ฉันพบเกมต่อไปนี้ ฉันจะย้ายข้อมูลนี้ตามที่ร้องขอ

• ข้อผิดพลาดคือการเยี่ยมชมแวดวงและฝ่ายตรงข้ามต้องการที่จะเพิ่มเวลาการเดินทางของเขา

• ฝ่ายตรงข้ามวางวงกลมไว้ทุกรอบ

• ข้อผิดพลาดเดินจากตำแหน่งปัจจุบันตรงไปยังศูนย์กลางของวงกลมใหม่ล่าสุดจากนั้นหยุดเมื่อพบการตกแต่งภายในของวงกลม (เช่น: มันจะไม่เดินถ้ามีการเล่นวงกลมที่ครอบคลุมตำแหน่งของมัน) นี่คือตาของแมลง

• มีแวดวงมีให้สำหรับฝ่ายตรงข้าม$N$

• แต่ละวงกลมที่ตามมามีรัศมีน้อยกว่าวงกลมก่อนหน้า

• แต่ละวงจะต้องตัดกันที่จุดตัดของวงกลมที่เล่นก่อนหน้านี้ทั้งหมด กล่าวคือวงกลมทั้งหมดต้องมีจุดตัดร่วมเมื่อเล่นทั้งหมดแล้ว

แก้ไข: ศัตรูมีอิสระที่จะเลือกรัศมีของวงกลมโดยมีข้อ จำกัด ว่ารัศมีจะลดลงแบบซ้ำซากจำเจ

---

คำถามและคำตอบ:

---

1. ระยะทางเป็นขอบเขตหรือไม่ $N\to\infty$ตอบ: ไม่ตัวอย่างของกลยุทธ์ที่เป็นปฏิปักษ์ได้รับจากคำตอบนี้
2. ระยะห่างสูงสุดที่แมลงต้องเดินทางผ่านการเล่นของวงกลมคืออะไร $N$ตอบ: มันเติบโตที่โดยคำตอบเดียวกัน$\Theta(\log(N))$

---

ชุดที่ 2 : ข้อผิดพลาดจะเดินตรงไปยังจุดตัดของวงกลมทั้งสองที่เล่นล่าสุด

UPDATE: ตัวแปรนี้ถูกส่งภายใต้สมมติฐานที่ว่าข้อผิดพลาดสามารถเพียงจำช่วง 2 วงการเล่นที่นี่ ผลที่ได้คือระยะทางที่ไม่ จำกัด อีกครั้ง

---

สิ่งที่ไม่ส่งผลกระทบต่อunlimintedหน่วยความจำมี? เช่นข้อผิดพลาดไปที่จุดตัดของวงการเล่นก่อนหน้านี้ทั้งหมด สิ่งนี้ทำให้เกิดขอบเขต "หลวม" ของโดยที่dคือเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมแรก เห็นได้ชัดว่ามันไม่สามารถน้อยกว่านี้ ดูที่นี่ ขอบเขตบนปัจจุบันคือ1,000 × $O(d)$$d$$1000\times d$ dสิ่งนี้ได้มาจากการประมาณเส้นทางที่เลวร้ายที่สุดในฐานะทัวร์รอบวงกลมที่เล็กกว่าอย่างต่อเนื่อง มันแสดงให้เห็นว่าข้อผิดพลาดทำให้ความคืบหน้าสู่ทางแยกสุดท้ายซึ่งจะช่วยลดระยะทางขั้นตอนต่อไปที่จะต้องเดินทาง

ฉันสงสัยว่าระยะทางที่เดินทางเป็นค่าคงที่เล็ก ๆ เท่าที่เส้นรอบวงของวงกลมแรก แต่ขณะนี้ฉันไม่สามารถพิสูจน์ได้ดี

คำตอบนี้มีสองส่วนร่วมกันแสดงว่าขอบเขตที่ถูกต้องคือ :$\Theta(\log N)$

1. ขอบเขตล่างของ (คูณรัศมีของวงกลมแรก)$\Omega(\log N)$
2. จับคู่ผูกไว้บนของ )$O(\log N)$

ขอบเขตล่างของ$\Omega(\log N)$

พิจารณาสองหน่วยแวดวงสัมผัสที่ที่จุดP(ดูด้านล่าง; pอยู่ทางขวาบั๊กเริ่มทางซ้าย) สลับระหว่างวงกลมหนึ่งวงกับวงกลมวงอื่น ข้อผิดพลาดจะเดินทางขึ้นและลงซิกแซกข้ามรอยแยกระหว่างวงกลมสองวงโดยส่วนใหญ่จะเลื่อนขึ้นและลง แต่ก็คืบหน้าไปทางขวาอย่างช้าๆ หากฉันทำตรีโกณมิติให้ถูกต้องหลังจากผ่านขั้นตอนNระยะทางจากจุดร่วมจะเท่ากับΘ ( 1 / $p$$p$$N$และไม่มีขั้นตอน TH จะทำให้เกิดข้อผิดพลาดในการเดินΘ(1/N)สำหรับระยะทางทั้งสิ้นΘ(logN)$\Theta(1/\sqrt N)$$N$$\Theta(1/N)$$\Theta(\log N)$

นี่คือภาพร่างของการคำนวณ พิจารณาสองขั้นตอนติดต่อกันที่ข้อบกพร่องทำ เขาจะไปจากบางจุดเพื่อขเพื่อค คะแนนaและcอยู่ในวงกลมเดียวกัน จุดbอยู่ในวงกลมอื่น ๆ ปล่อยให้oเป็นศูนย์กลางของวงกลมที่aอยู่ พิจารณาสามเหลี่ยมสามรูปแบบต่อไปนี้ตามลำดับการลดขนาด:$a$$b$$c$$a$$c$$b$$o$$a$

1. isoceles สามเหลี่ยม (เรียกคืนpเป็นจุดร่วม)$\triangle oap$$p$
2. สามเหลี่ยมพี$\triangle abp$
3. สามเหลี่ยมน้อย$\triangle abc$

สามเหลี่ยมเหล่านี้เกือบจะคล้ายกัน (เช่นปรับมาตราส่วนแบบสมภาคกัน) แม่นยำยิ่งขึ้นสำหรับทั้งสามมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: อัตราส่วนของความยาวของขาสั้นขายาวเป็นΘ ( ε ) (ฉันจะไม่ได้พิสูจน์เรื่องนี้ในรายละเอียดใด ๆ เพิ่มเติมที่นี่ แต่ทราบว่าε →การ0 เป็นข้อผิดพลาดเดินและรบกวนจุดสุดยอดในแต่ละสามเหลี่ยมตามจำนวนเงินเล็กน้อยสามเหลี่ยมที่สามารถทำคล้ายกัน.)$\epsilon = |ap|$$\Theta(\epsilon)$$\epsilon\rightarrow 0$

ขายาวและp oของสามเหลี่ยมแรกมีความยาว 1 ขาสั้นของมัน| หน้า| มีความยาวε ส่วนงานหน้าเป็นขายาวของรูปสามเหลี่ยมที่สองเพื่อให้ขาสั้นของสามเหลี่ยมที่ขมีความยาวΘ ( ε 2 ) ส่วนงานขเป็นขายาวของสามเหลี่ยมที่สามเพื่อให้ขาสั้นของสามเหลี่ยมที่คมีความยาวΘ ( ε 3 ) ดังนั้นในทั้งสองขั้นตอนที่บั๊กใช้:$co$$po$$|ap|$$\epsilon$$ap$$ab$$\Theta(\epsilon^2)$$ab$$ac$$\Theta(\epsilon^3)$

1. ระยะทางข้อผิดพลาดการเดินทางเป็นΘ ( ε 2 )$|ab|+|bc|$$\Theta(\epsilon^2)$
2. ระยะทางจากข้อผิดพลาดในการจุดร่วมลดลงจากεจะε - Θ ( ε 3 )$p$$\epsilon$$\epsilon-\Theta(\epsilon^3)$

กำหนดเวลาจะเป็นจำนวนขั้นตอนก่อนที่จะε เสื้อ ≈ 1 / 2 k ตาม (2) ข้างต้นεลดลงโดยมีปัจจัยมาอย่างต่อเนื่องหลังจากที่เกี่ยวกับΘ ( 1 / ε 2 )ขั้นตอนเพื่อให้เสื้อk + 1 = เสื้อk + Θ ( 2 2 k ) = T k + Θ ( 4 k ) ดังนั้นt k = Θ ( $t_k$$\epsilon_t \approx 1/2^k$$\epsilon$$\Theta(1/\epsilon^2)$$t_{k+1} = t_k + \Theta(2^{2k}) = t_k + \Theta(4^k)$ . นั่นคือหลังจาก Θ ( 4 k )ขั้นตอนระยะทางจากข้อผิดพลาดไปยังจุดที่พบบ่อยหน้าจะอยู่ที่ประมาณ 1 / 2 k การเปลี่ยนตัวแปรหลังจากขั้นตอน Nระยะห่างจากจุดบกพร่องไปยังจุดทั่วไปจะเป็น ϵ = Θ ( 1 / $t_k = \Theta(4^k)$$\Theta(4^k)$$p$$1/2^k$$N$ ) และในNขั้นตอน TH, ข้อผิดพลาดเดินทางΘ(ε2)=Θ(1/N) ดังนั้นรวมระยะทางเดินทางในครั้งแรกไม่มีขั้นตอนคือΘ(1+1/2+1/3+...+1/N)=Θ(logN)$\epsilon = \Theta(1/\sqrt N)$$N$$\Theta(\epsilon^2) = \Theta(1/N)$$N$$\Theta(1+1/2+1/3+...+1/N) = \Theta(\log N)$

นี่คือขอบเขตล่าง

มันขยายไปถึง Variant 2 ที่เสนอ (ตามที่ฉันเข้าใจ) ดังต่อไปนี้:

การเพิ่มข้อ จำกัด ที่ข้อผิดพลาดควรย้ายไปยังจุดที่ใกล้ที่สุดในจุดตัดของวงกลมสองวงที่วางล่าสุดไม่ได้ช่วย นั่นคือขอบเขตล่างข้างต้นยังคงใช้ เพื่อดูว่าทำไมเราจะแก้ไขตัวอย่างข้างต้นโดยการเพิ่มวงกลมนอกที่เดียวที่ทำให้บั๊กสามารถตอบสนองข้อ จำกัด ในขณะที่ยังเดินทางไปในเส้นทางเดียวกัน:$\Omega(\log N)$

วงกลมสีเขียวและสีน้ำเงินเป็นวงกลมสองวงจากตัวอย่างด้านบน จุดตัดและbเหมือนกับaและbตามตัวอย่างด้านบน วงกลมสีแดงเป็นวงกลม "นอกโลก" ใหม่ ลำดับก่อนหน้าสลับกันระหว่างวงกลมสีน้ำเงินและสีเขียว ลำดับใหม่จะเป็นลำดับนี้ แต่มีการเพิ่มวงกลมสีแดงก่อนทุกวงกลมในลำดับเก่า: แดง, น้ำเงิน, แดง, เขียว, แดง, น้ำเงิน, แดง, เขียว, แดง, น้ำเงิน, ...$a$$b$$a$$b$

สมมติว่าข้อผิดพลาดที่จะนั่งอยู่ที่หลังสีฟ้าวางอยู่ วงกลมถัดไปที่วางไว้เป็นสีแดง สีแดงมีข้อบกพร่องดังนั้นข้อผิดพลาดไม่ได้ย้าย วงกลมถัดไปที่วางไว้เป็นสีเขียว ตอนนี้ข้อผิดพลาดย้ายไปที่b (ซึ่งเป็นจุดที่ใกล้ที่สุดในจุดตัดของวงกลมสีเขียวและสีแดง) ด้วยการทำซ้ำข้อผิดพลาดนี้จะเดินทางเหมือนเดิม$a$$b$

---

ขอบบนของ$O(\log N)$

ฉันร่างหลักฐานเท่านั้น

แก้ไขลำดับของวงกลมใด ๆ เราจะยืนยันว่าเป็น , ระยะทางทั้งหมดเดินทางโดยข้อผิดพลาดในครั้งแรกไม่มีขั้นตอนคือO ( log N ) สมมติว่าไม่มีการสูญเสียความสามารถทั่วไปที่วงกลมแรกมีรัศมี 1$N\rightarrow \infty$$N$$O(\log N)$

แก้ไขขนาดใหญ่โดยพลNอนุญาตpโดยจุดใด ๆ ในจุดตัดของวงกลมNแรก โปรดทราบว่าเนื่องจากวิธีการย้ายข้อผิดพลาดในแต่ละขั้นตอนที่ย้ายข้อผิดพลาดที่จะได้รับใกล้ชิดกับพี$N$$p$$N$$p$

ก่อนอื่นให้พิจารณาขั้นตอนที่อัตราส่วนต่อไปนี้เป็นอย่างน้อย : การลดระยะทางเป็น $1/\log N$ รวมระยะทางเดินทางในขั้นตอนดังกล่าวเป็นO(logN)เพราะระยะทางทั้งหมดเดินทางในขั้นตอนดังกล่าวเป็นO(logN)ครั้งระยะเริ่มต้นไปยังหน้า ดังนั้นเราจะต้องผูกพันระยะทางทั้งหมดเดินทางในขั้นตอนอื่น ๆ --- ผู้ที่อยู่ในอัตราส่วนที่เป็นส่วนใหญ่1/เข้าสู่ระบบN

$$\frac{\mbox{the reduction in the distance to } p}{\mbox{the distance traveled in the step}}.$$ $O(\log N)$$O(\log N)$$p$$1 / \log N$

ครั้งแรกที่เราเถียงอะไรบางอย่างที่ปรับตัวลดลงเล็กน้อยว่ารวมระยะทางเดินทางในขั้นตอนดังกล่าว ก่อนที่จะมีรัศมีวงกลมลดลงถึง 1/2 หรือน้อยกว่าคือ ) (เราแสดงในภายหลังว่าเพียงพอที่จะให้ข้อ จำกัด )$O(\log N)$

พิจารณาขั้นตอนดังกล่าว ให้และbตามลำดับแสดงตำแหน่งของบั๊กก่อนและหลังขั้นตอน ให้oหมายถึงศูนย์กลางของวงกลมปัจจุบัน ให้b ′แทนจุดบนรังสี→ p bเช่นนั้น| p a | = | p b | :$a$$b$$o$$b'$$\overrightarrow{pb}$$|pa| = |pb|$

พิจารณาสามเหลี่ยมต่อไปนี้:

1. $\triangle opb$
2. $\triangle pba$
3. $\triangle abb'$

$\epsilon$$\Theta(\epsilon)$

$$\frac{|bb'|}{|ab|} = \Theta\big(\frac{|ab|}{|pa|}\big) = \Theta\big(\frac{|pa|}{|bo|}\big) = \Theta(\epsilon).$$

$|bo|$$[1/2,1]$$|ab| = \Theta(|pa|^2/|bo|) = \Theta(|pa|^2)$$|bb'| = \Theta(|ab||pa|/|bo|) = \Theta(|pa|^3)$

$p$$d$$d'$$d=|pa|$$d'=|pb|$$d-d' = |bb'|$

$d$$|bb'|$$\Omega(d^3)$

$d/2$$O(1/d^2)$$d=1/2^k$$1/2^{k+1}$$O(4^k)$$1/2^{k}$$O(1/4^k)$$n$$p$$O(1/\sqrt n)$

$n$$|ab|$$O((\mbox{the current distance to } p)^2) = O(1/n)$$N$$[1/2,1]$

$$\sum_{n=1}^N O(1/n) = O(\log N).$$

$k$$[1/2^k, 1/2^{k+1}]$$O(\log(N)/2^k)$$k$$O(\log N)$

เดวิดอีคาดเดา

"บางทีคำตอบอาจจะแตกต่างกันไปถ้าข้อผิดพลาดนั้นเดินตรงไปยังจุดที่ใกล้ที่สุดในสี่แยกปัจจุบันแทนที่จะมุ่งสู่ศูนย์กลางของวงกลมใหม่?"

(แก้ไข: โปรดทราบว่านี่ไม่เหมือนกับ "ตัวแปร 2" ในตอนท้ายของคำถามโปสเตอร์ต้นฉบับ)

นี่คือข้อพิสูจน์ (มากหรือน้อย) ของการคาดคะเนของเขา (มันมีขอบเขตในกรณีนี้)

$O(d_0)$$d_0$

$o$$o$$0$

$o$$1, 0.99, 0.99^2, 0.99^3, \ldots$

---

$d$$10 d$

$t$$\alpha(t)$

$\alpha(t)$

$\alpha(t)$$1/100$$1/100$$\alpha(t) < 89$$9$$\alpha(t)$$t$$\alpha(t) \in [89,90]$$1/100$

$p$$p$$p$

$\alpha(t) \in [89,90]$$1/100$$1$$10$$8$$2\pi< 7$ครึ่งหนึ่งของแหวนตายทันทีที่บั๊กเริ่มและแมลงไม่สามารถกลับไปสู่จุดตายได้ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ สิ่งนี้พิสูจน์ข้อเรียกร้อง (ไม่มากก็น้อยอาจมีบางคนโต้แย้งอย่างแม่นยำมากกว่านี้ก็ได้)

---

$$\sum_{i=0}^\infty 10 (0.99)^i ~=~ 1000.$$

เห็นได้ชัดว่าปัจจัยคงที่ที่นี่หลวม ตัวอย่างเช่นหากข้อผิดพลาดเดินทางในวงแหวนแรกที่มุม 89 องศาหรือมากกว่านี้ทันทีฆ่าเกือบครึ่งคะแนนในแผ่นดิสก์ของรัศมี 1 (ไม่เพียง แต่คะแนนในแหวนหนึ่ง)