มีส่วนขยายของนิพจน์ทั่วไปที่รวบรวมบริบทภาษาที่ไม่มีบริบทหรือไม่

ในเอกสารจำนวนมากที่เกี่ยวข้องกับไวยากรณ์ที่ไม่มีบริบท (CFGs) ตัวอย่างของไวยากรณ์ดังกล่าวที่นำเสนอที่นั่นมักจะยอมรับลักษณะของภาษาที่พวกเขาสร้างขึ้นได้ง่าย ตัวอย่างเช่น:

$S \to a a S b$
$S \to$

สร้าง ,$\{ a^{2i} b^i | i \geq 0\}$

$S \to a S b$
$S \to a a S b$
$S \to$

สร้างและ$\{ a^i b^j \mid i \geq j \geq 0 \}$

$S \to a S a$
$S \to b S b$
$S \to$

สร้างหรือเทียบเท่า (โดยที่หมายถึงส่วนที่จับโดย )$\{ w w^R \mid w \in (a|b)^* \}$$\{ ((a|b)^*)_1 ((a|b)^*)_2 \mid p_1 = p_2^R \}$$p_1$$(...)_1$

ตัวอย่างข้างต้นทั้งหมดสามารถสร้างขึ้นได้โดยการเพิ่มดัชนี ( ), ข้อ จำกัด ง่ายๆในดัชนีเหล่านี้ ( ) และการจับคู่รูปแบบกับนิพจน์ทั่วไป นี่ทำให้ฉันสงสัยว่าทุกภาษาที่ไม่มีบริบทสามารถสร้างขึ้นได้ด้วยการขยายการแสดงออกปกติ$a^i$$i > j$

มีส่วนขยายของนิพจน์ทั่วไปที่สามารถสร้างชุดย่อยที่สำคัญทั้งหมดของภาษาที่ไม่มีบริบทหรือไม่

ใช่แล้ว กำหนดนิพจน์ที่ไม่มีบริบทให้เป็นคำที่สร้างโดยไวยากรณ์ต่อไปนี้:

$$\begin{array}{lcll} g & ::= & \epsilon & \mbox{Empty string}\\ & | & c & \mbox{Character $c$ in alphabet $\Sigma$} \\ & | & g \cdot g & \mbox{Concatenation} \\ & | & \bot & \mbox{Failing pattern} \\ & | & g \vee g & \mbox{Disjunction}\\ & | & \mu \alpha.\; g & \mbox{Recursive grammar expression} \\ & | & \alpha & \mbox{Variable expression} \end{array}$$

นี่คือตัวสร้างทั้งหมดสำหรับภาษาปกติยกเว้น Kleene star ซึ่งถูกแทนที่ด้วยตัวดำเนินการจุดตรึงทั่วไปและกลไกการอ้างอิงตัวแปร (ไม่จำเป็นต้องใช้ดาว Kleene เนื่องจากสามารถกำหนดเป็น .)กรัม* ≜ μ $\mu \alpha.\;g$$g\ast \triangleq \mu \alpha.\;\epsilon \vee g\cdot\alpha$

การตีความนิพจน์ที่ไม่มีบริบทต้องมีการบัญชีสำหรับการตีความตัวแปรอิสระ ดังนั้นกำหนดสภาพแวดล้อม ให้เป็นแผนที่จากตัวแปรภาษา (เช่นส่วนย่อยของ ) และปล่อยให้เป็นฟังก์ชันที่ทำงานเหมือนในอินพุตทั้งหมดยกเว้นและซึ่งผลตอบแทนภาษาสำหรับ\Σ * [ ρ | α : L ] $\rho$$\Sigma^*$$[\rho|\alpha:L]$$\rho$L $\alpha$$L$$\alpha$

ตอนนี้ให้นิยามการตีความของนิพจน์ที่ไม่มีบริบทดังนี้:

$$\newcommand{\interp}[2]{[\![{#1}]\!]\;{#2}} \newcommand{\setof}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\comprehend}[2]{\setof{{#1}\;\mid|\;{#2}}} \begin{array}{lcl} \interp{\epsilon}{\rho} & = & \setof{\epsilon} \\ \interp{c}{\rho} & = & \setof{c} \\ \interp{g_1\cdot g_2}{\rho} & = & \comprehend{w_1 \cdot w_2}{w_1 \in \interp{g_1}{\rho} \land w_2 \in \interp{g_2}{\rho}} \\ \interp{\bot}{\rho} & = & \emptyset \\ \interp{g_1 \vee g_2}{\rho} & = & \interp{g_1}{\rho} \cup \interp{g_2}{\rho} \\ \interp{\alpha}{\rho} & = & \rho(\alpha) \\ \interp{\mu \alpha.\; g}{\rho} & = & \bigcup_{n \in \mathbb{N}} L_n \\ \mbox{where} & & \\ L_0 & = & \emptyset \\ L_{n+1} & = & L_n \cup \interp{g}{[\rho|\alpha:L_n]} \end{array}$$

ด้วยการใช้ทฤษฎี Knaster-Tarski มันง่ายที่จะเห็นว่าการตีความของเป็นสิ่งที่แสดงออกน้อยที่สุด$\mu \alpha.g$

มันเป็นเรื่องตรงไปตรงมา (แม้ว่าจะไม่ใช่เรื่องไร้สาระก็ตาม) เพื่อแสดงว่าคุณสามารถให้การแสดงออกโดยไม่มีบริบทซึ่งได้รับภาษาเดียวกับไวยากรณ์ใด ๆ ที่ไม่มีบริบทและในทางกลับกัน ความไม่ไร้สาระเกิดขึ้นจากความจริงที่ว่านิพจน์ที่ไม่มีบริบทมีจุดคงที่ที่ซ้อนกันและไวยากรณ์ที่ไม่ใช้บริบทให้จุดคงที่เดียวเหนือสิ่งอันดับ สิ่งนี้ต้องการการใช้บทแทรกของ Bekic ซึ่งระบุอย่างแม่นยำว่าจุดคงที่ซ้อนกันสามารถแปลงเป็นจุดคงที่เดียวเหนือผลิตภัณฑ์ (และกลับกัน) แต่นั่นเป็นเพียงความบอบบางเท่านั้น

แก้ไข: ไม่ฉันไม่รู้จักการอ้างอิงมาตรฐานสำหรับสิ่งนี้: ฉันทำงานด้วยความสนใจของฉันเอง อย่างไรก็ตามมันเป็นสิ่งก่อสร้างที่ชัดเจนพอที่ฉันมั่นใจว่าเคยถูกคิดค้นมาก่อน Googling ที่ไม่เป็นทางการเผยให้เห็น Joost Winter, Marcello Bonsangue และ Jan Rutten ภาษาล่าสุดของ Context-Free Languages, Coalgebraicallyซึ่งพวกเขาได้ให้คำจำกัดความที่แตกต่างกัน

มีคำถามที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด (และหลายคำตอบ) ใน MathOverflow เกี่ยวกับภาษาที่ฟังก์ชั่นการสร้างเป็นแบบองค์รวม

ที่น่าสนใจนิยาม Neel ของความหมายของข้างต้นสอดคล้องตรงกับ (สร้างสรรค์) หลักฐานของการดำรงอยู่ของการแก้ปัญหาชี่เพื่อ recursive สมพันธุ์ผ่านทฤษฎีบทชี่โดยปริยาย น่าเสียดายโครงร่างหลักฐานของเขาจะต้องมีข้อผิดพลาดเล็กน้อยเนื่องจากมีหลายกรณีที่สิ่งต่าง ๆ ไม่สิ้นสุด กล่าวอีกนัยหนึ่งมีเงื่อนไขในการเปลี่ยนแปลงของจาโคเบียนที่กำหนดโดยไวยากรณ์ที่ไม่เป็นเอกพจน์ซึ่งจำเป็น นี่อาจเป็นเหตุผลที่ Bonsangue-Rutten ต้องการจุดคงที่ที่จะได้รับการปกป้องเป็นวิธีหนึ่งที่จะประกันเงื่อนไขนี้ใน Jacobian$\mu$

เราเพิ่งเผยแพร่โครงร่างของกรอบที่จะทำเช่นนั้น ดูใต้comp.compilersที่ฉันส่งการแจ้งเตือนพร้อมกับลิงก์

การพัฒนาใหม่นี้ใช้กับทฤษฎีบท Chomsky-Schuetzenberger และอาจถือได้ว่าเป็นผลที่สมบูรณ์ ชัมสกีเองได้รับรู้ถึงพัฒนาการและบ่งบอกถึงความปรารถนาที่จะ "ตามทัน"

พร้อมกับการพัฒนานี้เรายังสร้างความเท่าเทียมกันของสองสูตรที่แยกกันสำหรับการแสดงออกที่ไม่มีบริบท - หนึ่งซึ่งเป็นส่วนขยาย / เสร็จสิ้นในรูปแบบ mu-แคลคูลัส "จุดคงที่ที่น้อยที่สุด" ซึ่งได้รับการกำหนดขั้นสุดท้ายในปี 2014 และฉบับอื่น ๆ ที่เผยแพร่ในปี 2008