การแก้ปัญหาเชิงประพจน์เป็นระบบพิสูจน์ที่สมบูรณ์หรือไม่

คำถามนี้เกี่ยวกับตรรกะเชิงประพจน์และควรอ่าน "การแก้ไข" ที่เกิดขึ้นทั้งหมดว่า "การแก้ปัญหาเชิงประพจน์"

คำถามนี้เป็นสิ่งที่ธรรมดามาก แต่รบกวนฉันมาระยะหนึ่งแล้ว ฉันเห็นคนยืนยันว่าการแก้ปัญหาเชิงประพจน์เสร็จสมบูรณ์ แต่ฉันก็เห็นด้วยว่าผู้คนยืนยันว่าการลงมตินั้นไม่สมบูรณ์ ฉันเข้าใจความหมายของการแก้ปัญหาที่ไม่สมบูรณ์ ฉันเห็นด้วยเช่นกันว่าทำไมผู้คนถึงอ้างว่ามันสมบูรณ์ แต่คำว่า "สมบูรณ์" แตกต่างจากวิธีที่ "สมบูรณ์" เมื่อใช้อธิบายการหักตามธรรมชาติหรือแคลคูลัสตามลำดับ แม้แต่การคัดเลือก "การพิสูจน์เสร็จสมบูรณ์" ก็ไม่ได้ช่วยเพราะสูตรต้องอยู่ใน CNF และการแปลงสูตรเป็นสูตร CNF ที่เทียบเท่าหรือสูตร CNF ที่ไม่น่าพอใจผ่านการแปลง Tseitin ไม่ได้ถูกนำมาใช้ในระบบพิสูจน์

ความสมบูรณ์และความสมบูรณ์

ให้เราสมมติว่าการตั้งค่าของตรรกะเชิงประพจน์คลาสสิกกับความสัมพันธ์ระหว่างจักรวาลของโครงสร้างบางอย่างกับชุดของสูตรและแนวคิดเกี่ยวกับความจริง Tarskian คลาสสิกในโครงสร้าง เราเขียนถ้าเป็นจริงในโครงสร้างทั้งหมดได้รับการพิจารณา ฉันจะถือว่าระบบสำหรับการหาสูตรจากสูตร $\models$ $\models \varphi$ $\varphi$ $\vdash$

ระบบเป็นเสียงที่เกี่ยวกับถ้าเมื่อใดก็ตามที่เรามีเรายังมีไวระบบคือสมบูรณ์ด้วยความเคารพถ้าเมื่อใดก็ตามที่เรามีเรายังมีไว $\vdash$ $\models$ $\vdash \varphi$ $\models \varphi$ $\vdash$ $\models$ $\models \varphi$ $\vdash \varphi$

กฎการแก้ปัญหา

ตัวอักษรเป็นข้อเสนออะตอมหรือการปฏิเสธของมัน ประโยคเป็นความแตกต่างของตัวอักษร สูตรใน CNF คือการรวมกันของข้อ กฎการแก้ปัญหาอ้างว่า

กฎการแก้ปัญหาอ้างว่าหากการรวมกันของข้อกับข้อเป็นที่น่าพอใจข้อจะต้องเป็นที่น่าพอใจเช่นกัน $C \lor p$ $\neg p \lor D$ $C \lor D$

ฉันไม่แน่ใจว่ากฎการแก้ปัญหาเพียงอย่างเดียวสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นระบบพิสูจน์เพราะไม่มีกฎสำหรับการแนะนำสูตร ฉันคิดว่าอย่างน้อยเราจำเป็นต้องมีกฎการตั้งสมมติฐานที่อนุญาตให้มีการแนะนำข้อ

ความไม่สมบูรณ์ของความละเอียด

เป็นที่ทราบกันว่าความละเอียดเป็นระบบป้องกันเสียง ความหมายถ้าเราสามารถหาข้อจากสูตรโดยใช้ความละเอียดแล้ว $C$ $F$ . การแก้ไขยังเป็นการพิสูจน์ความหมายที่สมบูรณ์ถ้าเรามี $\models F \implies C$ จากนั้นเราสามารถหาจากโดยใช้ความละเอียด $\models F \implies \bot$ $\bot$ $F$

พิจารณาสูตร

และ Q $\varphi := p \land q$ $\psi := p \lor q$

ในระบบของ Gentzen LK หรือใช้การหักตามธรรมชาติฉันสามารถรับความหมายได้ทั้งหมดในระบบพิสูจน์ ฉันไม่สามารถได้รับความหมายนี้โดยใช้ความละเอียดเพราะถ้าฉันเริ่มต้นด้วยไม่มีตัวแก้ไขปัญหา $\varphi \implies \psi$ $\varphi$

ฉันเห็นว่าฉันสามารถพิสูจน์ความถูกต้องของนัยนี้โดยใช้การแก้ปัญหา:

พิจารณาสูตร $\neg (\varphi \implies \psi)$
เปลี่ยนสูตรด้านบนเป็น CNF โดยใช้กฎการกระจายมาตรฐานหรือใช้การแปลง Tseitin
การสืบทอดมาจากสูตรเปลี่ยนใช้ความละเอียด $\bot$

วิธีนี้ไม่น่าพอใจสำหรับฉันเพราะมันต้องให้ฉันทำตามขั้นตอน (1) และ (2) ซึ่งอยู่นอกระบบพิสูจน์ความละเอียด ดังนั้นจึงดูเหมือนว่ามีความรู้สึกที่ชัดเจนซึ่งการแก้ปัญหาไม่สมบูรณ์ตามที่เราบอกว่าการลดทอนธรรมชาติหรือแคลคูลัสตามลำดับนั้นสมบูรณ์

คำถาม

จากทั้งหมดที่กล่าวมาคำถามของฉันคือ:

ระบบการพิจารณาใดที่ถูกพิจารณาเมื่อพูดถึงการแก้ปัญหา? มันเป็นเพียงกฎการแก้ปัญหา? กฎอื่น ๆ มีอะไรบ้าง
ดูเหมือนชัดเจนมากสำหรับฉันว่าความละเอียดไม่สมบูรณ์ในแง่ที่ว่าการลดทอนธรรมชาติและแคลคูลัสตามลำดับนั้นสมบูรณ์ วรรณคดียืนยันว่าการแก้ไขนั้นเป็นคำศัพท์การละเมิดที่สมบูรณ์เพียงเพราะความรู้สึกในการแก้ไขที่สมบูรณ์นั้นน่าสนใจกว่าความรู้สึกที่ไม่สมบูรณ์หรือไม่?
ความแตกต่างของแนวคิดเรื่องความครบถ้วนสมบูรณ์ที่นำไปใช้กับการแก้ปัญหาและที่อื่น ๆ และวิธีการกระทบยอดได้รับการพูดคุยในเชิงลึกมากขึ้นในวรรณคดี?
ฉันรู้ว่ายังสามารถกำหนดความละเอียดภายในนิรนัยตามลำดับในแง่ของกฎการตัด มุมมองทางทฤษฎีที่พิสูจน์แล้วว่าถูกต้องหรือไม่นั้นเป็นส่วนของแคลคูลัสตามลำดับที่เพียงพอสำหรับการตรวจสอบความน่าพอใจของสูตรใน CNF หรือไม่?

— วีเจย์ดี
แหล่งที่มา

(1) สูตร CNF ที่มีความละเอียดเพียงแค่ (หรือถ้าคุณทำ QBF แล้วสูตร QCNF ที่มีความละเอียด & ลดค่าโดยรวม); (2) ใช่มันสมบูรณ์พิสูจน์และยังคงมีความหมายแตกต่างกันเล็กน้อยคือถ้า

แล้ว

⊥

ψ ⊨ ⊥

$\psi\models\bot$

ψ ⊢ ⊥

$\psi\vdash\bot$

— Radu GRIGore

คำถามที่คล้ายกันคร่าวๆที่นี่ ขอบคุณสำหรับการโพสต์ โดยทั่วไป iiuc / afaik การแก้ปัญหานั้นใช้สำหรับระบบมากกว่าตรรกะอันดับ 1 แต่ภายในตรรกะลำดับที่ 1 มันคือ "เสียง / เสร็จสมบูรณ์" แม้ว่ามันจะไม่ได้อธิบายอย่างดีเสมอไปเพราะมันมักจะใช้สำหรับการพิสูจน์การพิสูจน์ ในระบบ "ที่ใหญ่กว่า" ซึ่งคำศัพท์ไม่เพียง แต่เป็นตัวแปรบูลีนเท่านั้น แต่เช่นตัวระบุที่มีอยู่ ฯลฯ มันไม่สมบูรณ์ ข้อมูลของตรรกะไม่ได้มาตรฐานคำจำกัดความของคำศัพท์ที่ดีเกินไปเอาใจใส่มากของ "มากไป" ของคำ ฯลฯ ....

— vzn

นั่นเป็นสาเหตุที่บางคนพูดว่า "การรีไฟแนนซ์เสร็จสมบูรณ์" เช่น L. Bachmair และ H. Ganzinger "การพิสูจน์ทฤษฎีบทการพิสูจน์" คู่มือการใช้เหตุผลอัตโนมัติฉบับที่ 5 1, pp. 19–99, 2001

— Trylks

คำถามที่กล่าวถึงความสมบูรณ์ refutational

— วีเจย์ D

คำตอบ:

ระบบการพิจารณาใดที่ถูกพิจารณาเมื่อพูดถึงการแก้ปัญหา? มันเป็นเพียงกฎการแก้ปัญหา? กฎอื่น ๆ มีอะไรบ้าง

ผมหารือเกี่ยวกับความละเอียดในบริบทของ "คำสั่ง" ซึ่งเป็น sequents สร้างขึ้นจากเพียงตัวอักษร ประโยคคลาสสิกจะมีลักษณะเหมือน แต่เราสามารถเขียนมันเป็น

A_{1}, \dots, A_{n} \to B_{1}, \dots, B_{m}

$A_1,\ldots,A_n \to B_1,\ldots,B_m$

และทำงานกับซีเควนท์ด้านเดียว มันเป็นธรรมดาที่จะรักษา sequents ด้านเดียวเหล่านี้เป็นมัลติของตัวอักษร

\to {\bar{A}}_{1}, \dots, {\bar{A}}_{n}, B_{1}, \dots, B_{m}

${} \to \bar{A}_1,\ldots,\bar{A}_n, B_1, \ldots, B_m$

LK ถูก จำกัด ให้เฉพาะส่วนที่มีกฎการอนุมานเพียงสี่ข้อเท่านั้น:

เอกลักษณ์
ตัด (ความละเอียดเชิงประพจน์)
การหดตัว (แฟคตอริ่งเชิงประพจน์)
การทำให้อ่อนลง

เห็นได้ชัดว่ากฎทั้งสี่นี้สมบูรณ์สำหรับการอนุมานอนุประโยคเช่น

ข้อเสนอที่ 1สำหรับข้อใดและชุดของคำสั่งเรามีถ้าหากว่า C $C$ ${\cal S}$ ${\cal S} \models C$ ${\cal S} \vdash C$

พิสูจน์หลักฐานแปลงปัญหาของเพื่อที่คือชุดของคำสั่งที่เป็นตัวแทนของการปฏิเสธของC ${\cal S} \vdash C$ ${\cal S} \cup N(C) \vdash \bot$ $N(C) = \{\{\bar{A}\} \mid A \in C\}$ $C$

เป็นที่ชัดเจนว่าถ้าหากว่า ⊥ระบบสี่กฎของเรายังคงเพียงพอสำหรับการพิสูจน์ปัญหาที่ถูกแปลง แต่เราสังเกตเห็นว่าเราไม่ต้องการตัวตนและทำให้อ่อนแอลงอีก กฎที่เหลืออีกสองกฎเรียกว่า "ขั้นตอนการพิสูจน์ความละเอียด" ${\cal S} \vdash C$ ${\cal S} \cup N(C) \vdash \bot$

ข้อเสนอที่ 2สำหรับข้อและข้อใด ๆเรามีถ้าหาก $C$ ${\cal S}$ ${\cal S} \models C$ ใช้เพียงตัดและการหดตัว ${\cal S} \cup N(C) \vdash \bot$

ประเด็นของการแปลงปัญหาเป็นบทพิสูจน์การพิสูจน์คือสองเท่า:

เรามีโอกาสที่ดีกว่าในการเป็นแนวทางในการค้นหาหลักฐานโดยปล่อยให้ขับเคลื่อน $N(C)$
เรามีการจัดการกับลอจิกเพรดิเคตเต็มรูปแบบซึ่งสามารถเปลี่ยนสูตรเป็น CNF ได้อย่างน่าพอใจ

มุมมองทางทฤษฎีที่พิสูจน์แล้วว่าถูกต้องหรือไม่นั้นเป็นส่วนของแคลคูลัสตามลำดับที่เพียงพอสำหรับการตรวจสอบความน่าพอใจของสูตรใน CNF หรือไม่?

แน่นอน!

— Uday Reddy
แหล่งที่มา

ขอบคุณ Uday คำถามหนึ่ง: กฎการตัดยังคงเก็บคำสั่งจากสูตรดั้งเดิมไว้ตามลำดับ ในความละเอียดเหล่านี้ "ปรับ" ออกไปด้วยเพียงหนึ่งประโยคในผลที่ตามมา คุณเห็นด้วยหรือไม่ว่าการแก้ปัญหานั้นเป็นกฎขั้นต่ำสุดหรือในระดับท้องถิ่นเนื่องจากส่วนคำสั่งทั้งหมดไม่ปรากฏในกฎ

— วีเจย์ D

@VijayD เราใช้กฎการตัดที่แม่นยำ แต่แตกต่างจาก Gentzen พิสูจน์ Gentzen จะเป็นของแบบฟอร์ม

ที่ไม่มี "หลักการ" ในขณะที่ในความละเอียดของเรามีการผลิตพิสูจน์ด้วยหลักการ

คุณอาจต้องการที่จะมองไปที่กระดาษนี้Clausal เสร็จ

⊢ C

${} \vdash C$

S ⊢ C

${\cal S} \vdash C$

— Uday Reddy

คุณสามารถเพิ่มคำตอบของคุณในสิ่งที่คุณคิดว่าเป็นคำอธิบายที่ถูกต้องหนึ่งประโยคที่ถูกต้องเกี่ยวกับความสมบูรณ์ของการแก้ไขหรือไม่?

— วีเจย์ D

@VijayD มีคำสั่ง "if and only ถ้า" สองคำตอบในคำตอบดั้งเดิมของฉันซึ่งเป็นคุณสมบัติที่ครบถ้วนสองประการ เพื่อความชัดเจนฉันได้เน้นพวกเขาเป็นข้อเสนอสำหรับคุณ (ฉันยังไม่แน่ใจว่าความสับสนของคุณอยู่ที่ใดบางทีมันอาจจะเกี่ยวข้องกับภาษาที่เรากำลังทำงานด้วยตามที่ Kaveh บอกเป็นนัย?)

— Uday Reddy

@VijayD ฉันไม่คิดว่าคุณจะบอกได้ว่าความละเอียดนั้น "ไม่สมบูรณ์" สิ่งที่คุณได้กล่าวไว้ในคำถามเดิมของคุณคือการเปลี่ยนแปลงที่จำเป็นในการใส่สูตรเชิงประพจน์ในรูปแบบประโยคจะไม่ทำให้คุณพอใจ ไม่ได้หมายความว่าพวกเขา "ไม่สมบูรณ์"

— Uday Reddy

1)

กฎที่ไม่มีโครงสร้างอย่างเดียวคือการแก้ปัญหา (บนอะตอม)

\frac{φ \lor C, ψ \lor \bar{C}}{φ \lor ψ}

$\varphi\lor C, \psi\lor \overline{C} \over \varphi\lor \psi$

อย่างไรก็ตามกฎด้วยตัวเองไม่ได้ให้ระบบพิสูจน์ ดูตอนที่ 3

2)

$\{\land, \lor, \lnot\}$ $\{\land, \lor, \lnot\}$ การเชื่อมต่อความละเอียดไม่สมบูรณ์ แต่ไม่มีแคลคูลัสต่อเนื่องและการหักตามธรรมชาติที่เกี่ยวข้องกับสูตรที่ไม่ได้อยู่ในภาษาของพวกเขา

ตราบใดที่มีการแปลที่ "ดี" จากภาษาหนึ่งเป็นอีกภาษาหนึ่งเราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับความสมบูรณ์ได้ สิ่งสำคัญคือเราสามารถแปลสูตรจากที่หนึ่งไปยังอีกที่หนึ่งและในทางกลับกันได้อย่างมีประสิทธิภาพ คุณสามารถตรวจสอบวิทยานิพนธ์ของ Robert Reckhowที่เขาจัดการกับปัญหาเกี่ยวกับการเชื่อมต่อและแสดงให้เห็นว่าสำหรับระบบ Frege ความยาวของการพิสูจน์ไม่เปลี่ยนไปมากกว่าพหุนามดังนั้นจึงเป็นการดีที่จะเลือกชุดที่เหมาะสม connectives ที่คุณชอบ

สถานการณ์การแก้ปัญหาจะคล้ายกัน โดยลดจาก SAT เป็น 3SAT เราสามารถ จำกัด ความสนใจของเราต่อ CNFs และการแปลงสามารถทำได้อย่างมีประสิทธิภาพมาก

โปรดทราบว่าความละเอียดไม่ได้อยู่คนเดียวที่นี่ปัญหานี้นำไปใช้กับระบบพิสูจน์อื่น ๆ ด้วย ยกตัวอย่างเช่น Bounded-Depth Frege ที่ความลึกของสูตรต้องถูก จำกัด ด้วยค่าคงที่ดังนั้นโดยคำจำกัดความมันไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าครอบครัวใดที่มีสูตรเชิงลึกที่ไม่มีขอบเขต

3)

$P$ $\vdash_P$

$\vdash_P$ $\varphi$ $\pi$ $\pi$ $P$ $\varphi$
$P$ $\varphi$ $\varphi$
$\varphi$ $P$ $\varphi$

คำจำกัดความทั่วไปมากและไม่ได้พูดถึงโครงสร้างของการพิสูจน์เลย อะไรก็ตามที่เป็นไปตามเงื่อนไขเหล่านี้คือระบบพิสูจน์ข้อเสนอ

สูตรใดที่เราควรพิจารณาในรายการเหล่านี้ สูตรที่แตกต่างกันได้รับการพิจารณาและการรักษาปัญหาแรกที่ฉันรู้ก็คือวิทยานิพนธ์ของ Robert Reckhowที่เขาแสดงให้เห็นว่าตราบใดที่ใคร ๆ ที่เกี่ยวข้องกับระบบ Frege มันไม่สำคัญว่าชุดของการเชื่อมต่อที่เพียงพอใช้เพียงอย่างเดียว เทียบเท่า

เกี่ยวกับการแก้ปัญหาถ้าเราต้องการที่จะมีความสมบูรณ์เกี่ยวกับสูตรทั้งหมดและไม่ใช่แค่ CNFs เท่านั้นที่สามารถรวมการแปลพหุนามแบบคงที่จากสูตรที่กำหนดเองไปยัง CNF เข้าสู่ระบบพิสูจน์ได้โดยไม่มีปัญหาเนื่องจากการแปลนั้น

$\pi$ $\bot$ $\lnot \varphi$ เป็นไปตามเงื่อนไข นี่คือระบบการพิสูจน์เชิงประพจน์ที่ผู้คนอ้างถึงว่าเป็นระบบการพิสูจน์การแก้ปัญหาเชิงประพจน์

4)

การแก้ปัญหานั้นดี แต่ก็สามารถคิดได้ในวิธีที่คุณกล่าวถึงคือเราสามารถคิดได้ว่ามันเป็นกฎการตัดเมื่อสูตรการตัดเป็นอะตอมบวกโดยการย้ายอะตอมเชิงลบไปยังบรรพบุรุษและรักษา คนที่เป็นบวกในการยอมจำนน:

\frac{\Rightarrow φ, ค ค \Rightarrow ψ}{\Rightarrow φ, ψ}

$\Rightarrow \varphi, C \hspace{1cm} C \Rightarrow \psi \over \Rightarrow \varphi, \psi$

$G$ ) เป็นคลาสของสูตรที่สามารถตัดได้ ฉันคิดว่าเราสามารถใช้ PK ของ Gentzen และเพียง จำกัด กฎการตัดเพื่อใช้กับสูตรการตัดและระบบการพิสูจน์ที่ได้จะไม่ทรงพลังกว่าการแก้ปัญหาในการพิสูจน์ CNF การพิสูจน์ของ CNFs ใด ๆ (เขียนในรูปแบบต่อเนื่องกับอะตอมบวก) สามารถมีลำดับที่คล้ายคลึงกันได้นั่นคือสูตรที่ซับซ้อนกว่านั้นไม่ได้ใช้ในการพิสูจน์ CNFs (โปรดทราบว่าการตัดเป็นกฎเดียวที่สามารถลบสูตรออกจากลำดับ)

ป.ล. : คำตอบของฉันส่วนใหญ่มาจากมุมมองทางทฤษฎีที่ซับซ้อนพิสูจน์ คุณอาจต้องการที่จะตรวจสอบมุมมองอื่น ๆ เช่นการพิสูจน์ทฤษฎีโครงสร้าง

อ้างอิง:

Robert A. Reckhow, " บนความยาวของการพิสูจน์ในแคลคูลัสเชิงประพจน์ ", 1976

— Kaveh
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับคำตอบ. ฉันเห็นว่า Uday กำลังพูดถึงสิ่งที่คล้ายกัน แต่ฉันพบว่าฉันสามารถทำตามคำตอบของเขาได้ง่ายขึ้น

— วีเจย์ D

@VijayD แน่นอนไม่มีปัญหา :)

— Kaveh