การใช้สีของจุดสุดยอดหรือไม่

เรารู้ว่าสีขอบของกราฟ $G$ มีสีจุดสุดยอดของกราฟพิเศษคือของเส้นกราฟ $L(G)$ ของG $G$

มีตัวดำเนินการกราฟ $\Phi$ เช่นนั้นจุดสีของกราฟ $G$ เป็น สีขอบของกราฟ $\Phi(G)$ ? ฉันสนใจในการเป็นผู้ประกอบการเช่นกราฟที่สามารถสร้างขึ้นในเวลาพหุนามคือรูปแบบของกราฟ $\Phi(G)$ สามารถหาได้จาก $G$ ในเวลาพหุนาม

หมายเหตุ : คำถามที่คล้ายกันสามารถถามสำหรับชุดที่มั่นคงและการจับคู่ ตรงกันในมีเสถียรภาพที่ตั้งอยู่ใน )มีตัวดำเนินการกราฟที่ชุดที่มีเสถียรภาพในเป็นการจับคู่ในหรือไม่ ตั้งแต่ STABLE ตลาดหลักทรัพย์เป็นสมบูรณ์และการจับคู่เป็นเช่นผู้ประกอบการกราฟ (ถ้ามี) ไม่สามารถถูกสร้างขึ้นในเวลาพหุนามสมมติ P $G$ $L(G)$ $\Psi$ $G$ $\Psi(G)$ $\mathsf{ NP}$ $\mathsf{P}$ $\Psi$ $\mathsf{NP}\not=\mathsf{P}$

แก้ไข: แรงบันดาลใจจากคำตอบของ @ usul และความคิดเห็นของ @ Okamoto และ @ King ฉันพบว่ารูปแบบที่อ่อนแอกว่าสำหรับปัญหาของฉัน: Vertex colorings ของกราฟเป็นสีขอบของไฮเปอร์กราฟกำหนดไว้ดังนี้ จุดสุดยอดชุดเป็นชุดที่ยอดเดียวกันของGสำหรับแต่ละจุดสุดยอดของ , ย่านปิดเป็นขอบของ hypergraph $G$ $\Phi(G)$ $\Phi(G)$ $G$ $v$ $G$ $N_G[v]= N_G(v) \cup\{v\}$ . จากนั้นเป็นกราฟเส้นของ hypergraphและดังนั้นจึงจุดสุดยอดสีของจะสีขอบของ ) $\Phi(G)$ $G$ $\Phi(G)$ $G$ $\Phi(G)$

อีกครั้งฉันรู้สึกขอบคุณสำหรับคำตอบและความคิดเห็นทั้งหมดที่แสดงให้เห็นว่าไม่ว่าจะมีหรือไม่สมมติว่าผู้ดำเนินการที่ฉันกำลังมองหาจะไม่มีอยู่จริง คงจะดีถ้าฉันยอมรับคำตอบทั้งหมด! $\mathsf{NP}\not=\mathsf{P}$

graph-theory graph-algorithms

— user13136
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับความคิดเห็นที่ดี (และความอดทน!) และคำตอบที่มีประโยชน์ ฉันต้องการเวลาอ่านคิดและอาจกลับมาพร้อมกับดวงตาที่สดใส

— user13136

ฉันเจอปัญหาที่น่าสนใจต่อไปนี้โดย Nishizeki และ Zhou ในปี 1998 ที่เกี่ยวข้องกับคำถามของคุณและความคิดเห็นที่สองของคุณต่อ @TsuyoshiIto: ปัญหาจุดสุดยอดการระบายสีเป็น "เพียง" ลดลงเป็นปัญหาการระบายสีขอบหรือไม่? (... ) เนื่องจากปัญหาทั้งสองนี้เป็นปัญหา NP-complete คุณสามารถลดปัญหาอื่น ๆ ได้อย่างน่าเชื่อถือผ่าน 3-SAT เนื่องจากทฤษฎีของ NP- สมบูรณ์ ดังนั้นปัญหาเปิดถาม ... (ดูที่นี่ )

— vb le

@vble: ขอบคุณ! ฉันยอมรับว่าฉันต้องการ "มากเกินไป" ตัวดำเนินการดังกล่าวจะแก้ไขปัญหาของ Nishizeki และ Zhou

— user13136

คำตอบ:

โดยการเปรียบเทียบกับกราฟเส้นฉันคิดว่าคุณกำลังถามสิ่งต่อไปนี้:

สำหรับกราฟที่ไม่ได้บอกทิศทางจะมีกราฟที่ไม่ได้บอกทิศทางซึ่งแต่ละจุดยอดสอดคล้องกับขอบและ ขอบที่สอดคล้องกับและจุดสิ้นสุดอย่างน้อยหนึ่งจุดถ้าหาก $G = (V,E)$ $G' = (V',E')$ $v \in V$ $(v_1,v_2) \in E'$ $u \in V$ $v \in V$ ? $(u,v) \in E$

คำตอบที่สามารถเห็นจะไม่มี พิจารณาต้นไม้สี่จุดสุดยอดกับรากมีลูกสาม Zในเราจะต้องมีสี่ขอบ: )ยิ่งกว่านั้นจะต้องเป็นกรณีที่ $G$ $v$ $x,y,z$ $G'$ $(v_1,v_2),(x_1,x_2),(y_1,y_2),(z_1,z_2)$ หรือเป็นจุดสิ้นสุดของแต่ละคนอื่นอีกสามขอบ (เช่น,ฯลฯ ) แต่นี่หมายความว่าอย่างน้อยสองในสามขอบอื่น ๆ จะต้องแบ่งปันจุดปลายทั่วไปซึ่งละเมิดข้อกำหนดของเราเนื่องจากไม่มีติดกันในกราฟดั้งเดิม $v_1$ $v_2$ $\left| \{v_1,v_2\} \cap \{x_1,x_2\} \right| \geq 1$ $x,y,z$

ฉันคิดว่ากราฟเดียวกันจะให้ตัวอย่างกับคุณสำหรับคำถามที่ตรงกันเช่นกัน

— usul
แหล่งที่มา

จุดดี! ที่จริงฉันมีความคิดเหมือนกัน แต่อาจจะมีวิธีสำหรับการกำหนดอีก

? หรือวิธีที่เราสามารถพิสูจน์ได้อย่างเป็นทางการว่าตัวดำเนินการ

ไม่มีอยู่จริง?

G^{'}

$G'$

Φ

$\Phi$

— user13136

@ user13136 อืมอาจมีวิธีที่สร้างสรรค์อยู่บ้าง แต่คุณจะต้องใช้ถ้อยคำใหม่อีกครั้งสำหรับคำถามของคุณ (ฉันคิดว่าตัวอย่างของฉันเป็นหลักฐานที่เป็นทางการสำหรับคำถามตามที่ระบุไว้ในกล่องที่ยกมา) โดยสังหรณ์ใจฉันคิดว่าปัญหาคือเมื่อไปตามทิศทางกราฟเส้นเราใช้ขอบ (ที่สามารถเชื่อมต่อกับจุดยอดสองจุดเท่านั้น) และเปลี่ยนให้เป็นจุดยอด (ซึ่งสามารถเชื่อมต่อกับจำนวนขอบใด ๆ ) - ง่าย . สิ่งที่ตรงกันข้ามนั้นตรงกันข้ามและยากกว่า

— usul

Just adding to usul's answer, the short answer is no, because matchings have structural properties not necessarily present in stable sets. For example, every line graph is also quasi-line and claw-free; this really limits the depth of edge colourings compared to vertex colourings.

— Andrew D. King

The question contains some ambiguity in what you mean by “vertex colorings of a graph G are edge colorings of a graph H,” but it is NP-hard to construct a graph whose edge chromatic number is equal to the (vertex) chromatic number of a given graph. Formally, the following relation problem is NP-hard.

แทนจำนวนรงค์เป็นขอบสีจำนวน
อินสแตนซ์ : กราฟG
วิธีการแก้ปัญหา : กราฟHดังกล่าวที่ขอบสีจำนวนχ '( H ) ของเอชเท่ากับχสีจำนวน ( G ) ของG

นี่เป็นเพราะทฤษฏีของ Vizingให้อัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพ (ไม่สำคัญ) ซึ่งใกล้เคียงกับจำนวนรงค์ของสีภายในข้อผิดพลาดการบวกของ 1 ในขณะที่จำนวนรงค์นั้นยากที่จะประเมินความรู้สึกต่างๆ ตัวอย่างเช่น Khanna, Linial และ Safra [KLS00] พบว่าปัญหาต่อไปนี้คือ NP-complete (และต่อมา Guruswami และ Khanna [GK04] ให้การพิสูจน์ที่ง่ายกว่ามาก):

3 colorable เมื่อเทียบกับที่ไม่ใช่-4-colorable
อินสแตนซ์ : กราฟG
ใช่สัญญา : Gเป็น 3 สี
ไม่มีสัญญา : Gไม่ได้ 4 สี

ผลลัพธ์นี้เพียงพอที่จะพิสูจน์ความแข็งของ NP ที่ฉันอ้างในตอนแรก หลักฐานจะถูกทิ้งไว้เป็นแบบฝึกหัด แต่นี่เป็นคำใบ้:

การออกกำลังกาย พิสูจน์ว่าปัญหาดังกล่าวข้างต้น“ แทนจำนวนรงค์เป็นหมายเลขรงค์ขอบ” คือ NP-hard ภายใต้การลดฟังก์ชันการทำงานแบบพหุนามเวลาโดยลด“ 3 สีเทียบกับไม่ใช่ 4 สี” ไป นั่นคือสร้างฟังก์ชันเวลาพหุนามสองฟังก์ชันf (ซึ่งแมปกราฟกับกราฟ) และg (ซึ่งแมปกราฟกับบิต) เช่นนั้น

If G is a 3-colorable graph and H is a graph such that χ(f(G))=χ’(H), then g(H)=1.

If G is a non-4-colorable graph and H is a graph such that χ(f(G))=χ’(H), then g(H)=0.

References

[GK04] Venkatesan Guruswami and Sanjeev Khanna. On the hardness of 4-coloring a 3-colorable graph. SIAM Journal on Discrete Mathematics, 18(1):30–40, 2004. DOI: 10.1137/S0895480100376794.

[KLS00] Sanjeev Khanna, Nathan Linial, and Shmuel Safra. On the hardness of approximating the chromatic number. Combinatorica, 20(3):393–415, March 2000. DOI: 10.1007/s004930070013.

— Tsuyoshi Ito
แหล่งที่มา

Thank you for reply! I am a little bit imprecise by formulating “vertex colorings of a graph

G

$G$ are edge colorings of a graph

H

$H$ ”. What I mean is an operator

Φ

$\Phi$ like the line graph operator

L

$L$ , but from vertex colourings to edge colourings. This is somehow more than

χ (G) = χ^{'} (H)

$\chi(G) = \chi'(H)$ .

— user13136

Since VERTEX COLOURING and EDGE COLOURING are both

N P

$\mathsf{NP}$ -complete, we can construct, by definition,

H

$H$ from

G

$G$ in polynomial time such that

χ (G) \leq k

$\chi(G) \le k$ iff

χ^{'} (H) \leq k^{'}

$\chi'(H) \le k'$ .But such a construction need not fulfill the property for an operator

Φ

$\Phi$ I am looking for. It only reduces vertex colourings to edge colourings.

— user13136

@user13136: If a weaker requirement is impossible to satisfy, the stronger requirement is obviously also impossible. This is logic. You should understand that your planar graph example is not a counterexample to this. Deciding the 3-colorability of a given planar graph is not a weaker requirement than deciding the 4-colorability of a given planar graph; they are just different requirements. On the other hand, I already showed that what you want is impossible unless P=NP, period. But if you have trouble understanding this, I do not think there is anything I can do to help you understand.

— Tsuyoshi Ito

If I understand the question correctly, such a map

Φ

$\Phi$ doesn't exist. We don't need to refer to NP-completeness. Just consider

G = K_{1, 3}

$G=K_{1,3}$ and suppose such

Φ (G)

$\Phi(G)$ exists. Since

G

$G$ is 2-colorable,

Φ (G)

$\Phi(G)$ should be 2-edge-colorable. This means the maximum degree of

Φ (G)

$\Phi(G)$ is at most two. Since

Φ (G)

$\Phi(G)$ has four edges, we can go through all candidates for

Φ (G)

$\Phi(G)$ (seven candidates up to isomorphism), and we will find that the family of edge colorings of

Φ (G)

$\Phi(G)$ and the family of vertex colorings of

G

$G$ are different. A contradiction.

— Yoshio Okamoto

@user13136: It occurred to me that you might have been confused because I wrote only a proof idea and I left out the actual proof. I revised the answer so that it would be clear that I left out the actual proof, and added some hints for proof. If this still does not work for you, then I will give up.

— Tsuyoshi Ito

(This is an addition to usul's answer and YoshioOkamoto's comment, rather than an answer.) It can be seen that your operation $\Phi$ exists only for those graphs $G$ for which there is a graph $G'$ with $G = L(G')$ , i.e. $G$ is a line graph (checkable in polytime). In this case, $\Phi$ is the "inverse line graph operator" $L^{-1}$ , i.e. $\Phi(G)=G'$ , and vertex colorings of $G$ are edge colorings of $\Phi(G)$ .

— In Theory
แหล่งที่มา