เราจะแสดง“ ” เป็นสูตรลำดับที่หนึ่งได้อย่างไร [ปิด]

1. เราจะแสดง " " เป็นสูตรลำดับที่หนึ่งได้อย่างไร$P=PSPACE$
2. ระดับใดของลำดับชั้นทางคณิตศาสตร์ที่มีสูตรนี้ (และระดับขั้นต่ำสุดที่รู้จักกันในปัจจุบันของลำดับชั้นที่ประกอบด้วย) คืออะไร?

สำหรับการอ้างอิงดูโพสต์บล็อกนี้โดยลิปตัน

ประการแรกฉันต้องการที่จะแสดงความคิดเห็นกับคำถามที่มันก็บอกว่า "เท็จ" เป็นการแสดงออกถึง $P = PSPACE$เพราะคำสั่งนั้นเป็นเท็จ แม้ว่านี่อาจเป็นเรื่องตลกที่ดี แต่จริงๆแล้วมันอันตรายมากที่คิดแบบนี้ เมื่อเราถามวิธีแสดงประโยคหนึ่งในระบบที่เป็นทางการเราไม่ได้พูดถึงคุณค่าความจริง ถ้าเราเป็นเช่นนั้นเมื่อมีคนถามว่า "ฉันจะเขียนความจริงว่ามีช่วงเวลามากมายได้อย่างไร?" เราสามารถตอบ "3 + 3 = 6" แต่นี่จะไม่ชัดเจน ด้วยเหตุผลเดียวกัน "เท็จ" ไม่ใช่คำตอบที่ถูกต้องสำหรับ "ฉันจะเขียนได้อย่างไร$P = PSPACE$? "ฉันคิดว่า Frege และ Russell พยายามอย่างหนักเพื่อสอนบทเรียนนี้ให้เรา

ให้ฉันแสดงวิธีการแสดงออก $PSPACE \subseteq P$ทิศทางอื่นนั้นคล้ายกันแล้วคุณสามารถรวมมันเข้าด้วยกันเพื่อรับ $PSPACE = P$. ไม่ว่าในกรณีใดก็ตามเพื่อให้เป็นไปตามวัตถุประสงค์ของคุณ$PSPACE \subseteq P$ขึ้นอยู่กับสิ่งที่คุณกำลังทำ

การใช้เทคนิคที่คล้ายกับเทคนิคการสร้างKleene$T$เราสามารถสร้างสูตรควอนตัมที่มีขอบเขต $accept_{space}(k, m, n)$ (ซึ่งอาศัยอยู่ใน $\Sigma^0_0 = \Pi^0_0$) พูดว่า "เมื่อเราเรียกใช้เครื่องที่เข้ารหัสโดย $k$ และเชื่อมโยงการใช้พื้นที่กับ $|n|^m$เครื่องยอมรับอินพุต $n$ที่นี่ $|n|$ คือความยาวของ $n$. วิธีที่ไม่เป็นทางการที่จะเห็นว่ามีสูตรดังกล่าวอยู่:$k$, $m$และ $n$ เราสามารถคำนวณแบบเรียกซ้ำแบบดั้งเดิมที่ จำกัด เวลาและพื้นที่ที่เราต้องการ $|n|^m$ พื้นที่และที่มากที่สุด $2^{|n|^m}$เวลา). จากนั้นเราก็ทำการค้นหาร่องรอยการประมวลผลที่เป็นไปได้ทั้งหมดซึ่งอยู่ภายในขอบเขตที่คำนวณได้ - การค้นหาดังกล่าวค่อนข้างไม่มีประสิทธิภาพ แต่เป็นการเรียกซ้ำแบบดั้งเดิมและเพื่อให้เราสามารถแสดงว่าเป็นสูตรที่มีขอบเขต

มีสูตรคล้ายกัน $accept_{time}(k, m, n)$ ซึ่งเวลาทำงานถูกผูกไว้ด้วย $|n|^m$.

ตอนนี้ให้พิจารณาสูตร:

$$\forall k, m . \exists k', m' . \forall n . accept_{space}(k,m,n) \Leftrightarrow accept_{time}(k',m', n).$$ มันบอกว่าสำหรับทุกเครื่อง $k$ ซึ่งใช้พื้นที่มากที่สุด $|n|^m$ มีเครื่อง $k'$ ซึ่งใช้เวลามากที่สุด $|n|^{m'}$ เช่นนั้นทั้งสองเครื่องยอมรับกันอย่างแน่นอน $n$'s กล่าวอีกนัยหนึ่งสูตรบอกว่า$PSPACE \subseteq P$. สูตรนี้คือ$\Pi^0_3$.

เราสามารถปรับปรุงสิ่งนี้ถ้าเรายินดีที่จะแสดงแทนประโยค "$TQBF$อยู่ใน polytime "ซึ่งควรจะดีพอสำหรับแอปพลิเคชันส่วนใหญ่เนื่องจากTQBFนั้นสมบูรณ์แบบ PSPACE และดังนั้นการอยู่ใน polytime จึงเท่ากับ$PSPACE \subseteq P$. ปล่อย$k_0$ เป็น (รหัสของ) เครื่องที่รับรู้ TQBF ในพื้นที่ $|n|^{m_0}$. จากนั้น "$TQBF \in P$"สามารถแสดงเป็น

$$\exists k', m' . \forall n . accept_{space}(k_0, m_0, n) \Leftrightarrow accept_{time}(k', m', n).$$ สูตรนี้เป็นเพียงแค่ $\Sigma^0_2$. ถ้าฉันเป็นนักทฤษฎีที่ซับซ้อนฉันก็จะรู้ว่ามันเป็นไปได้ที่จะทำสิ่งที่ดีกว่า (แต่ฉันสงสัย)

Andrej ได้อธิบายไว้แล้วว่า $P=\mathit{PSPACE}$ สามารถเขียนเป็น $\Sigma^0_2$-ประโยค. ให้ฉันพูดถึงว่าการจำแนกประเภทนี้เหมาะสมที่สุดในแง่ที่ว่าถ้าข้อความนั้นเทียบเท่ากับ a$\Pi^0_2$- การส่งความจริงแล้วความจริงข้อนี้ไม่เกี่ยวข้องกัน แม่นยำยิ่งขึ้นชุดของออราเคิล$A$ ดังนั้น $P^A=\mathit{PSPACE}^A$ สามารถนิยามได้โดย $\Sigma^0_2$- รูปแบบที่มีตัวแปรลำดับที่สองฟรี $A$แต่มันไม่สามารถนิยามได้โดยเด็ดขาด $\Pi^0_2$-สูตร. อาร์กิวเมนต์มีการระบุไว้ (สำหรับ$P=\mathit{NP}$แต่มันใช้งานได้เหมือนกันสำหรับ $\mathit{PSPACE}$) in the comments at /mathpro/57348. (In fact, one can show by an elaboration of the idea that the set is $\Sigma^0_2$-complete in the appropriate sense.)

EDIT: The topological proof given in the linked comment is short, but it may appear tricky. Here is a direct forcing argument.

$P^A\ne\mathit{PSPACE}^A$ can be written as a $\Pi^0_2$-formula of the form $\phi(A)=\forall x\,\exists y\,\theta(A,x,y)$, where $\theta$ is $\Delta^0_0$. Assume for contradiction that $P^A=\mathit{PSPACE}^A$ is also equivalent to a $\Pi^0_2$-formula $\psi(A)=\forall x\,\exists z\,\eta(A,x,z)$. Fix oracles $B$, $C$ such that $P^B\ne\mathit{PSPACE}^B$ and $P^C=\mathit{PSPACE}^C$.

Since $\phi(B)$, there exists $y_0$ such that $\theta(B,0,y_0)$. However, $\theta$ is a bounded formula, hence the evaluation of the truth value of $\theta(B,0,y_0)$ only uses a finite part of the oracle. Thus, there exists a finite part $b_0$ of $B$ such that $\theta(A,0,y_0)$ for every oracle $A$ extending $b_0$.

Let $C[b_0]$ denote the oracle which extends $b_0$, and agrees with $C$ where $b_0$ is undefined. Since $P^A$ and $\mathit{PSPACE}^A$ are unaffected by a finite change in the oracle, we have $\psi(C[b_0])$. By the same argument as above, there exists $z_0$ and a finite part $c_0$ of $C[b_0]$ such that $\eta(A,0,z_0)$ for every $A$ extending $c_0$. We may assume that $c_0$ extends $b_0$.

Continuing in the same fashion, we construct infinite sequences of numbers $y_0,y_1,y_2,\dots$, $z_0,z_1,z_2,\dots$, and finite partial oracles $b_0\subseteq c_0\subseteq b_1\subseteq c_1\subseteq b_2\subseteq\cdots$ such that

1. $\theta(A,n,y_n)$ for every oracle $A$ extending $b_n$,

2. $\eta(A,n,z_n)$ for every oracle $A$ extending $c_n$.

Now, let $A$ be an oracle which extends all $b_n$ and $c_n$. Then 1 and 2 imply that $\phi(A)$ and $\psi(A)$ simultaneously hold, which contradicts the assumption that they are complements of each other.