กลยุทธ์การชนะของเกมการลบ“ ขอบหรือจุดสุดยอดที่แยกได้”

เกมข้อมูลที่สมบูรณ์แบบนี้เล่นบนกราฟที่รู้ / ศึกษาหรือไม่?

รับกราฟ $G= (V,E)$ ผู้เล่นสองคนสลับการเลือกขอบหรือโหนดแยก หากผู้เล่นเลือก edge $e = (u,v)$ ทั้งสองโหนด $u$ และ $v$ จะถูกลบพร้อมกับขอบของเหตุการณ์ หากผู้เล่นเลือกโหนดที่แยกได้โหนดจะถูกลบ ผู้เล่นคนแรกไม่สามารถย้ายแพ้เกม

ความซับซ้อนในการค้นหาผู้ชนะคืออะไร?

มีการอ้างอิงถึงเกมที่คล้ายคลึงกันหรือไม่

reference-request combinatorial-game-theory

— Marzio De Biasi
แหล่งที่มา

ฉันถือว่าโหนดแยกถูกลบหากเลือก? ถ้าเป็นเช่นนั้นผู้เล่น 0 ชนะในทุกเส้นทางที่ไม่ว่างโดยการใช้การย้ายครั้งแรกแบ่งปัญหาออกเป็นสองส่วนเท่ากัน สิ่งนี้บอกเป็นนัยว่าผู้เล่น 1 ชนะในวงรอบตั้งแต่การเดินครั้งแรกจะช่วยลดปัญหาไปสู่เส้นทาง

— Yonatan N

@YonatanN: ใช่สามารถเลือกโหนดที่แยกได้ (และลบออก); แต่กลยุทธ์สมมาตรทำงานบนเส้นทางที่มีความยาวเท่ากัน (ผู้เล่น 0 เลือก 2 โหนดกลางเป็นท่าแรกจากนั้นสะท้อนการเคลื่อนไหวของผู้เล่น 1) แต่ไม่ใช่บนเส้นทางที่มีความยาวคี่: พยายามใช้กลยุทธ์กับเส้นทางที่มีความยาว 11 และมันใช้งานไม่ได้ (สำหรับเส้นทางที่มีความยาว 11 ผู้ชนะคือผู้เล่น 1)

— Marzio De Biasi

@Marzio De Biasi: ฉันขอโทษ แต่เมื่อฉันเล่นเกมที่ดีฉันมักจะเล่นด้วยมือ เว้นแต่ว่าฉันทำผิดพลาดผู้เล่น 0 มีกลยุทธ์ในการชนะ: สังเกตว่า: ก) สำหรับ P1, P2, P5 และ P8, ผู้เล่น 0 ชนะเสมอ b) สำหรับ P3 และ P7 ผู้เล่น 1 ชนะเสมอ c) สำหรับ P4 และ P6 ผู้เล่น 0 สามารถตัดสินใจที่จะชนะหรือแพ้ ในกรณีของ P11: - หมายเลขโหนดของ P11 ด้วย v1, v2, ... v11 - ผู้เล่น 0 ใช้ขอบ v9, v10 และส่วนที่เหลือเป็นโหนดแยก v11 และ P8 หากผู้เล่น 1 ใช้เวลา v11 ผู้เล่น 0 จะชนะเพราะเขามีเส้นทางที่สม่ำเสมอ มิฉะนั้นผู้เล่น 0 จะชนะโดย a), b) และ c)

— user13136

ตามโปรแกรมของฉันค่าของn≤100ที่ผู้เล่นคนแรกแพ้ในเกมบนเส้นทางที่มีจุดยอด n คือ 3, 7, 23, 27, 37, 41, 57, 61, 71, 75, 91 และ 95. น่าเสียดายที่ฉันไม่เห็นรูปแบบอื่นใดนอกจากเป็นเลขคี่ (ซึ่งเป็นที่รู้จักกันแล้ว) และOEISจะไม่แสดงผลการแข่งขันใด ๆ

— Tsuyoshi Ito

@TsuyoshiIto: ... รับความแตกต่างเป็นคู่: (3 7) (23 27) (37 41) (57 41) (71 75) (91 95) และคุณได้ 4 4 4 4 4 4 ... ดูเหมือนว่า รูปแบบ :-) .... (3 ... 23) ... (37 ... 57) ... (71 ... 91) และคุณได้ 20 20 20 ... อีกอัน! :-D

— Marzio De Biasi

ฉันโพสต์การอัปเดตเป็นการตอบตนเองเท่านั้นเพื่อไม่ให้แตกต่างจากคำถาม ( ซึ่งยังคงเปิดอยู่ )

ดังที่แสดงในความคิดเห็น (ขอบคุณ Tsuyoshi Ito) ปัญหานี้แก้ไขได้สำหรับพหุนามเส้นทาง:

$Win(P_n) = 1$ $(n \bmod 34) \in \{3,7,23,27\}$

เริ่มต้นจาก 0 ลำดับ (คำนวณ) ของค่า nim เป็นระยะ:

0,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,1,5,3,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,2,6,
4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6,
4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6,
...
the subsequence rseq of length 34:
4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6
is repeated

ฉันไม่ได้ทำงานในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์อย่างเข้มงวด แต่ความคิดคือ:

สมมติว่าเราต้องการคำนวณองค์ประกอบจากนั้นการย้ายครั้งแรก (เลือกขอบ) สามารถแบ่งเส้นทางใน วิธีที่แตกต่าง (n-2,0), (n-3, 1) (n-4,2), ... ) ค่า nim ใหม่เท่ากับ: $Win(P_n), n = k*34 + x \; (k\geq 4, 0 \leq x < 34)$ $\lceil n / 2 \rceil$

$mex \{ P_{n-2}+P_0, P_{n-3}+P_1, ..., P_{\lceil n / 2 \rceil}+P_{n-\lceil n / 2 \rceil}\}$

องค์ประกอบ 34 ชุดแรกถูกสร้างขึ้นโดยลำดับการทำซ้ำไม่ใช่ครั้งแรก (0,1,1,0, ... ) (นิม) รวมกับองค์ประกอบของลำดับการทำซ้ำในลำดับย้อนกลับเริ่มต้นจากองค์ประกอบ34 $(34-2-x) \bmod 34$

ตัวอย่างเช่น: สำหรับ : $x = 0$

     0,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,1,5,3,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,2,6 +
     3,4,4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,7,5,4,4,3,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,6 =
mex{ 3,5,5,1,3,1,1,1,2,1,2,3,1,1,6,6,0,7,6,1,1,3,2,1,2,1,1,1,3,1,5,5,6,0 } = 4

สำหรับ x = 0..33 ลำดับ mex ที่ได้นั้นเท่ากับลำดับการทำซ้ำ:

4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6

องค์ประกอบที่เหลือของชุดจะถูกคำนวณเฉพาะในลำดับการทำซ้ำเท่านั้น: (สำหรับทั้งคู่ถูกทำซ้ำดังนั้น พวกเขาไม่เปลี่ยนผล mex) ลำดับ mex ที่เกิดขึ้นสำหรับ x = 0..33 คือ: $rseq[j \bmod 34] + rseq[(34-2-x-j) \bmod 34]$ $j \geq 34$

4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,4,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,4,

ซึ่งเท่ากับลำดับซ้ำยกเว้นและ ; แต่ค่าต่ำกว่า mex ที่สอดคล้องกันในลำดับที่ไม่ซ้ำดังนั้น: $x=16$ $x=33$

$mex \{ P_{n-2}+P_0, P_{n-3}+P_1, ..., P_{\lceil n / 2 \rceil}+P_{n-\lceil n / 2 \rceil}\}$ = $mex \{ P_{n-2}+P_0, P_{n-3}+P_1, ..., P_{n-2-33}+P_{33}\}$

และสำหรับ , $(k\geq 4, 0 \leq x < 34)$ $Win(P_{k*34 + x}) = Win(P_{34+x}) = Win(P_x)\;$

— Marzio De Biasi
แหล่งที่มา

จากการคำนวณของฉันผู้เล่นคนแรกมีกลยุทธ์ในการชนะสำหรับซึ่งเป็นตัวอย่างให้กับการเรียกร้องของคุณ iff\}

P_{23}

$P_{23}$

W i n (P_{n}) = 1

$Win(P_n)= 1$

(n \mod 34) \in {3, 7, 23, 27}

$(n \mod\, 34) \in \{3, 7, 23, 27\}$

— user13136

@ user13136: คุณตรวจสอบค่า nim หรือไม่ สำหรับค่า nim คือ 0 (ฉันได้รับค่า Tsuyoshi เดียวกันกับโปรแกรมอื่น แต่บางทีเราผิดทั้งคู่)

P_{23}

$P_{23}$

— Marzio De Biasi

ฉันคิดว่าข้อบกพร่องที่เป็นไปได้ในโปรแกรมของคุณอาจเป็นการละเลยซึ่งในกรณีนี้ผู้เล่นคนแรกจะแพ้เสมอ หากคุณต้องการเราสามารถเล่นเคสตอนนี้

P_{0}

$P_0$

P_{23}

$P_{23}$

— user13136

ขอโทษฉันต้องจากไปแล้ว

— user13136

(n_{17}, n_{18}) \to (n_{5}, n_{6}) \to (n_{11}, n_{12}) \to (n_{1}, n_{2})

$(n_{17}, n_{18}) \to (n_{5}, n_{6}) \to (n_{11}, n_{12}) \to (n_{1}, n_{2})$ (คุณสามารถลบความคิดเห็นก่อนหน้าที่มีการเคลื่อนไหว)

— Marzio De Biasi