรฐานของแนวคิด)

สิ่งนี้ครอบคลุมตระกูลวงจรใด ๆ ที่เราต้องการเรียกให้เหมือนกัน แต่ตามนิยามของ P-time มันเพิ่งลดนิยามของตระกูลวงจรเป็นคำจำกัดความของเครื่องจักรทัวริงซึ่งอาจไม่ใช่สิ่งที่คุณต้องการ

b) หากมีหุ่นยนต์เซลลูล่าร์ 1 มิติซึ่งวิวัฒนาการอินพุตปัญหาไปยังวิธีการแก้ปัญหา (สำหรับปัญหาการตัดสินใจโซลูชั่นจะเป็นบิตเดียวในเซลล์ที่ระบุเทียบกับเซลล์ที่มีอินพุตซึ่งเป็นสถานะที่มั่นคง ของ CA) ในเวลาพหุนามในขนาดอินพุตจากนั้นสิ่งนี้จะสอดคล้องกับวงจรซึ่งเป็นระยะใน 2D ในวิธีที่ง่าย (หน่วยซ้ำหนึ่งต่อเซลล์ต่อหน่วยเวลา) และมีเพียงรัฐในพื้นที่ขนาดใหญ่กำลังสองกำลังสอง เพื่อแก้ปัญหาเวลา

นี่เป็นชุดวงจรชนิดพิเศษมาก แต่เพียงพอที่จะแก้ปัญหาทั้งหมดใน P เนื่องจากเครื่องทัวริงสามารถเข้ารหัสได้อย่างง่ายดายในรูปแบบ 1D CA (สิ่งนี้ดูเหมือนจะเป็นไปตามคำจำกัดความของความสม่ำเสมอของ DLOGTIME ที่กล่าวถึงในคำตอบก่อนหน้า)

(นี่คล้ายกับการเข้ารหัสของเครื่องจักรทัวริงตามที่กล่าวไว้ในคำตอบของ Gowers ในบล็อกของ Lipton - อันที่จริงหนึ่งในนั้นอาจเหมือนกัน)

วิธีหนึ่งในการเข้ารหัสเครื่องทัวริงในรูปแบบ 1D CA: ในแต่ละเซลล์เราเป็นตัวแทนของสถานะเทป ณ จุดหนึ่งสถานะหัวจักรทัวริงจะมีหากอยู่ที่นี่ตอนนี้ (ซึ่งค่าไม่สำคัญว่าจะไม่อยู่ที่นี่) และหนึ่งบิตบอกว่าหัวอยู่ที่นี่ตอนนี้ เห็นได้ชัดว่าแต่ละรัฐในเวลาดังกล่าวขึ้นอยู่กับสถานะของพื้นที่ใกล้เคียงในเวลา t-1 ซึ่งเป็นสิ่งที่เราต้องการสำหรับการทำงานเป็น CA