NP-Completeeness ของปัญหาการตัดสินใจสำหรับ 15-Puzzle ทั่วไป

ฉันสนใจในลักษณะทั่วไปของปริศนา 15 อันที่มีชื่อเสียงซึ่งคุณต้องเลื่อนบล็อกจนกว่าคุณจะเรียงลำดับตัวเลขที่ให้ไว้ทั้งหมด (โดยทั่วไปจะมีช่องว่าง 1 บล็อก)

ตอนนี้การวางนัยทั่วไปจะเป็นการขยายขนาดของตัวต่อจาก 15 เป็นโดยที่หนึ่งฟิลด์ว่าง ฉันสร้างภาพประกอบเล็ก ๆ (ลูกศรประแสดงการเคลื่อนไหวที่อนุญาตและการกำหนดค่าที่ต่ำกว่าแสดงปริศนาที่แก้ไขแล้ว):$p \times q$

ด้วยการกำหนดค่าเริ่มต้นของปริศนาฉันถามตัวเองคำถามต่อไปนี้:

คำถามการตัดสินใจ : ให้เป็นปริศนาที่มีขนาดและจำนวนk ∈ N มีลำดับของkหรือน้อยกว่าที่อนุญาตให้ย้ายที่เปลี่ยนตัวไขปริศนาเป็นการกำหนดค่าที่แก้ไขแล้วหรือไม่?$p \times q$$k \in \mathbb{N}$$k$

ฉันได้ทำการตรวจสอบแล้วและพบบทความ " The -puzzle และปัญหาการย้ายถิ่นฐานที่เกี่ยวข้อง$(n^2−1)$ " จากปี 1990 ซึ่งแสดงให้เห็นว่าการตัดสินใจคำถามของฉันสำหรับคือ NP-Complete ดังนั้นการตัดสินใจคำถามของฉันคือ NP- เสร็จสมบูรณ์ (เนื่องจากอัลกอริทึมทั่วไปสามารถตัดสินใจคำถามสำหรับฟิลด์สมมาตรได้)$p=q$

$q>1$$q=2,3$

บทความทั้งหมดที่ฉันสามารถหากรณีละเว้นอสมมาตรเศร้าดังนั้นฉันคิดว่าอาจไม่มีผลลัพธ์ที่รู้จักเกี่ยวกับเรื่องนี้ เนื่องจากข้อพิสูจน์ในบทความนั้นค่อนข้างซับซ้อนและไม่ได้แปลเลยสำหรับความสูงคงที่ฉันค่อนข้างหวังว่าบางคนอาจเกิดขึ้นกับการลด / บทความที่แตกต่างที่ตอบคำถามบางข้อ

บทความที่เกี่ยวข้องอื่น ๆ (ที่จะขยาย):

• http://larc.unt.edu/ian/pubs/saml.pdf
• http://red.cs.nott.ac.uk/~gxk/papers/icga2008_preprint.pdf
• http://erikdemaine.org/papers/AlgGameTheory_GONC3/

ฉันคิดว่าฉันพบคำตอบบางส่วน (แม้ว่าค่อนข้างน่าผิดหวัง) สำหรับปัญหาของฉัน:

ฉันสะดุดกระดาษนี้ (2007):

" ความซับซ้อนของการกำหนดเส้นทางช่องสามมิติ "โดย Satoshi Tayu และ Shuichi Ueno

$p,q$$p \times q-1$

$k$$k \geq 2$

$p \times q-1$$k \geq 2$$k$

$p \times q-1$$k$$2$