พีชคณิตนามธรรมสำหรับนักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ทฤษฎี

ฉันมีการศึกษาทางคณิตศาสตร์ในระดับปริญญาตรีที่สมเหตุสมผล แต่ไม่เคยสะดวกสบายกับพีชคณิตนามธรรม (คณิตศาสตร์ของกลุ่ม, แหวน, สาขาและอื่น ๆ ) ฉันคิดว่านี่เป็นส่วนหนึ่งที่ฉันต้องการเห็นแอปพลิเคชันและสิ่งที่ฉันสามารถหาได้ในทางฟิสิกส์ไม่ใช่ CS เนื่องจากความสนใจของฉันคือ CS จริงๆมีวัสดุใดบ้างในขณะนี้ (แบบร่างออนไลน์บันทึกการบรรยายวิดีโอหนังสือ) ที่ครอบคลุมพีชคณิตนามธรรมจากมุมมองของการใช้งานใน CS และโดยเฉพาะอย่างยิ่งอัลกอริทึม / ทฤษฎี? ฉันมีความสุขที่แอปพลิเคชั่นเหล่านี้เป็นทฤษฎีอย่างสมบูรณ์ แต่พวกเขาไม่ควรถือว่าความรู้พีชคณิตนามธรรมที่มีอยู่ก่อน

ฉันค่อนข้างมั่นใจว่ามีแหล่งข้อมูลเหล่านี้อยู่พวกเขาจะได้รับการชื่นชมจากนักวิจัย CS จำนวนมาก

คุณสามารถลองบันทึกจากหลักสูตรของ Madhu Sudan: พีชคณิตและการคำนวณ

เส้นทางหนึ่งที่เป็นไปได้ในพีชคณิตนามธรรมอาจมองจากมุมมองของการเข้ารหัสซึ่งเป็นเรื่องเกี่ยวกับอัลกอริทึมบนขอบเขต จำกัด เขตข้อมูลเป็นวงแหวนและเขตข้อมูลยังมีสองกลุ่มพร้อมกันตามกฎง่าย ๆ ทฤษฎีสนามใช้ปริภูมิเวกเตอร์ในตำแหน่งที่โดดเด่น (ทฤษฎีกาลัวส์) ดังนั้นมุมนี้ควรครอบคลุมพีชคณิตนามธรรมจำนวนมาก หนังสือ

บทนำการคำนวณทฤษฎีจำนวนและพีชคณิตโดย V. Shoup

อาจเป็นที่สนใจ

คำแนะนำส่วนตัวของฉันคือการไม่สนใจแอปพลิเคชันและศึกษาข้อความทางคณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐานสำหรับพีชคณิตนามธรรม ไม่มีการขาดแคลนของเหล่านั้น เพียงแค่เชื่อว่าทุกสิ่งนี้มีประโยชน์และการใช้จะเปิดเผยตัวเองได้ง่ายขึ้นเมื่อคุณเข้าใจเนื้อหาพื้นฐาน

พีชคณิตพื้นฐานส่วนใหญ่เป็นสิ่งที่สร้างสรรค์และคุณสามารถนำแนวคิดพื้นฐานไปใช้เพื่อให้เกิดความเข้าใจที่ดีขึ้นเช่นอัลกอริทึมที่ตรวจสอบว่าตารางสูตรคูณเป็นกลุ่มตัวแก้สมการในกลุ่มโปรแกรมที่ตรวจสอบว่าโครงสร้างพีชคณิตสองโครงสร้าง ปัญหาเหล่านี้มีวิธีแก้ปัญหาแบบบังคับซึ่งใช้งานง่าย แต่ช้า ยิ่งคุณเรียนรู้เกี่ยวกับพีชคณิตมากเท่าไรคุณก็สามารถสร้างทางลัดอัลกอริธึมได้เร็วขึ้นเพื่อเพิ่มความเร็วให้กับโปรแกรมของคุณ เช่นการทดสอบเบื้องต้นของMiller-RabinและAKS ที่มีชื่อเสียง

ลองอ่านหนังสือเล่มนี้โดย Rudolf Lidl และ Harald Niederreiter: รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับขอบเขต จำกัด และการใช้งาน (ฉบับที่ 2, 1994) http://www.amazon.com/Introduction-Finite-Fields-their-Applications/dp/0521460948

อ้างคำอธิบายหนังสือใน Amazon: "ทฤษฎีของเขตข้อมูล จำกัด เป็นสาขาของพีชคณิตสมัยใหม่ที่มีมาก่อนในปีที่ผ่านมาเนื่องจากการใช้งานที่หลากหลายในพื้นที่เช่น combinatorics ทฤษฎีการเข้ารหัส cryptology และการศึกษาทางคณิตศาสตร์ของวงจรสลับ ."

นอกจากการเข้ารหัสแล้วการประยุกต์ใช้พีชคณิตในทางปฏิบัติที่ดีมาก ๆ อาจจะเป็นการนำเศษส่วนไปใช้โดยที่ตัวเศษและส่วนนั้นมีความสำคัญหรือประเภท "จำนวนเต็มขนาดใหญ่" และความยาวของการเข้ารหัสเป็น kepts ขนาดเล็ก ตัวหารของตัวเศษและส่วน)

เกี่ยวกับชนิดข้อมูล "จำนวนเต็มขนาดใหญ่" ผลลัพธ์ที่น่าสนใจคือสิ่งที่เรียกว่า "ทฤษฎีส่วนที่เหลือของจีน" ซึ่งอนุญาตให้มีการดำเนินการจำนวนเต็มแบบขนานในการดำเนินการแทนค่าในฐานะปัจจัยสำคัญของข้อโต้แย้ง

นอกจากนี้เนื้อหาส่วนใหญ่ที่พบในพีชคณิตสามารถสร้างความพึงพอใจให้กับสุนทรียศาสตร์ได้ (เป็นมุมมองส่วนตัว)