ทฤษฎีบทของ Schaefer และ CSPs ที่มีความกว้างไม่ จำกัด

ทฤษฎีบทการแบ่งขั้วของ Schaefer แสดงให้เห็นว่าแต่ละปัญหา CSP ในช่วงนั้นสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามหรือ NP-complete สิ่งนี้ใช้สำหรับปัญหา CSP ที่มีความกว้างที่ จำกัด ยกเว้น SAT และ Horn-SAT เป็นต้น ปัญหา CSP ทั่วไปที่มีความกว้างไม่ จำกัด อาจเป็นเรื่องยากมาก (ถึงขนาดไม่แน่นอน) ดังนั้นเราจะ จำกัด ปัญหาของเราที่เป็น "ธรรมชาติ" และอยู่ใน NP$\{0,1\}$

ได้รับเป็นปัญหาของความกว้างของ CSP มากมายสำหรับแต่ละเราสามารถมองไปที่ข้อ จำกัด ของปัญหาเป็นไปตามเงื่อนไขของขึ้นกว้างk ทฤษฎีบทของ Schaefer ได้ถูกนำมาใช้ในขณะนี้และปัญหาที่ จำกัด นั้นเป็นแบบ P หรือ NP-complete หากบางkที่k -restricted ปัญหา NP-สมบูรณ์แล้วจึงเป็นปัญหาที่ไม่ จำกัด สถานการณ์มีความชัดเจนน้อยลงเมื่อสำหรับทุกkที่k -restricted ปัญหาอยู่ในพี$k$$k$$k$$k$$k$$k$

ทฤษฎีบทการแบ่งขั้วของ Schaefer ขึ้นอยู่กับอัลกอริธึมที่แตกต่างกันสี่แบบ (หรือมากกว่านั้น) ที่จะแก้ปัญหากรณีง่าย ๆ ทั้งหมด สมมติว่าสำหรับปัญหา CSP ที่กำหนดปัญหา -restricted นั้นจะสามารถแก้ไขได้โดยอัลกอริทึม A ซึ่งอาจเป็นกรณีที่อัลกอริทึม A สามารถใช้ในการแก้ปัญหาที่ไม่ จำกัด เช่นกัน หรืออาจเป็นได้ว่าอัลกอริทึม A ไม่ใช่เวลาพหุนามในกรณีที่ไม่ จำกัด และจากนั้นเราก็ไม่รู้ถึงความแข็งของปัญหา$k$

ปัญหาแบบนี้ได้รับการพิจารณาแล้วหรือยัง? มีตัวอย่างที่เราไปถึงจุด "ไม่รู้" หรือไม่?

ฉันอ้างว่าสำหรับ "natural Boolean CSP" หากรุ่นk-จำกัด เป็น P สำหรับทุก ๆkดังนั้นรุ่นที่ไม่ จำกัด จะอยู่ใน P ฉันจะกำหนด "natural Boolean CSP" ด้านล่าง

ทฤษฎีบทของ Schaeferกล่าวว่าบูลีน CSP ในเซตSของความสัมพันธ์ที่ จำกัด อยู่ใน P หากอย่างน้อยหนึ่งในเงื่อนไขต่อไปนี้เป็นที่น่าพอใจและมันเป็นปัญหาที่สมบูรณ์ถ้าไม่มีใครพอใจ:

1. ทุกความสัมพันธ์ในS (ยกเว้นค่าคงที่ 0) เป็นที่น่าพอใจโดยการกำหนด 1 ให้กับตัวแปรทั้งหมด
2. ทุกความสัมพันธ์ในS (ยกเว้นค่าคงที่ 0) เป็นที่น่าพอใจโดยกำหนด 0 ให้กับตัวแปรทั้งหมด
3. ทุกความสัมพันธ์ในSเทียบเท่ากับสูตร 2-CNF
4. ทุกความสัมพันธ์ในSเทียบเท่ากับสูตร Horn-clause
5. ความสัมพันธ์ทุกตัวในSเทียบเท่ากับสูตรคู่ - ฮอร์น - ประโยค ("สูตร dual-Horn-clause" หมายถึงสูตร CNF โดยที่แต่ละส่วนประโยคมีตัวอักษรบวกได้มากที่สุดหนึ่งตัว)
6. ทุกความสัมพันธ์ในSเทียบเท่ากับการรวมกันของคำสั่งเลียนแบบ

ทีนี้สมมติว่า P ≠ NP และพิจารณากรณีที่Sไม่มีที่สิ้นสุด ถ้าkรุ่น -restricted อยู่ใน P ทุกkแล้วโดยทฤษฎีบท Schaefer ของทุกเซต จำกัด ของSน่าพอใจอย่างน้อยหนึ่งในหกเงื่อนไขข้างต้นและที่นี้หมายถึงว่าทั้งชุดSน่าพอใจอย่างน้อยหนึ่งในเงื่อนไขหก นี่หมายความว่า CSP นี้ที่ไม่มีการ จำกัด arity หรือไม่นั้นอยู่ใน P ด้วยเช่นกัน ยัง.

เมื่อSไม่มีที่สิ้นสุดเราต้องระบุว่าแต่ละข้อในสูตรการป้อนจะได้รับอย่างไร เราคิดว่ามีบางทำแผนที่ surjective จาก {0,1} ^*เพื่อSซึ่งระบุการเข้ารหัสของความสัมพันธ์ในการที่S Boolean CSP ถูกระบุโดยให้ทั้งSและฟังก์ชันการเข้ารหัสนี้

โปรดทราบว่าในแต่ละกรณี 3, 4, 5 และ 6 ข้างต้นมีวิธีธรรมชาติในการเป็นตัวแทนของความสัมพันธ์ที่เป็นไปตามเงื่อนไข: สูตร 2-CNF ในกรณีที่ 3 สูตร Horn-clause ในกรณีที่ 4 เป็นต้น แม้ว่าความสัมพันธ์จะเทียบเท่ากับ (2) สูตร 2-CNF แต่ก็ไม่มีการรับประกันล่วงหน้าว่าการเข้ารหัสจะช่วยให้เข้าถึงสูตร 2-CNF ที่เทียบเท่าได้ง่าย

ตอนนี้เราบอกว่าบูลีน CSP เป็นธรรมชาติเมื่อฟังก์ชั่นการเข้ารหัสของมันเป็นไปตาม:

• ได้รับการเข้ารหัสของความสัมพันธ์และการกำหนดให้กับตัวแปรทั้งหมดไม่ว่าจะเป็นความสัมพันธ์ที่เป็นที่พอใจหรือไม่สามารถคำนวณได้ในเวลาพหุนาม (หมายเหตุ: สิ่งนี้ช่วยให้มั่นใจได้ว่า CSP ที่เป็นปัญหาจะเป็น NP เสมอ)
• ด้วยการเข้ารหัสของเงื่อนไขความสัมพันธ์ที่น่าพอใจ 3, 4, 5 หรือ 6 การแทนตามธรรมชาติของมันตามที่ระบุข้างต้นสามารถคำนวณได้ในเวลาพหุนาม

จากนั้นจึงง่ายที่จะเห็นว่าถ้าSตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งในหกข้อข้างต้นและการเข้ารหัสสำหรับSนั้นเป็นไปตามเงื่อนไข“ ความเป็นธรรมชาติ” นี้แล้วเราสามารถใช้อัลกอริธึมที่สอดคล้องกันได้ การเรียกร้องที่ฉันระบุไว้ในตอนต้นสามารถพิสูจน์ได้โดยพิจารณาทั้งกรณีของ P = NP และกรณีของ P ≠ NP