สูตร 3 CNF ที่ต้องใช้ความกว้างความละเอียด

จำได้ว่ามีความกว้างของความละเอียดพิสูจน์สูตร CNF Fเป็นจำนวนสูงสุดของตัวอักษรในข้อใด ๆ ที่เกิดขึ้นในR ทุกWมีสูตร unsatisfiable Fใน 3 CNF เซนต์ทุกพิสูจน์ความละเอียดของFต้องกว้างอย่างน้อยW$R$$F$$R$$w$$F$$F$$w$

ฉันต้องการตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมของสูตรที่ไม่น่าพอใจใน 3-CNF (เล็กและเรียบง่ายที่สุด) ที่ไม่มีการพิสูจน์ความละเอียดของความกว้าง 4

ตัวอย่างต่อไปนี้มาจากกระดาษที่ให้ลักษณะเชิงความกว้างความละเอียดความคมชัดโดย Atserias และ Dalmau ( Journal , ECCC , สำเนาของผู้เขียน )

ทฤษฎีบทที่ 2 ของบทความระบุว่าด้วยสูตร CNF ความละเอียดการหักล้างของความกว้างสูงสุดkสำหรับFนั้นเทียบเท่ากับกลยุทธ์ที่ชนะสำหรับสปอยเลอร์ในเกม pebble อัตถิภาวนิยม( k + 1 ) จำได้ว่าเกมกรวดอัตถิภาวนิยมจะถูกเล่นระหว่างผู้เล่นทั้งสองการแข่งขันที่เรียกว่าสปอยเลอร์และทำสำเนาและตำแหน่งของเกมที่มีการมอบหมายงานบางส่วนที่มีขนาดโดเมนที่มากที่สุดk + 1ตัวแปรF ในเกมแท็บเบิล( k + 1 )เริ่มต้นจากการมอบหมายเปล่าสปอยเลอร์ต้องการปลอมประโยคจาก$F$$k$$F$$(k+1)$$k+1$$F$$(k+1)$$F$ในขณะที่จดจำค่าบูลีนมากที่สุดในแต่ละครั้งและนักทำสำเนาต้องการป้องกันไม่ให้สปอยเลอร์ทำเช่นนั้น$k+1$

ตัวอย่างมีพื้นฐานมาจากหลักการของนกพิราบ (การปฏิเสธ)

ทุกและเจ∈ { 1 , ... , n }ให้หน้าฉัน, เจเป็นตัวแปรประพจน์หมายถึงนกพิราบที่ฉันนั่งอยู่ในหลุมเจ ทุกฉัน∈ { 1 , ... , n + 1 }และเจ∈ { 0 , ... , n }ให้$i \in \{1, \dotsc, n+1 \}$$j \in \{1, \dotsc, n \}$$p_{i,j}$$i$$j$$i \in \{1, \dotsc, n+1 \}$$j \in \{0, \dotsc, n \}$เป็นตัวแปรเชิงประพจน์ใหม่ ต่อไปนี้ 3 -CNF สูตร E Pฉันแสดงออกนกพิราบที่ฉันนั่งอยู่ในบางหลุม: E Pฉัน ≡ ¬ Y ฉัน, 0 ∧ n ⋀ J = 1 ( Y ฉัน, เจ- 1 ∨ หน้าฉัน, เจ ∨ ¬ Y ฉัน, J ) ∧ y ที่ฉัน,$y_{i,j}$$3$${EP}_i$$i$

$${EP}_i \equiv \neg y_{i,0} \wedge \bigwedge_{j=1}^n (y_{i,j-1} \vee p_{i,j} \vee \neg y_{i,j} ) \wedge y_{i,n}.$$ สุดท้าย -CNF สูตรE P H P n + 1 nแสดงการปฏิเสธของหลักรังนกพิราบเป็นร่วมของทุกE Pฉันและคำสั่งทั้งหมดH ฉัน, เจ k ≡ ¬ หน้าฉัน, k ∨ ¬ พีเจ, kสำหรับi , j ∈ { 1 , … , n + 1 } , i ≠ jและ$3$${EPHP}_n^{n+1}$${EP}_i$$H_k^{i,j} \equiv \neg p_{i,k} \vee \neg p_{j,k}$$i,j \in \{1, \dotsc, n+1 \}, i \ne j$ }$k \in \{1, \dotsc, n \}$

เลมม่า 6 ของกระดาษให้หลักฐานที่ค่อนข้างสั้นและใช้งานง่ายว่าสปอยเลอร์ไม่สามารถชนะเกม pebble บนE P H P n + 1 nดังนั้นE P H P n + 1 nจึงไม่มีการแก้ไขความกว้างที่nมากที่สุด- 1 .$n$${EPHP}_n^{n+1}$${EPHP}_n^{n+1}$$n-1$

กระดาษมีอีกตัวอย่างหนึ่งในเล็มม่า 9 ตามหลักการเรียงลำดับเชิงเส้นหนาแน่น

$\Omega(n^{(k-3)/12})$$k+1$