การสร้างปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพ combinatorial ที่น่าสนใจ

ฉันกำลังสอนหลักสูตรเกี่ยวกับเมตา - ฮิวริสติกและต้องการสร้างตัวอย่างที่น่าสนใจของปัญหา combinatorial แบบคลาสสิกสำหรับโครงการระยะ ให้ความสำคัญกับ TSP เราแก้ปัญหากราฟที่มีขนาดตั้งแต่ขึ้นไป ฉันพยายามสร้างกราฟที่มีเมทริกซ์ราคาด้วยค่าที่นำมาจากการสุ่มและพบว่า (ตามที่คาดไว้) ฮิสโตแกรมสำหรับต้นทุนเส้นทาง (วาดโดยการสุ่มเส้นทางสุ่มจำนวนมาก) ได้ การกระจายปกติที่แคบมาก (คือแต่อยู่ที่ ) ซึ่งหมายความว่าในความคิดของฉันว่าปัญหาเป็นเรื่องง่ายมากเนื่องจากเส้นทางแบบสุ่มส่วนใหญ่จะต่ำกว่าค่าเฉลี่ยและเส้นทางต้นทุนขั้นต่ำใกล้เคียงกับเส้นทางแบบสุ่ม$200$$U(0,1)$$\mu$$~100$$\sigma$$4$

ดังนั้นฉันจึงลองวิธีต่อไปนี้: หลังจากสร้าง -matrix แล้วให้เดินสุ่มรอบกราฟและสุ่ม (เบอร์นูลลีที่มี ) สองเท่าหรือลดค่าของขอบลงครึ่งหนึ่ง นี้มีแนวโน้มที่จะลดค่าทั้งหมดในที่สุดก็ถึงศูนย์ แต่ถ้าผมใช้เวลาเพียงตัวเลขทางขวาของขั้นตอนที่ผมจะได้รับการจัดจำหน่ายกับรอบและรอบ1$U(0,1)$$p=0.5$$\mu$$2$$\sigma$$1$

คำถามของฉันคือก่อนอื่นนี่เป็นคำนิยามที่ดีสำหรับปัญหาที่น่าสนใจหรือไม่? ในอุดมคติแล้วฉันต้องการอินสแตนซ์ที่มีหลายโมดอลสูง (สำหรับฟังก์ชั่นพื้นที่ใกล้เคียงทั่วไป) และมีเส้นทางน้อยมากที่อยู่ใกล้กับค่าต่ำสุดดังนั้นโซลูชันแบบสุ่มส่วนใหญ่จะอยู่ไกลจากจุดที่เหมาะสมที่สุด คำถามที่สองคือจากคำอธิบายนี้ฉันจะสร้างอินสแตนซ์ที่มีคุณสมบัติดังกล่าวได้อย่างไร

วิธีการทั่วไปในการสร้างอินสแตนซ์ที่ยากขึ้นมีดังนี้:

• เริ่มด้วยอินสแตนซ์ปัญหาแบบสุ่ม
• ฝัง "แบ็คดอร์ที่ซ่อนอยู่": สุ่มเลือกวิธีแก้ปัญหาที่ดี (อันที่น่าจะดีกว่าโซลูชันที่มีอยู่แล้ว) และแก้ไขอินสแตนซ์ของปัญหาเพื่อบังคับให้ฝังโซลูชันนี้ลงในอินสแตนซ์ปัญหา

ตัวอย่างเช่นสำหรับ TSP คุณสามารถทำสิ่งต่อไปนี้ สร้างอินสแตนซ์ปัญหาสุ่มโดยเลือกสุ่ม$U(0,1)$เมทริกซ์ต้นทุน จากนั้นปรับอินสแตนซ์ปัญหาเพื่อซ่อนวิธีแก้ปัญหาที่ดีกว่ามากในนั้น: เลือกการเดินทางที่เยี่ยมชมแต่ละจุดสุดยอดหนึ่งครั้งและลดน้ำหนักขอบของทัวร์นั้น (เช่นสร้างแบบสุ่มจาก$U(0,c)$ ที่ไหน $c<1$; ลดน้ำหนักที่มีอยู่ หรือปรับเปลี่ยนขอบที่มีอยู่ด้วยความน่าจะเป็นคงที่บางอย่าง) ขั้นตอนการปรับนี้ทำให้มั่นใจได้ว่าทางออกที่ดีที่สุดที่มีความน่าจะเป็นสูงคือทัวร์พิเศษที่คุณเลือก หากคุณโชคดีและคุณเลือกการฝังที่เหมาะสมจะไม่ง่ายเลยที่จะจดจำตำแหน่งที่คุณซ่อนโซลูชันพิเศษไว้

วิธีการนี้ได้มาจากแนวคิดทั่วไปในการเข้ารหัสซึ่งเราต้องการสร้างปัญหาทางเดียวที่ประตูกล: ที่ซึ่งปัญหานั้นยากที่จะแก้ไขโดยปราศจากความรู้เกี่ยวกับประตูลับลับ แต่ด้วยความรู้ของประตูลับลับปัญหาจะกลายเป็นเรื่องง่ายมาก มีความพยายามหลายครั้งในการฝังประตูลับเข้าไปในปัญหาที่หลากหลาย (ในขณะที่ยังคงรักษาความแข็งของปัญหาไว้แม้หลังจากที่มีการติดตั้งกับดัก) แล้วด้วยความสำเร็จที่หลากหลาย แต่วิธีการทั่วไปนี้ดูเหมือนว่าอาจใช้การได้สำหรับวัตถุประสงค์ของคุณ

อินสแตนซ์ของปัญหาที่เกิดขึ้นอาจจะยากแต่พวกเขาจะน่าสนใจจากมุมมองการปฏิบัติใด ๆ ฉันไม่รู้ เอาชนะฉัน พวกเขาดูเป็นธรรมสำหรับฉัน แต่ฉันรู้อะไร

หากเป้าหมายหลักของคุณคือการเลือกอินสแตนซ์ของปัญหาที่เกี่ยวข้องจริงและเป็นตัวแทนของแอปพลิเคชันในโลกแห่งความเป็นจริงของ TSP คำแนะนำของฉันจะเป็นแนวทางที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง ให้เริ่มต้นจากการสำรวจแอปพลิเคชันในโลกแห่งความเป็นจริงของ TSP จากนั้นมองหาอินสแตนซ์ตัวแทนของปัญหาเหล่านั้นและแปลงเป็นอินสแตนซ์ปัญหา TSP ที่เกี่ยวข้องดังนั้นคุณกำลังทำงานกับอินสแตนซ์ปัญหาที่มาจากปัญหาโลกแห่งความเป็นจริง

แนวทางที่มักจะให้คุณสามารถควบคุมธรรมชาติของการแก้ปัญหาได้อย่างสูงคือการแปลงจากปัญหาที่สมบูรณ์ไปอีกปัญหาหนึ่ง ตอนนี้คุณให้คำจำกัดความ "น่าสนใจ" ในคำถามของคุณด้วยวิธีการทางสถิติ แต่อีกวิธีที่เป็นระเบียบคือการใช้ปัญหาแบบคลาสสิกจากภาคสนาม สิ่งที่ฉันชอบคือแฟคตอริ่ง / SAT มันเป็นเรื่องไม่สำคัญที่จะพบว่าตัวเลข "ราบรื่น" ที่มีหลายปัจจัยหรือจำนวนเฉพาะที่มี "ปัจจัย" เพียงสองตัวเท่านั้น (หนึ่งและนายกรัฐมนตรี) สร้างตัวอย่าง SAT เพื่อแก้ปัญหาการแยกตัวประกอบและการแก้ปัญหาเป็นปัจจัย (จริง ๆ แล้วการเรียงสับเปลี่ยนของปัจจัย แต่ก็ไม่ยากที่จะนับล่วงหน้า)

ภายใต้วิธีการนี้มีคำจำกัดความตามธรรมชาติของคำว่า "น่าสนใจ" ซึ่งเป็นกรณีที่ไม่สามารถแก้ไขได้ในเวลา P และวิธีนี้รับประกันว่าจะให้กรณียากสำหรับแฟตัวเลขที่ไม่ใช่เรียบมิฉะนั้นก็จะแก้ไขคำถามเปิดที่สำคัญในทฤษฎีความซับซ้อนเช่นความแข็งของแฟ

จากนั้นอาจเปลี่ยนเป็นปัญหาของคุณในกรณีนี้ TSP หากต้องการกรอกคำตอบนี้จะเป็นการดีหากมีการแปลง SAT เป็น TSP โดยตรงให้คิดว่าพวกเขาอยู่ที่นั่น แต่ไม่คุ้นเคยกับพวกเขา อย่างไรก็ตามนี่คือการอ้างอิงถึงการแยกตัวประกอบต่อ SAT ในคำถามนี้: การลดปัญหาการแยกตัวประกอบจำนวนเต็มเป็นปัญหาสมบูรณ์แบบ

หากคุณไม่ชอบแฟคตอริ่งคุณอาจต้องการสร้างอินสแตนซ์ใน SAT ก่อนด้วยเหตุผลหลายประการ คุณสามารถเริ่มต้นด้วยอินสแตนซ์ SAT แบบสุ่มที่ปรับให้อยู่กึ่งกลางในจุดเปลี่ยนที่ง่ายและง่ายเป็นต้น หรือคุณสามารถทำงานจากกรณียากของDIMACSที่สร้างโดยชุมชน หรือสร้าง "โปรแกรม" เชิงตรรกะอื่น ๆ ใน SAT